《提分練習1菱形的性質與判定的四種應用》典例剖析例[易錯題]如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AC=6cm.求此菱形的周長和面積.解題秘方：要求菱形的周長，需先求菱形的邊長，而邊長可通過菱形一對角線分菱形所得的兩個等邊三角形求出.要求菱形的面積，可以先求菱形的另一條對角線長，再利用菱形的面積等于對角線乘積的一半求出.解：如圖，連接BD，BD與AC交于點O.∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD=120°，∴AB=BC，∠BAC=60°，AC⊥BD，AO=OC，BO=OD.∴△ABC是等邊三角形.∵AC=6cm，∴AB=BC=AC=6cm.∴菱形的周長為6×4=24（cm）.在Rt△ABO中，AB=6cm，AO=AC=3cm，∴（cm）∴BD=2BO=cm.∴（）.分類訓練應用一利用菱形的判定判斷圖形的形狀1.【中考·畢節(jié)】如圖，在平行四邊形ABCD中，P是對角線BD上的一點，過點C作CQ∥DB，且CQ=DP，連接AP，BQ，PQ.（1）求證：△APD≌△BQC；（2）若∠ABP+∠BQC=180°，求證：四邊形ABQP為菱形.2.在ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，EF過點O且與AB，CD分別相交于點E，F(xiàn).（1）如圖①，求證：OE=OF；（2）如圖②，若EF⊥DB，求證：四邊形BEDF是菱形.應用二利用菱形的性質與判定求角的度數(shù)3.【中考·濱州】如圖，在ABCD中，以點A為圓心，AB長為半徑畫弧交AD于點F，再分別以點B，F(xiàn)為圓心，大于BF的相同長為半徑畫弧，兩弧交于點P，連接AP并延長交BC于點E，連接EF，則所得四邊形ABEF是菱形.（1）根據(jù)以上尺規(guī)作圖的過程，求證：四邊形ABEF是菱形；（2）若菱形ABEF的周長為16，AE=，求∠C的大小.應用三利用菱形的性質與判定求線段長4.【中考·烏魯木齊】如圖，在四邊形ABCD中，∠BAC=90°，E是BC的中點，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于點F.（1）求證：四邊形AECD是菱形；（2）若AB=6，BC=10，求EF的長.應用四利用菱形的性質求最值5.如圖，已知菱形ABCD的對角線AC，BD的長分別為6和8，P是對角線BD上一動點.（1）若M，N分別是邊BC，CD的中點，求PM+PN的最小值；（2）若M，N分別是BC，CD上的動點，求PM+PN的最小值.

參考答案1.答案：證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC.∵CQ∥DB，∴∠BCQ=∠DBC，∴∠ADB=∠BCQ.∵DP=CQ，∴△APD≌△BQC.（2）∵CQ∥DB，且CQ=DP，∴四邊形CQPD是平行四邊形，∴CD=PQ，CD∥PQ.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AB∥CD，∴AB=PQ，AB∥PQ.∴四邊形ABQP是平行四邊形.∵△APD≌△BQC，∴∠APD=∠BQC.∵∠APD+∠APB=180°，∠ABP+∠BQC=180°，∴∠ABP=∠APB，∴AB=AP.∴四邊形ABQP為菱形.點撥：先判定四邊形ABQP是平行四邊形，再根據(jù)一組鄰邊相等（AB=AP）的平行四邊形是菱形判定四邊形ABQP是菱形.2.答案：證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB=OD，AB∥CD.∴∠EBO=∠FDO.在△OBE與△ODF中，∴△OBE≌△ODF（ASA），∴OE=OF.（2）∵OB=OD，OE=OF，∴四邊形BEDF是平行四邊形.∵EF⊥BD，∴四邊形BEDF是菱形.3.答案：（1）證明：由作圖過程可知，AB=AF，AE平分∠BAD.∴∠BAE=∠EAF.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC∥AD.∴∠AEB=∠EAF.∴∠BAE=∠AEB.∴BE=AB.∴BE=AF.∵AF∥BE，∴四邊形ABEF是平行四邊形.∵AB=BE，∴四邊形ABEF是菱形.（2）解：如圖，連接BF，交AE于G，∵菱形ABEF的周長為16，AE=，∴AB=BE=EF=AF=4，AG=AE=，AE⊥BF.在Rt△ABG中，，∴.∴BG=2.∴BF=2BG=4.∴AB=AF=BF=4.∴△ABF為等邊三角形.∴∠BAF=60°.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠C=∠BAF=60°.4.解析：（1）證明：∵AD∥BC，AE∥DC，∴四邊形AECD是平行四邊形.∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，E是BC的中點，∴BE=EC=AE，∴四邊形AECD是菱形.（2）解：如圖，過點A作AH⊥BC于點H，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，BC=10，由勾股定理得AC=8.∵，∴AH=.∵點E是BC的中點，BC=10，四邊形AECD是菱形，∴CD=CE=5.∵，∴EF=AH=.點撥：（1）根據(jù)平行四邊形和菱形的判定證明即可；（2）利用面積公式可求出EF的長.5.解析：（1）如圖，作點M關于BD的對稱點Q，連接NQ，PQ.由軸對稱的性質，知PQ=PM，∴PM+PN=PQ+PN.根據(jù)兩點之間線段最短，知PM+PN的最小值為QN的長.由菱形的對稱性及M是BC的中點，易知Q為AB的中點.又∵N為CD的中點，∴AQ=AB=CD=DN.又∵AQ∥DN，∴四邊形AQND是平行四邊形，∴AD=NQ.∵四邊形ABCD為菱形，AC=6，BD=8，∴AC⊥BD，OA=3，OD=4.在Rt△OAD中，由勾股定理，得，∴QN=5，即PM+PN的最小值為5.（2）作點M關于BD的對稱點，則點為AB上的動點，連接，結合（1）可知，的最小值是PM+PN的最小值.