基于計數(shù)單位視角的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)“整體化思考、一致性表達”研究——以蘇教版六年級上冊《分數(shù)乘整數(shù)》為例摘要：本研究以蘇教版六年級上冊《分數(shù)乘整數(shù)》為具體研究對象，聚焦計數(shù)單位視角下的“整體化思考、一致性表達”教學(xué)實踐。通過教材分析與教學(xué)實驗，揭示當前分數(shù)乘整數(shù)教學(xué)中存在的算理表達碎片化、與整數(shù)乘法本質(zhì)關(guān)聯(lián)缺失等問題。研究提出基于計數(shù)單位的“算理一致性建構(gòu)”策略，包括建立“分數(shù)單位×整數(shù)=分數(shù)單位個數(shù)累加”的認知模型、設(shè)計貫通整數(shù)與分數(shù)乘法的計數(shù)單位表達范式、開發(fā)“單位-個數(shù)”雙維可視化工具。教學(xué)實驗表明，該策略能有效幫助學(xué)生理解分數(shù)乘整數(shù)的本質(zhì)是“相同分數(shù)單位的個數(shù)累加”，實現(xiàn)與整數(shù)乘法“相同計數(shù)單位運算”的本質(zhì)統(tǒng)一，提升運算能力與數(shù)感素養(yǎng)。關(guān)鍵詞：計數(shù)單位；整體化思考；一致性表達；蘇教版教材一、引言（一）研究背景數(shù)的運算是小學(xué)數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)主線，在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占據(jù)重要地位。數(shù)的運算教學(xué)是一個逐步深入的過程，從基本的加減乘除法到復(fù)雜的混合運算，再到分數(shù)、小數(shù)和比例等更為抽象的概念，關(guān)鍵在于讓學(xué)生經(jīng)歷算理和算法的探索過程，理解算理、掌握算法，培養(yǎng)學(xué)生的運算能力與推理意識，為將來的學(xué)習(xí)和應(yīng)用做好準備。[1]雖然一線教師都很重視計算教學(xué)，但是調(diào)查發(fā)現(xiàn)，各學(xué)段學(xué)生的運算能力并不強。造成這個問題的因素有很多，其中最大的問題是學(xué)生對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)概念和算理的理解不透徹，各種運算的算理相互割裂，沒有聯(lián)系貫通。新課標強調(diào)，要讓“計數(shù)單位”貫穿于數(shù)的運算教學(xué)，以“計數(shù)單位”作為數(shù)運算教學(xué)的核心要素，將加、減、乘、除的算理聯(lián)系起來，讓學(xué)生了解運算內(nèi)容背后的算法共通的道理。[2]“分數(shù)乘整數(shù)”是蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材六年級的教學(xué)內(nèi)容，學(xué)習(xí)目標為理解分數(shù)乘整數(shù)的意義，體會分數(shù)乘整數(shù)計算過程，推算出分數(shù)乘整數(shù)的計算法則，能夠完成計算。[3]新課標中，“分數(shù)乘整數(shù)”的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)目標讓學(xué)生積極主動地探索數(shù)運算的一致性。[4]學(xué)生在學(xué)習(xí)新知之前，已經(jīng)學(xué)習(xí)過整數(shù)乘法、小數(shù)乘法于分數(shù)加減法，具備一定的運算能力。因此，在教學(xué)本課時，以學(xué)生已有的知識經(jīng)驗為基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生主動探究算法，比較不同算法之間的聯(lián)系，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)活動中去感悟分數(shù)乘整數(shù)的本質(zhì)是計數(shù)單位的累加，體會不同運算之間的關(guān)聯(lián)性、一致性，從而提高他們的運算能力和邏輯思維能力。[5]（二）研究意義1.

理論意義在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)領(lǐng)域，分數(shù)運算尤其是分數(shù)乘整數(shù)的教學(xué)一直是重點和難點。目前，計數(shù)單位理論在分數(shù)運算教學(xué)中的應(yīng)用尚不夠深入，且分數(shù)乘整數(shù)與整數(shù)乘法一致性的研究存在明顯空白。為提升教學(xué)效果、完善理論體系，亟待系統(tǒng)探討計數(shù)單位理論如何豐富分數(shù)運算教學(xué)實踐，深入挖掘分數(shù)乘整數(shù)與整數(shù)乘法間的內(nèi)在邏輯聯(lián)系，從而填補這一重要研究空白，為數(shù)學(xué)教育的理論發(fā)展與實踐優(yōu)化提供有力支撐。2.

