第2課時(shí)圓的一般方程學(xué)習(xí)目標(biāo)1.探索并掌握?qǐng)A的一般方程，能進(jìn)行圓的一般方程和標(biāo)準(zhǔn)方程的互化．2.會(huì)根據(jù)不同的條件利用待定系數(shù)法求圓的一般方程．初步掌握點(diǎn)的軌跡方程的求法．新知初探基礎(chǔ)落實(shí)一、概念表述1.當(dāng)時(shí)，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0稱為圓的一般方程，圓心坐標(biāo)為，半徑為．(1)當(dāng)D2＋E2－4F＝0時(shí)，方程只有實(shí)數(shù)解x＝－eq\f(D,2)，y＝－eq\f(E,2)，因而方程表示一個(gè)點(diǎn)．(2)當(dāng)D2＋E2－4F<0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)解，因而方程不表示任何圖形．(3)當(dāng)D2＋E2－4F>0時(shí)，方程表示以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))為圓心、eq\f(\r(D2＋E2－4F),2)為半徑的圓．二、概念辨析：判斷正誤，正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”．(1)圓的一般方程可以化為標(biāo)準(zhǔn)方程．()(2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某個(gè)圓的方程．()(3)若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圓，則E≠0.()(4)任何一個(gè)圓的方程都能寫成一個(gè)二元二次方程．()典例精講能力初成探究1圓的一般方程的概念例1判斷下列方程是否表示圓，若是，寫出圓心和半徑．(1)3x2＋y2＋2x＋1＝0；(2)x2＋y2＋xy＋1＝0；(3)x2＋y2＋x＋2y＋1＝0；(4)x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0.判斷一個(gè)二元二次方程是否能表示圓的一般步驟：先看這個(gè)方程是否具備圓的一般方程的特征，即含x2與y2項(xiàng)的系數(shù)相等且不含xy項(xiàng)．當(dāng)它具有圓的一般方程的特征時(shí)，再判斷它能否表示圓，此時(shí)有兩種方法：①判斷D2＋E2－4F是否大于零；②直接配方變形為類似于圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，看等式的右邊是否為大于零的常數(shù)．探究2求圓的一般方程例2經(jīng)過三點(diǎn)A(－1，0)，B(3，0)，C(1，2)的圓與y軸交于M，N兩點(diǎn)，則|MN|等于()A.2eq\r(3) B.2eq\r(2)C.3 D.4求圓的方程時(shí)，如何判斷該用圓的一般方程還是標(biāo)準(zhǔn)方程？(1)如果由已知條件容易求得圓心坐標(biāo)、半徑或需要利用圓心坐標(biāo)或半徑列方程時(shí)，一般采用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，用待定系數(shù)法求出a，b，r.(2)如果已知條件和圓心、半徑無直接關(guān)系時(shí)，一般采用圓的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，用待定系數(shù)法求出參數(shù)D，E，F(xiàn).變式2如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，等腰梯形MNPQ的底邊長分別為6和4，高為3，O為MN的中點(diǎn)，求這個(gè)等腰梯形的外接圓的一般方程，并求這個(gè)圓的圓心坐標(biāo)和半徑．(變式2)探究3求與圓有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程例3(教材P87例5)已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4，3)，端點(diǎn)A在圓(x＋1)2＋y2＝4上運(yùn)動(dòng)，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程．求軌跡方程的方法：(1)代數(shù)法，建立關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)x，y的方程；(2)幾何法，通過已知條件確定動(dòng)點(diǎn)符合的幾何圖形，再求軌跡方程．變式3(教材P87例5補(bǔ)充)已知直角三角形ABC的斜邊為AB，且點(diǎn)A(－1，0)，B(3，0).(1)求直角頂點(diǎn)C的軌跡方程；(2)求直角邊BC的中點(diǎn)M的軌跡方程．隨堂內(nèi)化及時(shí)評(píng)價(jià)(2024·北京卷)圓x2＋y2－2x＋6y＝0的圓心到直線x－y＋2＝0的距離為()A.eq\r(2) B.2C.3 D.3eq\r(2)2.已知圓M經(jīng)過A(－2，0)，B(2，0)，C(0，4)三點(diǎn)，則圓心M到直線l：3x－4y－9＝0的距離為()A.eq\f(1,2) B.1C.2 D.33.已知圓C的方程為x2＋y2－2mx＋2my＋2m2－m－5＝0，若點(diǎn)(1，2)在圓外，則m的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪(0，＋∞)B.(0，＋∞)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－5，－\f(1,2)))∪(0，＋∞)4.(2025·無錫期末)已知點(diǎn)A(5，0)，點(diǎn)B在圓(x－1)2＋y2＝4上運(yùn)動(dòng)，則線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程是()A.x2＋y2－6x＋8＝0 B.x2＋y2－6x＋5＝0C.x2＋y2＋6x＋8＝0 D.x2＋y2＋6x＋5＝0配套新練案一、單項(xiàng)選擇題1.已知圓C：x2＋y2＝2ax，若直線y＝2x＋1過圓心C，則實(shí)數(shù)a的值為()A.0 B.－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2) D.12.若直線2x＋by－4＝0平分圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的周長，則實(shí)數(shù)b的值為()A.2 B.－2C.－3 D.33.已知圓x2＋y2＋ax＋by＋1＝0關(guān)于直線x＋y＝1對(duì)稱的圓的方程為x2＋y2＝1，則a＋b的值為()A.－2 B.±2C.－4 D.±44.已知圓C經(jīng)過O(0，0)，A(4，3)，B(1，－3)三點(diǎn)，則圓C的方程為()A.x2＋y2－4x－3y＝0B.x2＋y2－x＋3y＝0C.x2＋y2－5x－5＝0D.x2＋y2－7x＋y＝0二、多項(xiàng)選擇題5.已知圓M的一般方程為x2＋y2－8x＋6y＝0，那么下列說法正確的是()A.圓M的圓心坐標(biāo)為(4，－3)B.圓M與x軸的交點(diǎn)為(0，0)和(8，0)C.圓M的半徑為25D.點(diǎn)(1，－7)在圓M上6.已知圓的方程為x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，則下列結(jié)論正確的是()A.實(shí)數(shù)k的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(3),3)，\f(2\r(3),3)))B.實(shí)數(shù)k的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(2\r(3),3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，＋∞))C.當(dāng)圓的周長最大時(shí)，圓心坐標(biāo)是(0，－1)D.圓的最大面積是π三、填空題7.若不同的四點(diǎn)A(5，0)，B(－1，0)，C(－3，3)，M(a，3)共圓，則實(shí)數(shù)a的值為．8.由方程x2＋y2＋x＋(m－1)y＋eq\f(1,2)m2＝0所確定的圓中，面積最大的圓的方程為，最大面積是．四、解答題9.已知△ABC的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2，－8)，直線AB的方程為y＝－2x＋11，AC邊上的高BH所在直線的方程為x＋3y＋2＝0.(1)求頂點(diǎn)A和B的坐標(biāo)；(2)求△ABC外接圓的一般方程．10.已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到點(diǎn)A(2，0)的距離是它到點(diǎn)B(8，0)的距離的一半．(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；(2)若N為線段AM的中點(diǎn)，試求點(diǎn)N的軌跡．11.若實(shí)數(shù)x，y滿足x2＋y2－2x＋4y－20＝0，則x2＋y2的最小值是()A.eq\r(5)－5 B.5－eq\r(5)C.30－10eq\r(5) D.無法確定12.(教材P103第1