多元統(tǒng)計(jì)分析－因子分析2025/10/241.2025/10/242.

多元統(tǒng)計(jì)分析（簡(jiǎn)稱多元分析）是運(yùn)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法研究多變量（多指標(biāo)）問題的理論和方法，是一元統(tǒng)計(jì)學(xué)的推廣。2025/10/243.因子分析的提出為盡可能完整描述一個(gè)事物，往往要收集它的許多指標(biāo)多指標(biāo)產(chǎn)生的問題：計(jì)算處理麻煩信息重疊從眾多的指標(biāo)中剔除一些指標(biāo)又會(huì)造成信息丟失2025/10/244.因子分析是研究如何以最少的信息丟失將眾多原有變量濃縮成少數(shù)幾個(gè)因子,如何使因子具有一定的命名解釋性的多元統(tǒng)計(jì)分析方法.其核心是用較少的相互獨(dú)立的因子反映原有變量的絕大部分信息.2025/10/245.因子分析的基本思想因子分析的基本出發(fā)點(diǎn)將原始指標(biāo)綜合成較少的指標(biāo)，這些指標(biāo)能夠反映原始指標(biāo)的絕大部分信息（方差是各變量值與其均值離差平方的平均數(shù),是測(cè)度數(shù)值型數(shù)據(jù)離散程度的主要指標(biāo).）這些綜合指標(biāo)之間沒有相關(guān)性

2025/10/246.因子分析的基本思想因子變量的特點(diǎn)這些綜合指標(biāo)稱為因子變量，是原變量的重造個(gè)數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)少于原變量個(gè)數(shù)，但可反映原變量的絕大部分方差不相關(guān)性可命名解釋性2025/10/247.因子分析的基本步驟確認(rèn)待分析的原始變量是否適合作因子分析構(gòu)造因子變量利用旋轉(zhuǎn)方法使因子變量具有可解釋性計(jì)算每個(gè)樣本的因子變量得分2025/10/248.因子分析的數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型（xi為標(biāo)準(zhǔn)化的原始變量；Fi為因子變量；k<p）

也可以矩陣的形式表示為：

X=AF+εF：因子變量A：因子載荷陣aij:因子載荷ε:特殊因子2025/10/249.因子分析的相關(guān)概念因子載荷在因子變量不相關(guān)的條件下，aij就是第i個(gè)原始變量與第j個(gè)因子變量的相關(guān)系數(shù)。aij的絕對(duì)值越大，則Xi與Fi的關(guān)系越強(qiáng)特殊因子表示了原有變量不能被因子解釋的部分,其均值為0,相當(dāng)與多元線性回歸模型中的殘差.2025/10/2410.因子分析的相關(guān)概念變量的共同度(Communality)hi變量的共同度hi也稱公共方差。Xi的變量共同度為因子載荷矩陣A中第i行元素的平方和可見：Xi的共同度反應(yīng)了全部因子變量對(duì)Xi總方差的解釋能力2025/10/2411.可見：Xi的共同度反應(yīng)了全部因子變量對(duì)Xi總方差的解釋能力2025/10/2412.因子分析的相關(guān)概念因子變量Fj的方差貢獻(xiàn)SJ因子變量Fj的方差貢獻(xiàn)SJ為因子載荷矩陣A中第j列各元素的平方和可見：因子變量Fj的方差貢獻(xiàn)體現(xiàn)了同一因子Fj對(duì)原始所有變量總方差的解釋能力Sj/p表示了第j個(gè)因子解釋原所有變量總方差的比例2025/10/2413.檢驗(yàn)原有變量是否適合作因子分析計(jì)算原有變量的相關(guān)系數(shù)矩陣一般小于0.3就不適合作因子分析計(jì)算KMO檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是用于比較簡(jiǎn)單相關(guān)系數(shù)和偏相關(guān)系數(shù)的指標(biāo).取值在0-1之間.KMO越接近1,意味著變量間的相關(guān)性越強(qiáng),原有變量越適合做因子分析.0.9以上表示非常適合,0.8表示適合,0.7表示一般,0.6以下表示不適合.2025/10/2414.計(jì)算巴特利特球形檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量以原有變量的相關(guān)系數(shù)矩陣為出發(fā)點(diǎn)。其零假設(shè)是H0是:相關(guān)系數(shù)矩陣是單位矩陣。巴特利特球形檢驗(yàn)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量根據(jù)相關(guān)系數(shù)矩陣的行列式計(jì)算得到，且近似服從卡方發(fā)布。如果該統(tǒng)計(jì)量的觀測(cè)量比較大，且對(duì)應(yīng)的概率p值小于給定的顯著性水平α，則應(yīng)拒絕零假設(shè)，認(rèn)為相關(guān)系數(shù)矩陣不太可能是單位矩陣，原有變量適合作因子分析。反之，原有變量不適合作因子分析。原有變量是否適合作因子分析2025/10/2415.確定因子變量--主成份分析主成份分析法的數(shù)學(xué)模型：該方程組要求：將原有的P個(gè)相關(guān)變量Xi作線性變換后轉(zhuǎn)成另一組不相關(guān)的變量Yi2025/10/2416.確定因子變量--主成分分析系數(shù)uij依照兩個(gè)原則來(lái)確定yi與yj(i≠j,i,j=1,2,3,…p)互不相關(guān)；y1是x1,x2,x3,…,xp的一切線性組合（系數(shù)滿足上述方程組）中方差最大的；y2是與y1不相關(guān)的x1,x2,x3,…,xp的一切線性組合中方差次大的；yP是與y1,y2,y3,…yp都不相關(guān)的x1,x2,x3,…,xp的一切線性組合中方差最小的；y1在總方差中所占比例最大，它綜合原有變量的能力最強(qiáng)，其余變量在總方差中所占比例依次遞減，即：其余變量綜合原有變量的能力依次減弱。