實踐意義為解決分數(shù)乘整數(shù)教學(xué)中“知其然不知其所以然”的難題，我將結(jié)合教學(xué)實際，從情境創(chuàng)設(shè)、分層訓(xùn)練、反思探究、感悟本質(zhì)等多個維度，設(shè)計一系列便于教師落地實施的計數(shù)單位教學(xué)策略。二、計數(shù)單位視角下《分數(shù)乘整數(shù)》的理論內(nèi)涵（一）分數(shù)乘整數(shù)的計數(shù)單位本質(zhì)分數(shù)乘整數(shù)的運算可分解為兩個維度：1.計數(shù)單位維度：分數(shù)單位（1/n）保持不變；2.個數(shù)維度：分數(shù)單位的個數(shù)（分子）與整數(shù)相乘。如“×4”的本質(zhì)是：計數(shù)單位：；單位個數(shù)：2個×4=8個；結(jié)果表達：8個=。這與整數(shù)乘法“2×4”（2個一×4=8個一=8）在“計數(shù)單位×個數(shù)”的運算結(jié)構(gòu)上完全一致。（二）“整體化思考”的教學(xué)要義從計數(shù)單位視角進行整體化思考，需建立三重關(guān)聯(lián)：1.知識縱向關(guān)聯(lián)：將分數(shù)乘整數(shù)與三年級“整數(shù)乘法”（如2×4）、五年級“小數(shù)乘法”（如0.2×4）納入“計數(shù)單位個數(shù)運算”的統(tǒng)一框架；2.算理邏輯關(guān)聯(lián)：揭示“2×4=8”（2個一×4=8個一）、“0.2×4=0.8”（2個0.1×4=8個0.1）、“2/3×4=”（2個×4=8個）的同理性；3.表征方式關(guān)聯(lián)：統(tǒng)一使用“（a個u）×b=(a×b)個u”的符號表達（u為計數(shù)單位，a為單位個數(shù)，b為整數(shù)）。（三）“一致性表達”的算理范式分數(shù)乘整數(shù)的算理表達需遵循“三步驟一致性范式”：1.確定分數(shù)單位：如的計數(shù)單位是；2.計算單位個數(shù)：2個×4=8個；3.組合單位與個數(shù)：8個=。該范式與整數(shù)乘法“2×4”的表達——“2個一×4=8個一=8”形成嚴格對應(yīng)，避免因符號形式差異導(dǎo)致的算理割裂。三、蘇教版六年級上冊《分數(shù)乘整數(shù)》的教學(xué)現(xiàn)狀分析（一）教材編排中的計數(shù)單位滲透分析1.例題呈現(xiàn)方式（蘇教版六年級上冊P2例1）原題：做一朵綢花用米綢帶，做3朵這樣的綢花用多少米綢帶？教材解法：加法思路：++=（米）；乘法思路：×3=（米），解釋為“3個相加”。計數(shù)單位滲透：僅通過加法直觀體現(xiàn)“個數(shù)累加”，未明確提出“3個×3=9個”的計數(shù)單位運算邏輯。2.算理引導(dǎo)設(shè)計教材在例題旁設(shè)置“小棒圖”和“分數(shù)加法豎式”，但缺乏對“分數(shù)單位”的顯性標注（如未在圖中標注“米”的單位量），導(dǎo)致學(xué)生關(guān)注“分子乘整數(shù)”的算法形式，忽視“分數(shù)單位個數(shù)”的運算本質(zhì)。3.與整數(shù)乘法的銜接設(shè)計教材未安排分數(shù)乘整數(shù)與整數(shù)乘法的對比環(huán)節(jié)，未呈現(xiàn)“3×3=9（3個一×3=9個一）”與“×3=（3個×3=9個）”的算理類比，錯失構(gòu)建整體認知的機會。（二）教學(xué)實踐中的問題剖析1.算理表達碎片化問題根據(jù)調(diào)查顯示，85%的教師在教學(xué)“×4”時，僅強調(diào)“2×4=8作分子，分母3不變”，未解釋“2個乘4”的單位運算過程，導(dǎo)致學(xué)生將分數(shù)乘整數(shù)視為獨立于整數(shù)乘法的新規(guī)則。2.計數(shù)單位脫節(jié)問題后測調(diào)查（n=120）發(fā)現(xiàn)，67%的學(xué)生認為“2×4”與“×4”是不同類型的運算，僅23%能指出兩者均為“單位個數(shù)相乘”，反映出計數(shù)單位視角的教學(xué)缺失。3.遷移應(yīng)用困難問題在“0.2×4=0.8”與“×4=”的關(guān)聯(lián)題中，僅19%的學(xué)生能說明“0.2=2個0.1”與“=2個”的等價性，表明學(xué)生未建立跨數(shù)域的計數(shù)單位統(tǒng)一認知。四、基于計數(shù)單位視角的教學(xué)策略設(shè)計（一）創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)探究《分數(shù)乘整數(shù)》一課，教材中的例題創(chuàng)設(shè)了綢花制作的情境。教學(xué)伊始，利用此情境引人，然后提出問題，引發(fā)學(xué)生探究。出示情景圖，先讓學(xué)生找出圖中的數(shù)學(xué)信息。然后讓學(xué)生說一說“米”表示什么意思？通過交流，使學(xué)生明確：把1米平均分成10份，其中的一份是米，3份是米。結(jié)合交流，媒體動畫同步出示圖片。隨后，教師追問：米里面有幾個米？做一朵綢花需要用米綢帶，做這樣的3朵綢花需要用多少米綢帶呢？請學(xué)生先涂一涂，再列出算式。學(xué)生在探究單上涂色表示。組織學(xué)生交流：①做一朵綢花需要用３個米，做３朵就要用９個米。②做一朵綢花需要用米，３朵就要涂這樣的３個米．一共是米。列出算式或交流中，教師適時提問：×３這個乘法算式與我們之前學(xué)過的乘法算式有什么不同嗎？學(xué)生通過觀察發(fā)現(xiàn)“這個乘法算式中有分數(shù)，也有整數(shù)”，從而順利引出新課，進入新知的探究學(xué)習(xí)。[6]反思：本環(huán)節(jié)充分利用教材提供的情境圖引出教學(xué)問題，讓學(xué)生感受到教學(xué)來源于日常生活中的實際問題，充分調(diào)動學(xué)生的生活經(jīng)驗和學(xué)習(xí)興趣。教學(xué)時，先讓學(xué)生說一說米表示的意思，從而自然地引出分數(shù)單位“”，為后續(xù)的乘法計算做好鋪墊。盡管本課知識不算復(fù)雜，但學(xué)生第一次學(xué)習(xí)分數(shù)乘整數(shù)，且與以往學(xué)習(xí)到的知識之間缺乏聯(lián)系，所以在列式計算前先讓學(xué)生利用已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗在直條圖上涂一涂、標一標，可以讓學(xué)生直觀地看到“做3朵綢花需要用米”，為分數(shù)乘整數(shù)算理的理解搭建腳手架，降低學(xué)習(xí)的難度。（二）反思探究，建構(gòu)新知1.

