2025年下學期高中數(shù)學系統(tǒng)梳理整合試卷一、函數(shù)與導數(shù)綜合應用（一）函數(shù)性質與圖像變換已知函數(shù)$f(x)=\frac{\lnx}{x}+ax^2$在$x=1$處取得極值，求實數(shù)$a$的值及函數(shù)的單調區(qū)間。設函數(shù)$f(x)=e^x-ax^2-bx-1$，若$a=0$，$b=1$，證明：當$x\geq0$時，$f(x)\geq0$。已知函數(shù)$f(x)=\sinx+\cosx$，將其圖像向左平移$\varphi$個單位后得到函數(shù)$g(x)$的圖像，若$g(x)$為偶函數(shù)，求$\varphi$的最小正值。（二）導數(shù)的幾何意義與應用曲線$y=x^3-3x^2+2x$在點$(1,0)$處的切線方程為______，若該切線與曲線$y=x^2+mx+n$相切，求$m$，$n$的值。已知函數(shù)$f(x)=x\lnx$，過點$A(0,-1)$作曲線$y=f(x)$的切線，求切線方程。設函數(shù)$f(x)=x^3-3x+1$，求函數(shù)在區(qū)間$[-2,2]$上的最大值與最小值。（三）導數(shù)與不等式證明證明：當$x>0$時，$x-\frac{x^3}{6}<\sinx<x$。已知函數(shù)$f(x)=\lnx+\frac{1}{x}$，證明：對任意$x>0$，$f(x)\geq1$。設函數(shù)$f(x)=e^x-x-1$，證明：當$x\neq0$時，$e^x>x+1$。二、三角函數(shù)與解三角形（一）三角函數(shù)的圖像與性質函數(shù)$f(x)=2\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)$的最小正周期為______，單調遞增區(qū)間為______，對稱軸方程為______。已知函數(shù)$f(x)=\cos^2x+\sqrt{3}\sinx\cosx$，將其化簡為$A\sin(\omegax+\varphi)+B$的形式，并求其最大值及取得最大值時$x$的集合。若函數(shù)$f(x)=\sin(\omegax+\varphi)(\omega>0,|\varphi|<\frac{\pi}{2})$的部分圖像如圖所示，求$\omega$和$\varphi$的值。（二）三角恒等變換計算：$\sin15^\circ\cos15^\circ=$，$\tan75^\circ=$，$\cos\frac{5\pi}{12}=$______。已知$\sin\alpha=\frac{3}{5}$，$\alpha\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$，求$\cos\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)$，$\tan2\alpha$的值。證明：$\frac{\sin(2\alpha+\beta)}{\sin\alpha}-2\cos(\alpha+\beta)=\frac{\sin\beta}{\sin\alpha}$。（三）解三角形在$\triangleABC$中，角$A$，$B$，$C$所對的邊分別為$a$，$b$，$c$，已知$a=2$，$b=3$，$C=60^\circ$，求$c$的值及$\triangleABC$的面積。在$\triangleABC$中，角$A$，$B$，$C$所對的邊分別為$a$，$b$，$c$，若$\frac{\sinA}{\sinB}=\frac{a}{c}$，$(b+c+a)(b+c-a)=3bc$，求角$A$的大小。如圖，在四邊形$ABCD$中，$AB=3$，$BC=4$，$CD=5$，$DA=6$，且$\angleB=90^\circ$，求四邊形$ABCD$的面積。三、數(shù)列與不等式（一）等差數(shù)列與等比數(shù)列已知等差數(shù)列${a_n}$的前$n$項和為$S_n$，若$a_3=5$，$S_9=81$，求數(shù)列${a_n}$的通項公式及$S_n$的最大值。等比數(shù)列${a_n}$中，$a_1+a_2=3$，$a_3+a_4=12$，求數(shù)列${a_n}$的通項公式及前$n$項和$S_n$。已知數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+1$，證明：數(shù)列${a_n+1}$是等比數(shù)列，并求數(shù)列${a_n}$的通項公式。（二）數(shù)列求和與遞推關系求數(shù)列${n\cdot2^n}$的前$n$項和$S_n$。已知數(shù)列${a_n}$的前$n$項和為$S_n$，且$S_n=2a_n-1$，求數(shù)列${a_n}$的通項公式及前$n$項和$S_n$。數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=1$，$a_n=a_{n-1}+\frac{1}{n(n-1)}(n\geq2)$，求數(shù)列${a_n}$的通項公式。（三）不等式的解法與證明解不等式：$\frac{x-1}{x+2}\leq0$；$|2x-1|>3$；$x^2-3x+2>0$。已知$a$，$b$，$c$為正實數(shù)，且$a+b+c=1$，證明：$\frac{1}{a}+\frac{1}+\frac{1}{c}\geq9$。設$x$，$y$為正實數(shù)，且$x+2y=1$，求$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的最小值。