第15章

軸對稱圖形與等腰三角形15.2線段的垂直平分線第1課時

垂直平分線的認識課堂小結隨堂演練獲取新知情景導入例題精講知識回顧

通過上一節(jié)的學習我們知道，如果兩個點所連線段被某條直線垂直平分，那么這兩個點關于這條直線成軸對稱.這說明線段是軸對稱圖形，這條線段的垂直平分線是它的對稱軸.知識回顧情境導入

如圖，點O是線段AB的中點，直線MN經過點O，且MN⊥AB，那么直線MN是線段AB的垂直平分線.

由于直線MN上的點O是線段AB的中點，因此OA=OB.在直線MN上任取兩點P,Q（在線段AB的兩側各取一點），分別連接PA,PB,QA,QB.PA,PB的長有什么關系？QA與QB呢？

已知：如圖，直線MN經過線段AB的中點O，且MN⊥AB，點P是MN上任意一點.求證：PA=PB.

由上面證明，我們得到垂直平分線的如下性質：幾何語言：∵直線PO垂直平分AB，∴PA=PB.溫馨提示：這個定理向我們提供了一個證明線段相等的方法，以后可當作等腰三角形的一種判定方法.ABPO線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等.知識要點思考：你能寫出上面定理的逆命題嗎？它是真命題嗎？如果是真命題，請給出證明.

逆命題：到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上.PAB已知：如圖，點P是線段AB外一點，且PA=PB．求證：點P在線段AB的垂直平分線上．證明：設線段AB的中點為O,連接PO并延長.在△POA和△POB中,∴△POA≌△POB(SSS)，∴∠POA=∠POB，∵∠POA+∠POB=180°，∴∠POA=90°.∴直線PO是線段AB的垂直平分線，∴點P在線段AB的垂直平分線上.PABO還可以怎么做輔助線？證明：作∠APB的角平分線PO,交PO于點O.在△POA和△POB中，

PA=PB，∠APO=∠BPO，PO=PO，∴△POA≌△POB（SAS）．∴∠POA=∠POB，OA=OB.PABO∵∠POA+∠POB=180°，∴∠POA=90°.∴直線PO是線段AB的垂直平分線，∴點P在線段AB的垂直平分線上.到一條線段兩端距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上．幾何語言：∵PA=PB，∴點P在AB的垂直平分線上．PAB作用：判斷一個點是否在線段的垂直平分線上.線段垂直平分線性質定理的逆定理知識要點(2)若PA=PB,同時MA=MB,則直線PM是線段AB的中垂線嗎？PABl不一定是.理由：經過一點的直線有無數(shù)條.思考：(1)若PA=PB,過點P作直線l,則l是線段AB的中垂線嗎？是.理由：兩點確定一條直線.M證明某條直線是一條線段的垂直平分線的方法:(1)按定義:證明這條直線既垂直于這條線段,又平分該線段;(2)按判定定理:證明這條直線上有兩點到線段兩端的距離相等.歸納總結幾何語言：∵AB=AC，MB=MC，∴點A、M均在線段BC的中垂線上，∴AM垂直平分BC.A

B

C

D

M解：

∵DE是AB的垂直平分線，

∴AE＝BE，

∴BE＋CE＝AE＋CE＝AC＝14.∵△BCE的周長為24，∴BC＝△BCE的周長－(BE＋CE)

＝24－14＝10.

即BC的長為10.

例1.如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線DE交AB，AC于點D，E，AC＝14，△BCE的周長為24，求BC的長.例題講解D1.如圖，已知線段AB，BC的垂直平分線l1，l2交于點M，則線段AM，CM的大小關系是(

)A．AM>CMB．AM＝CMC．AM<CMD．無法確定B4．如圖所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，AB的垂直平分線MN交AC于點D，連接BD.若DC∶BD＝3∶5，求DC的長．解：因為DC∶BD＝3∶5，設DC＝3x，則BD＝5x.又因為MN垂直平分AB，所以AD＝BD＝5x.所以AC＝AD＋DC＝