連接經(jīng)驗，嘗試計算六年級的學(xué)生已經(jīng)積累了一定的知識基礎(chǔ)和經(jīng)驗方法，能夠利用舊知解決新的問題。因此，在學(xué)生列出算式后，鼓勵學(xué)生嘗試計算，然后組織交流，分享算法，在交流與分享中引導(dǎo)學(xué)生主動學(xué)習(xí)與思考。組織學(xué)生交流“＋＋”的計算方法，并說一說是怎么想的。方法一：＋＋==（米），因為里面有3個，＋＋就是3個＋3個＋3個=9個。方法二：把分數(shù)換算成小數(shù)，＋＋=0.3＋0.3＋0.3=0.9（米），因為0.3里面有3個0.1，3個0.3就有9個0.1，所以是0.9。隨后，教師追問：比較這兩種算法的計算過程，你有什么發(fā)現(xiàn)？通過交流，學(xué)生明白：分數(shù)加法算出9個，小數(shù)加法算出有9個0.1，它們都是在計算一共有幾個“計數(shù)單位”，因此分數(shù)和小數(shù)加法計算實質(zhì)上都是計數(shù)單位的累加。接著，教師拋出問題：×3這個分數(shù)乘法算式該怎樣計算呢？分數(shù)乘整數(shù)是不是與分數(shù)、小數(shù)加法一樣，也是“計數(shù)單位”的累加呢？反思：本環(huán)節(jié)給學(xué)生提供了充分的獨立思考時間，放手讓學(xué)生主動嘗試計算。隨后，教師有意先請用分數(shù)和小數(shù)方法計算的兩位學(xué)生進行交流分享，并引導(dǎo)學(xué)生對比分數(shù)和小數(shù)加法的計算過程，在比較中學(xué)生主動發(fā)現(xiàn)：不管是分數(shù)加法，還是小數(shù)加法，它們“都是在計算一共有幾個計數(shù)單位”，“都是計數(shù)單位的累加”。教師在因勢利導(dǎo)提出“分數(shù)乘整數(shù)是不是與分數(shù)、小數(shù)加法一樣，也是計數(shù)單位的累加呢？這一問題，給學(xué)生指明了思考的方向，為繼續(xù)探究“×3”的計算方法奠定良好的基礎(chǔ)。2.

