第13章

三角形中的邊角關(guān)系、命題與證明13.2第4課時(shí)三角形的外角課堂小結(jié)隨堂演練獲取新知知識(shí)回顧例題精講知識(shí)回顧三角形內(nèi)角和定理:三角形的內(nèi)角和等于_______;推論1:直角三角形的兩銳角________;推論2:有兩個(gè)角互余的三角形是________三角形.180°互余直角獲取新知ABCD如圖，把△ABC的一邊BC延長(zhǎng)，得到∠ACD，像這樣，三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫做三角形的外角.如圖，∠ACD是△ABC的一個(gè)外角.問(wèn)題1

如圖，延長(zhǎng)AC到E,∠BCE是不是△ABC的一個(gè)外角？∠DCE是不是△ABC的一個(gè)外角？ECBAD∠BCE是△ABC的一個(gè)外角，∠DCE不是△ABC的一個(gè)外角.在三角形每個(gè)頂點(diǎn)處都有兩個(gè)外角.一個(gè)三角形一共有6個(gè)外角.∠ACD與∠BCE為對(duì)頂角，∠ACD=∠BCE.問(wèn)題2

如圖，∠ACD與∠BCE有什么關(guān)系？在三角形的每個(gè)頂點(diǎn)處有多少個(gè)外角？一個(gè)三角形一共有幾個(gè)外角？ECBAD三角形的外角應(yīng)具備的條件：①角的頂點(diǎn)是三角形的頂點(diǎn)；②角的一邊是三角形的一邊；③另一邊是三角形中一邊的延長(zhǎng)線.CBAD概念解讀FABCDE如圖,∠BEC是哪個(gè)三角形的外角？∠AEC是哪個(gè)三角形的外角？∠EFD是哪個(gè)三角形的外角？∠BEC是△AEC的外角;∠AEC是△BEC和△BEF的外角;∠EFD是△BEF和△DCF的外角.練一練三角形的外角ACBD相鄰的內(nèi)角思考1：

如圖，△ABC的外角∠BCD與其相鄰的內(nèi)角∠ACB有什么關(guān)系？∠BCD與∠ACB互補(bǔ).思考2

如圖，△ABC的外角∠BCD與其不相鄰的兩內(nèi)角(∠A，∠B)有什么關(guān)系？三角形的外角ACBD相鄰的內(nèi)角不相鄰的內(nèi)角∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠BCD+∠ACB=180°，∴∠BCD=∠A+∠B.三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.

如圖，試比較∠2、∠1的大??；如圖，試比較∠3、∠2、∠1的大小.

圖圖解：∵∠2=∠1+∠B,∴∠2＞∠1.解：∵∠2=∠1+∠B,∠3=∠2+∠D,∴∠3＞∠2＞∠1.推論3：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.

推論4：三角形的外角大于與它不相鄰任何一個(gè)內(nèi)角.ABCD∠CAD=∠B+∠C∠CAD>∠B，∠CAD>∠C歸納總結(jié)三角形內(nèi)角和定理的推論

（解法一）證明∵∠1=∠ABC+∠ACB,∠2=∠BAC+∠ACB∠3=∠BAC+∠ABC,（三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和）∴∠1+∠2+∠3=2(∠ABC+∠ACB+∠BAC).（等式性質(zhì)）

∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，（三角形內(nèi)角和定理）

∴∠1+∠2+∠3=360°.例題精講

例1

已知：如圖，∠1、∠2、∠3是△ABC的三個(gè)外角.

求證：∠1+∠2+∠3=360°.ABC123解法二：如圖，∠BAE+∠1=180°①，

∠CBF+∠2=180°②，∠ACD+∠3=180°③，又知∠1+∠2+∠3=180°，①+②+③得∠BAE+∠CBF+∠ACD+(∠1+∠2+∠3)=540°，∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°-180°=360°.ABCEFD((((((213BC1234AM結(jié)論：三角形的外角和等于360°.思考你能總結(jié)出三角形的外角和的數(shù)量關(guān)系嗎？DEF解法三：過(guò)A作AM∥BC，∴∠3＝∠4，∠2＝∠BAM，∴

∠1＋∠2＋∠3＝∠1＋∠4＋∠BAM=360°∴∠2＋∠

3＝∠

4＋∠BAM，例2

如圖，已知∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度數(shù).ABCD(((51°20°30°點(diǎn)撥：添加適當(dāng)?shù)妮o助線將四邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題.ABCD((20°30°解法一：連接AD并延長(zhǎng)于點(diǎn)E.在△ABD中，∠1+∠ABD=∠3，在△ACD中，∠2+∠ACD=∠4.∵∠BDC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2，∴∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD

=51°+20°+30°

=101°.E

))12)3)4ABCD(((51°20°30°E

)1解法二：延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)E.在△ABE中，∠1=∠ABE+∠BAE，在△ECD中，∠BDC=∠1+∠ECD.∴∠BDC=∠BAE+∠ABE+∠ACD

=51°+20°+30°=101°.解法三:連接延長(zhǎng)CD交AB于點(diǎn)F（解題過(guò)程同解法二）.)2F

解題的關(guān)鍵是正確的構(gòu)造三角形，利用三角形外角的性質(zhì)及轉(zhuǎn)化的思想，把未知角與已知角聯(lián)系起來(lái)求解.隨堂演練1．如圖，下列各角是△ABC的外角的是(

)A．∠1B．∠2C．∠3D．∠4C2．如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC上的點(diǎn)，點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線上，DE∥BC，∠A＝46°，∠1＝52°，則∠2的度數(shù)為(

)A．92°B．94°C．96°D．98°D3．已知：如圖，點(diǎn)D，E分別在AC，AB上，且∠B＝∠C，BD與CE相交于點(diǎn)O.求證：(1)∠AEC＝∠ADB；(2)∠BEC＞∠B.證明：(1)∵∠AEC＝∠B＋∠BOE，∠ADB＝∠C＋∠COD，

且∠B＝∠C，∠BOE＝∠COD，∴∠AEC＝∠ADB