解答題專項(xiàng)?概率與統(tǒng)計(jì)中的綜合問題高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2025考情分析:有關(guān)概率、統(tǒng)計(jì)與其他知識相交匯的考題,能體現(xiàn)“返璞歸真,支持課改;突破定勢,考查真功”的命題理念,是每年高考的常考內(nèi)容.近幾年還經(jīng)常將概率與統(tǒng)計(jì)問題與數(shù)列、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)結(jié)合,成為創(chuàng)新問題.考點(diǎn)一統(tǒng)計(jì)圖表與分布列的綜合問題例1(2024·北京海淀模擬)垃圾分類可以提高垃圾的資源價(jià)值和經(jīng)濟(jì)價(jià)值.某學(xué)校在寒假期間安排了“垃圾分類知識普及實(shí)踐活動(dòng)”.為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)成果,該校對高一、高二年級全體學(xué)生進(jìn)行了相關(guān)知識測試,然后從高一、高二年級全體學(xué)生中各隨機(jī)抽取了20名學(xué)生成績(百分制),并對數(shù)據(jù)(成績)進(jìn)行了整理、描述和分析.下面給出了整理的相關(guān)信息:高一年級成績分布表等級EDCBA成績(分?jǐn)?shù))[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]人數(shù)123410高二年級成績頻率分布直方圖

(1)從高一和高二年級學(xué)生樣本中各抽取一人,這兩個(gè)人成績都不低于90分的概率是多少?(2)分別從高一全體學(xué)生中抽取1人,從高二全體學(xué)生中抽取2人,這三人中成績不低于90分的人數(shù)記為X,用頻率估計(jì)概率,求X的分布列和期望;(3)學(xué)校為提高學(xué)生對垃圾分類的了解情況需要在高一或高二進(jìn)行一場講座,假設(shè)講座能夠使學(xué)生成績普遍提高一個(gè)等級,若高一、高二學(xué)生數(shù)量一致,那么若想高一和高二學(xué)生的平均分盡可能高,需要在高一講座還是高二講座?(直接寫出結(jié)論)(3)由于高一年級低分段的人數(shù)相比高二年級要少得多,所以需要在高二講座.考點(diǎn)二回歸模型與分布列的綜合問題例2(2024·浙江紹興模擬)今年春季以來,各地出臺了促進(jìn)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的各種措施,經(jīng)濟(jì)增長呈現(xiàn)穩(wěn)中有進(jìn)的可喜現(xiàn)象.服務(wù)業(yè)的消費(fèi)越來越火爆,一些超市也紛紛加大了廣告促銷.現(xiàn)在某地隨機(jī)抽取了7家超市,得到其廣告支出x(單位:萬元)與銷售額y(單位:萬元)數(shù)據(jù)如下:超市ABCDEFG廣告支出x/萬元1246101320銷售額y/萬元19324440525354(1)建立y關(guān)于x的一元線性回歸方程(系數(shù)精確到0.01);(2)若將超市的銷售額y與廣告支出x的比值稱為該超市的廣告效率值μ,當(dāng)μ≥10時(shí),稱該超市的廣告為“好廣告”.從這7家超市中隨機(jī)抽取4家超市,記這4家超市中“好廣告”的超市數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.[對點(diǎn)訓(xùn)練1](2024·四川成都模擬)為研究如何合理施用化肥,使其最大限度地促進(jìn)糧食增產(chǎn),減少對周圍環(huán)境的污染,某研究團(tuán)隊(duì)收集了10組化肥施用量和糧食畝產(chǎn)量的數(shù)據(jù),并對這些數(shù)據(jù)進(jìn)行了初步處理,得到如圖所示的散點(diǎn)圖及如表所示的一些統(tǒng)計(jì)量的值,其中,化肥施用量為x(單位:千克),糧食畝產(chǎn)量為y(單位:百千克).令ti=ln

xi,zi=ln

yi(i=1,2,…,10).(1)根據(jù)散點(diǎn)圖,判斷y=a+bx與y=cxd哪一個(gè)更適宜作為糧食畝產(chǎn)量y關(guān)于化肥施用量x的回歸方程模型(給出判斷即可,不必說明理由);(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù),建立y關(guān)于x的回歸方程,并估計(jì)化肥施用量為27千克時(shí),糧食畝產(chǎn)量的值;(3)經(jīng)生產(chǎn)技術(shù)提高后,該化肥的有效率Z大幅提高,經(jīng)試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)得Z大致服從正態(tài)分布N(0.54,0.022).問這種化肥的有效率超過56%的概率約為多少?②若隨機(jī)變量Z~N(μ,σ2),則有P(μ-σ≤Z≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)≈0.9545;③e≈2.7.解