疏通算理，提煉算法掌握算法與探究算理是計算教學(xué)中同等重要的兩大任務(wù)。因此，在學(xué)生嘗試計算后，組織交流活動，以此幫助學(xué)生疏通算理，提煉算法。學(xué)生交流“×3”的計算方法，并說明理由。主要有以下幾種想法：（1）因為米=3分米，3個3分米是9分米，9分米=米，所以×3=（米）。（2）×3=（米），因為表示3個，3朵綢花一共要用（3×3）個，就是。（3）×3=（×3）×3=×（3×3）=×9=（米）。（4）×3=＋＋===（米）。隨后，引導(dǎo)學(xué)生比較以上幾種算法，思考它們有什么內(nèi)在的聯(lián)系。在討論與交流中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：這幾種方法都要算3×3=9，最后都得出一共有9個是；計算中分母都沒有發(fā)證變化？通過交流，使學(xué)生理解：因為在計算過程中分數(shù)單位都是，沒有發(fā)生變化，所以分母不變。繼續(xù)追問：分數(shù)單位不變，那什么變了呢？在觀察比較中，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：分數(shù)單位的個數(shù)變了，所以分子也變了。最后，教師拋出問題：現(xiàn)在，你們覺得怎樣計算分數(shù)乘整數(shù)呢？在交流中歸納得出分數(shù)乘整數(shù)的計算方法：分母不變，只要將分子與整數(shù)相乘的積作分子，即：×3==（米）。反思：新課標新課振傷導(dǎo)學(xué)生進行個性化學(xué)習(xí)，在計算教學(xué)中鼓勵學(xué)生“算法多樣化”，目的是發(fā)展學(xué)生的思維力和創(chuàng)新力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。在學(xué)生獨立探索算法后，教師給學(xué)生提供了充分了的交流空間，以此讓學(xué)生理清自己的思路，清晰地表達個性化的算法。在充分交流后，再引導(dǎo)學(xué)生比較這幾種算法，在比較中突出不同算法之間的內(nèi)在聯(lián)系與本質(zhì)，同時通過“為什么分母都沒有變”這一問題將學(xué)生的思維引向“計數(shù)單位”，讓學(xué)生體會到：分母不變是因為分數(shù)單位沒變。其中用第二、三鐘算法的學(xué)生已經(jīng)關(guān)注到分數(shù)單位，他們在主動思考“有幾個這樣的分數(shù)單位”。緊接著，又通過“分數(shù)單位不變，那什么變了呢”這一追問，使學(xué)生明白：變的是分數(shù)單位的個數(shù)，積的分子實質(zhì)上是乘數(shù)的分子累加的結(jié)果。由此，在探索、比較、交流活動中，學(xué)生不僅僅獲得了知識技能，掌握了分數(shù)乘整數(shù)的算理與算法，更發(fā)展了數(shù)學(xué)思考素養(yǎng)，提高了學(xué)習(xí)能力。3.

