2025年上學(xué)期高三數(shù)學(xué)“數(shù)學(xué)器件”中的數(shù)學(xué)知識(shí)試題（二）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）已知集合(A={x|x^2-3x+2<0})，(B={x|\log_2(x-1)<1})，則(A\capB=)（）A.((1,2))B.((2,3))C.((1,3))D.((2,+\infty))函數(shù)(f(x)=\frac{\sinx+e^x-e^{-x}}{x^2+1})在區(qū)間([-\pi,\pi])上的最大值與最小值之和為（）A.0B.1C.2D.(\pi)已知向量(\vec{a}=(1,m))，(\vec=(2,-1))，若(\vec{a}\perp(\vec{a}-\vec))，則(m=)（）A.-3或1B.-1或3C.-3D.1某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為（）A.(12\pi)B.(16\pi)C.(20\pi)D.(24\pi)（注：此處默認(rèn)三視圖為一個(gè)底面半徑2cm、高3cm的圓柱與一個(gè)半徑2cm的半球組合體）已知等比數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和為(S_n)，若(S_3=7)，(S_6=63)，則(a_7+a_8+a_9=)（）A.128B.256C.512D.1024若雙曲線(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>0,b>0)）的一條漸近線方程為(y=2x)，且過(guò)點(diǎn)((2,2\sqrt{3}))，則該雙曲線的焦距為（）A.2B.4C.6D.8已知函數(shù)(f(x)=\sin(\omegax+\varphi))（(\omega>0,|\varphi|<\frac{\pi}{2})）的部分圖象如圖所示，則(f(x))的解析式為（）A.(f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{3}))B.(f(x)=\sin(2x-\frac{\pi}{3}))C.(f(x)=\sin(x+\frac{\pi}{6}))D.(f(x)=\sin(x-\frac{\pi}{6}))（注：此處默認(rèn)圖象顯示周期為(\pi)，過(guò)點(diǎn)((\frac{\pi}{6},1))）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入(n=5)，則輸出的(S=)（）A.10B.15C.20D.25（注：此處默認(rèn)程序框圖功能為計(jì)算(1+3+5+7+9)）已知直線(l:y=kx+1)與圓(C:(x-1)^2+(y-2)^2=4)相交于(A,B)兩點(diǎn)，若(|AB|=2\sqrt{3})，則(k=)（）A.(-\frac{3}{4})B.(\frac{3}{4})C.(-\frac{4}{3})D.(\frac{4}{3})已知函數(shù)(f(x)=x^3-3x^2+ax+b)在(x=-1)處取得極值，則(a=)（）A.-6B.6C.-9D.9在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所對(duì)的邊分別為(a,b,c)，若(a=2)，(b=3)，(\cosC=\frac{1}{3})，則(c=)（）A.(\sqrt{3})B.(\sqrt{7})C.(\sqrt{10})D.(\sqrt{13})已知函數(shù)(f(x)=\begin{cases}\log_2x,&x>0,\2^x,&x\leq0,\end{cases})則(f(f(-1))=)（）A.-1B.0C.1D.2二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）若((x+\frac{1}{x})^n)的展開(kāi)式中第3項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則該展開(kāi)式中(x^2)的系數(shù)為_(kāi)_______．已知實(shí)數(shù)(x,y)滿足約束條件(\begin{cases}x+y\geq2,\x-y\leq2,\y\leq2,\end{cases})則(z=x+2y)的最大值為_(kāi)_______．從3名男生和2名女生中隨機(jī)抽取2人參加社區(qū)服務(wù)，則至少有1名女生的概率為_(kāi)_______．已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=2a_n+1)，則數(shù)列({a_n})的通項(xiàng)公式為_(kāi)_______．三、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）（本小題滿分10分）在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所對(duì)的邊分別為(a,b,c)，已知(\sinA+\sinB=2\sinC)，且(a=2b)．（1）求(\cosC)的值；（2）若(\triangleABC)的面積為(3\sqrt{15})，求(c)的值．（本小題滿分12分）如圖，在三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AA_1\perp)底面(ABC)，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，點(diǎn)(D,E)分別為(BC,B_1C_1)的中點(diǎn)．（1）求證：(DE\parallel)平面(ABB_1A_1)；（2）求二面角(A-B_1C-A_1)的余弦值．（本小題滿分12分）已知橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>b>0)）的離心率為(\frac{\sqrt{3}}{2})，且過(guò)點(diǎn)((2,1))．（1）求橢圓(C)的方程；（2）設(shè)直線(l:y=kx+m)與橢圓(C)交于(A,B)兩點(diǎn)，(O)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若(k_{OA}\cdotk_{OB}=-\frac{1}{4})，求證：(\triangleAOB)的面積為定值．（本小題滿分12分）為了提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，某校開(kāi)展了“數(shù)學(xué)器件”實(shí)踐活動(dòng)，學(xué)生需利用3D打印技術(shù)制作數(shù)學(xué)模型．現(xiàn)從參加活動(dòng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取100人，統(tǒng)計(jì)其模型制作時(shí)間（單位：小時(shí)），得到如下頻率分布直方圖：（注：此處默認(rèn)直方圖分組為[0,1),[1,2),[2,3),[3,4),[4,5]，頻率分別為0.1,0.2,0.3,0.3,0.1）（1）求這100名學(xué)生模型制作時(shí)間的平均數(shù)和方差（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）若制作時(shí)間在[3,5]小時(shí)內(nèi)的學(xué)生被評(píng)為“優(yōu)秀制作者”，現(xiàn)從“優(yōu)秀制作者”中隨機(jī)抽取2人，求至少有1人制作時(shí)間在[4,5]小時(shí)內(nèi)的概率．（本小題滿分12分）已知函數(shù)(f(x)=x\lnx-ax^2+(2a-1)x)（(a\in\mathbb{R})）．（1）當(dāng)(a=1)時(shí)，求函數(shù)(f(x))的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)(f(x))在區(qū)間((1,+\infty))上單調(diào)遞減，求(a)的取值范圍．（本小題滿分12分）已知拋物線(E:y^2=4x)的焦點(diǎn)為(F)，準(zhǔn)線為(l)，過(guò)點(diǎn)(F)的直線與拋物線(E)交于(A,B)兩點(diǎn)，點(diǎn)(A)在(l)上的射影為(A_1)．（1）求證：直線(A_1B)過(guò)定點(diǎn)；（2）若(|AB|=8)，求(\triangleA_1AB)的面積．參考答案及解析（注：實(shí)際考試中此處省略，僅提供試題內(nèi)容）A2.C3.B4.C5.C6.D7.A8.B9.A10.C11.B12.A21014.815.(\frac{7}{10})16.(a_n=2^n-1)（1）(\cosC=\frac{1}{4})；（2）(c=4\sqrt{6})（2）(\frac{\sqrt{3}}