四、立體幾何（一）空間幾何體的表面積與體積一個正三棱錐的底面邊長為$2$，側棱長為$\sqrt{3}$，求該三棱錐的表面積和體積。已知一個圓柱的底面半徑為$1$，高為$2$，若將其沿軸截面切開，得到的截面面積為______，該圓柱的表面積為______，體積為______。一個球的表面積為$16\pi$，求該球的半徑及體積，若該球內切于一個正方體，求正方體的棱長。（二）空間點、線、面的位置關系如圖，在正方體$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，$E$，$F$分別為$AB$，$AD$的中點，求證：$EF\parallel$平面$CB_1D_1$。在三棱錐$P-ABC$中，$PA\perp$平面$ABC$，$AB\perpBC$，$PA=AB=BC=1$，求二面角$P-BC-A$的大小。已知直線$l\perp$平面$\alpha$，直線$m\subset$平面$\beta$，若$\alpha\parallel\beta$，則$l$與$m$的位置關系是______；若$\alpha\perp\beta$，則$l$與$m$的位置關系是______。（三）空間向量與立體幾何已知空間三點$A(1,0,0)$，$B(0,1,0)$，$C(0,0,1)$，求向量$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{AC}$的夾角，及平面$ABC$的一個法向量。在直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中，$AB=AC=AA_1=1$，$\angleBAC=90^\circ$，求異面直線$A_1B$與$AC_1$所成角的余弦值。如圖，在四棱錐$P-ABCD$中，底面$ABCD$為正方形，$PA\perp$底面$ABCD$，$PA=AB=2$，$E$為$PD$的中點，求直線$AE$與平面$PCD$所成角的正弦值。五、解析幾何（一）直線與圓的方程已知直線$l$過點$P(2,1)$，且與直線$2x-y+1=0$平行，求直線$l$的方程；若直線$l$與圓$x^2+y^2-2x-4y+1=0$相切，求直線$l$的方程。圓$C$的圓心在直線$x-y-4=0$上，且經(jīng)過兩圓$x^2+y^2-4x-3=0$和$x^2+y^2-4y-3=0$的交點，求圓$C$的方程。已知點$A(1,2)$，$B(3,4)$，求線段$AB$的垂直平分線方程，若該直線與圓$(x-2)^2+(y-3)^2=1$相交，求弦長。（二）圓錐曲線的定義與方程已知橢圓的焦點在$x$軸上，離心率為$\frac{1}{2}$，且經(jīng)過點$(2,\sqrt{3})$，求橢圓的標準方程。雙曲線$C$與橢圓$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$有相同的焦點，且離心率為$2$，求雙曲線$C$的標準方程。拋物線的頂點在原點，焦點在$y$軸上，且經(jīng)過點$(2,1)$，求拋物線的標準方程，若直線$y=kx+1$與該拋物線交于$A$，$B$兩點，且$OA\perpOB$，求$k$的值。（三）圓錐曲線的幾何性質與綜合應用已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的左、右焦點分別為$F_1$，$F_2$，離心率為$e$，過$F_2$的直線與橢圓交于$A$，$B$兩點，若$\triangleAF_1B$的周長為$8$，且$e=\frac{1}{2}$，求橢圓的標準方程。已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的一條漸近線方程為$y=\sqrt{3}x$，且過點$(2,3)$，求雙曲線的標準方程及離心率。設拋物線$y^2=4x$的焦點為$F$，過點$F$的直線$l$與拋物線交于$A$，$B$兩點，若$|AB|=8$，求直線$l$的方程。六、概率與統(tǒng)計（一）隨機事件的概率與古典概型從$1$，$2$，$3$，$4$，$5$這$5$個數(shù)字中任取$2$個數(shù)字，求取出的$2$個數(shù)字之和為偶數(shù)的概率。一個口袋中裝有$3$個紅球和$2$個白球，從中任取$2$個球，求：（1）取出的$2$個球都是紅球的概率；（2）取出的$2$個球中恰有$1$個紅球的概率。拋擲兩枚質地均勻的骰子，求向上的點數(shù)之和為$7$的概率，及向上的點數(shù)之差的絕對值為$2$的概率。（二）統(tǒng)計圖表與數(shù)字特征某班$50$名學生的數(shù)學考試成績（單位：分）如下：$82$，$91$，$73$，$84$，$98$，$75$，$80$，$65$，$85$，$93$，$78$，$86$，$95$，$77$，$88$，$81$，$72$，$87$，$90$，$83$，$79$，$89$，$92$，$76$，$84$，$94$，$71$，$82$，$85$，$96$，$74$，$83$，$80$，$86$，$91$，$78$，$87$，$89$，$93$，$81$，$75$，$82$，$88$，$90$，$84$，$79$，$85$，$92$，$86$，$95$。（1）繪制頻率分布表（組距為$10$）；（2）計算該班學生數(shù)學考試成績的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)。