(1)由散點(diǎn)圖可知y隨x的變化呈非線性的變化趨勢,∴y=cxd更適宜作為y關(guān)于x的回歸方程模型.(3)∵Z~N(0.54,0.022),則μ=0.54,σ=0.02,∴P(μ-σ≤Z≤μ+σ)=P(0.52≤Z≤0.56)≈0.6827,則P(Z>0.56)=0.15865,∴這種化肥的有效率超過56%的概率約為0.15865.考點(diǎn)三獨(dú)立性檢驗(yàn)與分布列的綜合問題例3(12分)(2023·全國甲,理19)一項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng),試驗(yàn)方案如下:選40只小白鼠,隨機(jī)地將其中20只分配到試驗(yàn)組,另外20只分配到對照組,試驗(yàn)組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境,對照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境,一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)每只小白鼠體重的增加量(單位:g).(1)設(shè)X表示指定的兩只小白鼠中分配到對照組的只數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望;關(guān)鍵點(diǎn):結(jié)合題意弄清楚X服從的是超幾何分布還是二項(xiàng)分布.(2)試驗(yàn)結(jié)果如下:對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)?5.2

18.8

20.2

21.3

22.5

23.2

25.8

26.5

27.5

30.1

32.6

34.3

34.8

35.6

35.6

35.8

36.2

37.3

40.5

43.2試驗(yàn)組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)?.8

9.2

11.4

12.4

13.2

15.5

16.518.0

18.8

19.2

19.8

20.2

21.6

22.823.6

23.9

25.1

28.2

32.3

36.5(ⅰ)求40只小白鼠體重的增加量的中位數(shù)m,再分別統(tǒng)計(jì)兩樣本中小于m與不小于m的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù),完成如下列聯(lián)表:組別<m≥m對照組

試驗(yàn)組

突破口:易知中位數(shù)是從小到大排序后第20位與第21位數(shù)據(jù)的平均數(shù).通過整理可得第20位數(shù)據(jù)為23.2,第21位數(shù)據(jù)為23.6.(ⅱ)根據(jù)(ⅰ)中的列聯(lián)表,能否有95%的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異?α0.10.050.01xα2.7063.8416.635審題指導(dǎo):(1)利用超幾何分布的知識即可求得分布列及數(shù)學(xué)期望;(2)(i)根據(jù)中位數(shù)的定義即可求得m=23.4,從而求得列聯(lián)表;(ii)利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的卡方計(jì)算進(jìn)行檢驗(yàn),對照附表結(jié)合題意作答.規(guī)范解答:解

(1)由題意,X服從超幾何分布,X的可能取值為0,1,2,則

所以X的分布列為

X服從超幾何分布,且N=40,M=20,n=2①注意大小排序;②偶數(shù)個(gè)數(shù)的中位數(shù)是中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)

故列聯(lián)表為:組別<m≥m對照組614試驗(yàn)組146(ii)零假設(shè)為H0:小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量無差異.因?yàn)榕袛嗍欠裼?5%的把握,所以臨界值取3.841,而不是6.635[對點(diǎn)訓(xùn)練2](12分)(2024·浙江寧波模擬)盲盒,是指消費(fèi)者不能提前得知具體產(chǎn)品款式的玩具盒子,具有隨機(jī)屬性.某品牌推出2款盲盒套餐,A款盲盒套餐包含4款不同單品,且必包含隱藏款X;B款盲盒套餐包含2款不同單品,有50%的可能性出現(xiàn)隱藏款X.為避免盲目購買與黃牛囤積,每人每天只能購買1件盲盒套餐.開售第二日,銷售門店對80名購買了套餐的消費(fèi)者進(jìn)行了問卷調(diào)查,得到如下列聯(lián)表:年齡A款盲盒套餐B款盲盒套餐合計(jì)低于30歲183048不低于30歲221032合計(jì)404080(1)根據(jù)2×2列聯(lián)表,判斷是否有99%的把握認(rèn)為A,B款盲盒套餐的選擇與年齡有關(guān);(2)甲、乙、丙三人每人購買1件B款盲盒套餐,記隨機(jī)變量ξ為其中隱藏款X的個(gè)數(shù),求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望;(3)某消費(fèi)者在開售首日與次日分別購買了A款盲盒套餐與B款盲盒套餐各1件,并將6件單品全部打亂放在一起,從中隨機(jī)抽取1件打開后發(fā)現(xiàn)為隱藏款X,求該隱藏款來自B款盲盒套餐的概率.α0.10.050.010.001xα2.7063.8416.63510.828解