對比練習(xí)，優(yōu)化算法經(jīng)歷前面的探索學(xué)習(xí)活動，學(xué)生已經(jīng)掌握了分數(shù)乘整數(shù)計算的基本算理與算法，本環(huán)節(jié)組織學(xué)生進行對比練習(xí)，旨在引導(dǎo)學(xué)生進一步優(yōu)化算法，建立“分數(shù)乘整數(shù)”的計算模型。出示習(xí)題：小華做5朵這樣的綢花，一共用綢帶幾分之幾米？讓學(xué)生自主解決這個問題。然后，組織學(xué)生交流：（1）×5=3×==（米）；（2）×5=3×=（米）引導(dǎo)學(xué)生比較這兩種算法，并明確第二種算法（先約分再計算）更簡便。接著，教師成熱打鐵，繼續(xù)出示兩道習(xí)題：×2和×2，讓學(xué)生獨立完成，然后交流算法。學(xué)生在交流×2時，出現(xiàn)了兩種結(jié)果：（1）×2=；（2）×2=12×=。于是，組織學(xué)生討論：正確的結(jié)果應(yīng)該是多少？你是怎么想的？通過辨析，學(xué)生明白：結(jié)果應(yīng)該是。雖然兩道算式中都有2和12，但第一題中的12應(yīng)該在分母的位置，能和2約分，第二題中的12在分子的位置，不能和2約分，所以分數(shù)和整數(shù)相乘，整數(shù)只能和分數(shù)的分母約分，不能和分子約分。隨后，教師追問：現(xiàn)在，你們覺得“分數(shù)和整數(shù)”應(yīng)該怎樣計算呢？學(xué)生交流并得出結(jié)論：分數(shù)和整數(shù)相乘，用分子和整數(shù)相乘的積作分子，分母不變，如果整數(shù)和分母能約分的，要先約分再計算。最后，教師提問：如果用(b不等于0）表示一個分數(shù)，用c表示一個整數(shù)，那么與c相乘，結(jié)果可以怎樣表示呢？學(xué)生得出分數(shù)乘整數(shù)的計算方法：×c=。反思：在計算“×5”時，先放手讓學(xué)生獨立完成，然后在交流中促使學(xué)生反思自己的算法，在反思中主動體會如何計算更加簡便，從而優(yōu)化算法。緊接著，教師精選兩道練習(xí)題讓學(xué)生獨立完成，隨后組織交流算法。對于“×2”的計算結(jié)果學(xué)生沒有異議，而“×2”的計算出現(xiàn)了兩種答案，這也是分數(shù)計算中的易錯點。于是，教師抓住這轉(zhuǎn)瞬即逝的寶貴教學(xué)資源，為學(xué)生創(chuàng)立了一個暢所欲言的空間，組織學(xué)生開展積極的思考和討論，通過對錯例的辨析，幫助學(xué)生突破計算的難點，明白“整數(shù)只能和分數(shù)的分母約分，不能和分子約分”，從而加深對算理、算法的理解，并生成“分數(shù)乘整數(shù)”的計算模型，為后續(xù)使用模型探究乘法運算的本質(zhì)做好準備。（三）溝通聯(lián)系，感悟本質(zhì)數(shù)學(xué)知識間有著緊密的聯(lián)系，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生將碎片化的知識連成線、織成網(wǎng)，幫助學(xué)生形成知識體系。新課后，教師精心設(shè)計三組練習(xí)題，旨在幫助學(xué)生建立知識間的聯(lián)系，感悟數(shù)運算的本質(zhì)。媒體出示下面三組題：（1）

3×2=

（2）0.3×2=

（3）×2=

30×2=

0.03×2=

×2=300×2=

0.003×2=

×2=學(xué)生口答得數(shù)，同時交流每一組題的算法：第（1）組題先算“3×2=6”，然后分別在得數(shù)后面加1個0，2個0。第（2）組題先算“3×2=6”，然后看乘數(shù)是幾位小數(shù)，就從右邊起數(shù)出幾位，點上小數(shù)點。第（3）組題分母