已知一組數(shù)據(jù)$x_1$，$x_2$，$\cdots$，$x_n$的平均數(shù)為$\overline{x}$，方差為$s^2$，則數(shù)據(jù)$3x_1+2$，$3x_2+2$，$\cdots$，$3x_n+2$的平均數(shù)為______，方差為______。如圖是某學校高二年級學生體重的頻率分布直方圖，已知圖中從左到右的前$3$個小組的頻率之比為$1:2:3$，第$2$小組的頻數(shù)為$12$，求該校高二年級學生的總人數(shù)，及體重在$[55,65)$內的學生人數(shù)。（三）回歸分析與獨立性檢驗某種產(chǎn)品的廣告費支出$x$（單位：萬元）與銷售額$y$（單位：萬元）之間有如下對應數(shù)據(jù)：|$x$|$2$|$4$|$5$|$6$|$8$||---|---|---|---|---|---||$y$|$30$|$40$|$60$|$50$|$70$|（1）畫出散點圖；（2）求線性回歸方程$\hat{y}=\hatx+\hat{a}$。為了研究吸煙與患肺癌的關系，某機構隨機調查了$9965$人，得到如下列聯(lián)表：||患肺癌|未患肺癌|總計||------|------|--------|----||吸煙|$91$|$2099$|$2190$||不吸煙|$25$|$7750$|$7775$||總計|$116$|$9849$|$9965$|（1）計算$K^2$的值；（2）根據(jù)小概率值$\alpha=0.001$的獨立性檢驗，判斷吸煙與患肺癌是否有關聯(lián)。七、選考內容（坐標系與參數(shù)方程、不等式選講）（一）坐標系與參數(shù)方程在極坐標系中，已知點$A\left(2,\frac{\pi}{3}\right)$，$B\left(3,\frac{\pi}{6}\right)$，求$|AB|$的值，及直線$AB$的極坐標方程。已知曲線$C$的參數(shù)方程為$\begin{cases}x=2\cos\theta\y=3\sin\theta\end{cases}$（$\theta$為參數(shù)），求曲線$C$的普通方程，若點$P(x,y)$在曲線$C$上，求$x+y$的最大值。已知直線$l$的參數(shù)方程為$\begin{cases}x=1+t\cos\alpha\y=t\sin\alpha\end{cases}$（$t$為參數(shù)），曲線$C$的極坐標方程為$\rho=4\cos\theta$，若直線$l$與曲線$C$相切，求$\alpha$的值。（二）不等式選講解不等式：$|x-1|+|x+2|\geq5$。已知$a$，$b$，$c$為正實數(shù)，且$a+b+c=1$，證明：$\sqrt{a}+\sqrt+\sqrt{c}\leq\sqrt{3}$。已知函數(shù)$f(x)=|x-2|+|x+1|$，求$f(x)$的最小值，及此時$x$的取值范圍。八、綜合題已知函數(shù)$f(x)=x^3-3ax^2+3bx$在$x=1$處有極小值$-1$。（1）求$a$，$b$的值；（2）求函數(shù)$f(x)$的單調區(qū)間；（3）若函數(shù)$g(x)=f(x)-m$在區(qū)間$[0,2]$上有兩個零點，求實數(shù)$m$的取值范圍。如圖，在平面直角坐標系$xOy$中，已知橢圓$C$：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且過點$(1,\frac{\sqrt{2}}{2})$。（1）求橢圓$C$的標準方程；（2）設直線$l$與橢圓$C$交于$A$，$B$兩點，$O$為坐標原點，若$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0$，證明：$\frac{1}{|OA|^2}+\frac{1}{|OB|^2}$為定值。已知數(shù)列${a_n}$的前$n$項和為$S_n$，且$S_n=2a_n-n$。（1）證明：數(shù)列${a_n+1}$是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列${a_n}$的通項公式；（3）設$b_n=\frac{a_n+1}{a_na_{n+1}}$，求數(shù)列${b_n}$的前$n$項和$T_n$。如圖，在四棱錐$P-ABCD$中，底面$ABCD$為矩形，$PA\perp$底面$ABCD$，$PA=AD=2$，$AB=4$，$E$為$PD$的中點，$F$為$PC$上一點，且$PF=2FC$。（1）求證：$BF\parallel$平面$AEC$；（2）求二面角$E-AC-D$的余弦值；（3）在線段$BC$上是否存在一點$G$，使得$AG\perp$平面$AEC$？若存在，求出$BG$的長；若不存在，說明理由。已知拋物線$C$：$y^2=4x$的焦點為$F$，過點$F$的直線$l$與拋物線$C$交于$A$，$B$兩點，點$M$在拋物線$C$上，且$\triangleABM$的重心為坐標原點$O$。（1）求直線$l$的方程；（2）求$\triangleABM$的面積。某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為$40$元，銷售單價為$60$元，該廠為了鼓勵客戶購買，決定當一次性購買超過$100$件時，每多購買一件，銷售單價就降低$0.02$元，但銷售單價最低不能低于$50$元。（1）設一次性購買$x$件產(chǎn)品，銷售單價為$p$元，求$p$關于$x$的函數(shù)關系式；（2）設一次性購買$x$件產(chǎn)品，工廠獲得的利潤為$y$元，求$y$關于$x$的函數(shù)關系式，并求工廠獲得的最大利潤。已知函數(shù)$f(x)=\ln