(1)零假設(shè)為H0:A,B款盲盒套餐的選擇與年齡之間無關(guān)聯(lián).(3)設(shè)A表示事件“隨機(jī)抽取1件打開后發(fā)現(xiàn)為隱藏款X”,設(shè)B1表示事件“隨機(jī)抽取的1件單品來自A款盲盒套餐”,設(shè)B2表示事件“隨機(jī)抽取的1件單品來自B款盲盒套餐”,考點(diǎn)四概率統(tǒng)計(jì)與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的綜合問題例4(2023·新高考Ⅱ,19)某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異,經(jīng)過大量調(diào)查,得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖:利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測標(biāo)準(zhǔn),需要確定臨界值c,將該指標(biāo)大于c的人判定為陽性,小于或等于c的人判定為陰性.此檢測標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率,記為p(c);誤診率是將未患病者判定為陽性的概率,記為q(c).假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布.以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.(1)當(dāng)漏診率p(c)=0.5%時(shí),求臨界值c和誤診率q(c);(2)設(shè)函數(shù)f(c)=p(c)+q(c).當(dāng)c∈[95,105]時(shí),求f(c)的解析式,并求f(c)在區(qū)間[95,105]的最小值.解

(1)當(dāng)p(c)=0.5%時(shí),由患病者頻率分布直方圖可得第一個(gè)小矩形面積為0.002×5=0.01,由未患病者頻率分布直方圖可得q(c)=0.01×(100-97.5)+0.002×5=0.035.(2)當(dāng)c∈[95,100)時(shí),p(c)=(c-95)×0.002,q(c)=(100-c)×0.01+0.01,∴f(c)=-0.008c+0.82>0.02;當(dāng)c∈[100,105]時(shí),p(c)=5×0.002+(c-100)×0.012,q(c)=(105-c)×0.002,∴f(c)=0.01c-0.98≥0.02.故當(dāng)c=100時(shí),f(c)取最小值,最小值為f(100)=0.02.[對點(diǎn)訓(xùn)練3](2021·新高考Ⅱ,21)一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下去,設(shè)一個(gè)這種微生物為第0代,經(jīng)過一次繁殖后為第1代,再經(jīng)過一次繁殖后為第2代,……,該微生物每代繁殖的個(gè)數(shù)是相互獨(dú)立的且有相同的分布列,設(shè)X表示1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù),P(X=i)=pi(i=0,1,2,3).(1)已知p0=0.4,p1=0.3,p2=0.2,p3=0.1,求E(X).(2)設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率,p是關(guān)于x的方程:p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一個(gè)最小正實(shí)根,求證:當(dāng)E(X)≤1時(shí),p=1;當(dāng)E(X)>1時(shí),p<1.(3)根據(jù)你的理解說明(2)問結(jié)論的實(shí)際意義.(1)解

E(X)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1.(2)證明

(方法一)令f(x)=p0+p1x+p2x2+p3x3-x,有f'(x)=p1+2p2x+3p3x2-1,f″(x)=2p2+6p3x.顯然當(dāng)x≥0時(shí),f″(x)=2p2+6p3x>0,f'(x)在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞增,下面證明當(dāng)E(X)≤1時(shí),有p=1.假設(shè)p<1.一方面,因?yàn)閒(p)=0,f(1)=0,根據(jù)羅爾中值定理,?ξ∈(p,1),使得f'(ξ)=0.另一方面,因?yàn)閒'(x)在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞增,所以有f'(ξ)<f'(1)=p1+2p2+3p3-1=0×p0+1×p1+2×p2+3×p3-1=E(X)-1≤0,即f'(ξ)<0.這就與f'(ξ)=0矛盾,故假設(shè)p<1不成立,所以必有p=1.再證明當(dāng)E(X)>1時(shí),p<1.因?yàn)閒'(1)=E(X)-1>0,考慮到f'(x)是一個(gè)連續(xù)函數(shù),所以存在x=1的某一鄰域U(1),使得當(dāng)x∈U(1)時(shí),有f'(x)>0.在這個(gè)鄰域內(nèi)任取一點(diǎn)x0<1,有f(x0)<f(1)=0.再考慮到f(0)=p0>0,且f(x)是一個(gè)連續(xù)函數(shù),所以由零點(diǎn)存在定理,至少存在一點(diǎn)η∈(0,x0),使得f(η)=0.因?yàn)閜是關(guān)于x的方程p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一個(gè)最小正實(shí)根,于是p≤η<1.(方法二)令f(x)=p0+p1x+p2x2+p3x3-x,當(dāng)x>0時(shí),有f'(x)=p1+2p2x+3p3x2-1,f″(x)=2p2+6p3x>0.當(dāng)x≥0時(shí),f″(x)=2p2+6p3x>0,所以f'(x)在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞增,下面證明當(dāng)E(X)≤1時(shí),有p=1.當(dāng)x∈(0,1)時(shí),因?yàn)閒'(x)<f'(1)=E(X)-1≤0,所以函數(shù)f(x)在[0,1]上單調(diào)遞減,于是f(x)>f(1)=0,即f(x)在(0,1)內(nèi)沒有零點(diǎn),所以x=1是使得f(x)=0的最小的正根.故p=1.當(dāng)E(X)>1時(shí),因?yàn)閒'(0)=p1-1<0,f'(1)=E(X)-1>0且f'(x)在[0,1]上連續(xù),所以由零點(diǎn)存在定理知,存在x0∈(0,1),使得f'(x0)=0.因?yàn)閒'(x)在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞增,所以當(dāng)x0<x<1時(shí),有f'(x)>f'(x0)=0,所以函數(shù)f(x)在[x0,1]上單調(diào)遞增,于是f(x0)<f(1)=0.注意到f(0)=p0>0,由零點(diǎn)存在定理知,存在t∈(0,x0),使得f(t)=0.另一方面,由于當(dāng)0<x<x0,f'(x)<f'(x0)=0,所以這樣的t是唯一的,于是f(x)=0的最小正根就是p=t<1.(方法三)設(shè)f(x)=p3x3+p2x2+p1x+p0-x,則有f(1)=p3+p2+p1+p0-1=0.f'(x)=3p3x2+2p2x+p1-1,則有f'(1)=3p3+2p2+p1-1=E(X)-1.并且因?yàn)?p3>0,所以當(dāng)x<x1或x>x2時(shí),f'(x)>0,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,x1)和區(qū)間(x2,+∞)上單調(diào)遞增;當(dāng)x1<x<x2時(shí),f'(x)<0,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(x1,x2)上單調(diào)遞減.當(dāng)E(X)≤1時(shí),f'(1)=E(X)-1≤0,所以必有x1<1≤x2,所以當(dāng)0<x<1時(shí),f'(x)<0,所以f(x)>f(1)=0,即方程f(x)=0在(0,1)內(nèi)沒有根,所以p=1就是f(x)=0的最小正根.當(dāng)E(X)>1時(shí),f'(1)=E(X)-1>0,此時(shí),必有x2<1.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在[x2,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x2)<f(1)=0.考慮到f(0)=p0>0以及函數(shù)f(x)的連續(xù)性,由零點(diǎn)存在定理知在0與1之間必有函數(shù)f(x)的零點(diǎn),此零點(diǎn)就是原方程的一個(gè)正根,且比1小,故p<1.(方法四)由題意知p0+p1+p2+p3=1,E(X)=p1+2p2+3p3.方程p0+p1x+p2x2+p3x3=x變形為p0-(1-p1)x+p2x2+p3x3=0,考慮到1-p1=p0+p2+p3,于是原方程又可以寫成p0-(p0+p2+p3)x+p2x2+p3x3=0,即p0(1-x)+p2x(x-1)+p3x(x+1)(x-1)=0,即(x-1)[p3x2+(p2+p3)x-p0]=0.令g(x)=p3x2+(p2+p3)x-p0,因?yàn)棣?(p2+p3)2+4p0p3>0,所以g(x)有兩個(gè)不相等這樣原方程最多只有兩個(gè)正根x=1和x=x2.顯然,當(dāng)x<x1或x>x2時(shí),有g(shù)(x)>0,當(dāng)x1<x<x2時(shí),g(x)<0.下面判斷x=x2與x=1的大小關(guān)系.考慮到x=1是題設(shè)中方程的根,以及g(