2025/10/2417.確定因子變量--主成分分析2025/10/2418.確定因子變量--主成份分析主成份分析的基本步驟：將原始數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化計(jì)算變量間簡(jiǎn)單相關(guān)系數(shù)矩陣R求R的特征值λ1≥λ2≥λ3≥…λp≥0及對(duì)應(yīng)的單位特征向量μ1,μ2,μ3,…μp得到：yi=u1ix1+u2ix2+…+upixp2025/10/2419.2025/10/2420.確定因子變量個(gè)數(shù)確定k個(gè)因子變量根據(jù)特征值λi確定：取特征值大于1的特征根根據(jù)累計(jì)貢獻(xiàn)率：一般累計(jì)貢獻(xiàn)率應(yīng)在70%以上。2025/10/2421.確定因子變量個(gè)數(shù)確定k個(gè)因子變量通過觀察碎石圖的方式確定因子變量的個(gè)數(shù)。2025/10/2422.因子變量的命名解釋發(fā)現(xiàn)：aij的絕對(duì)值可能在某一行的許多列上都有較大的取值，或aij的絕對(duì)值可能在某一列的許多行上都有較大的取值。表明：某個(gè)原有變量xi可能同時(shí)與幾個(gè)因子都有比較大的相關(guān)關(guān)系，也就是說，某個(gè)原有變量xi的信息需要由若干個(gè)因子變量來(lái)共同解釋；同時(shí)，雖然一個(gè)因子變量可能能夠解釋許多變量的信息，但它卻只能解釋某個(gè)變量的一少部分信息，不是任何一個(gè)變量的典型代表。結(jié)論：因子變量的實(shí)際含義不清楚2025/10/2423.因子變量的命名解釋通過某種手段使：每個(gè)變量在盡可能少的因子上有比較高的載荷，即：在理想狀態(tài)下，讓某個(gè)變量在某個(gè)因子上的載荷趨于1，而在其他因子上的載荷趨于0。這樣：一個(gè)因子變量就能夠成為某個(gè)變量的典型代表，它的實(shí)際含義也就清楚了。2025/10/2424.因子變量的命名解釋2025/10/2425.因子分析的基本步驟1.菜單選項(xiàng)：analyze->DataReduction->Factor2.選擇參與因子分析的變量到Variables框3.Discriptive:分析是否適合做因子分析4.Extraction：選擇構(gòu)造因子變量的方法。默認(rèn)主成分分析法。Extract框：指定確定因子個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)5.Rotation：擇因子載荷矩陣的旋轉(zhuǎn)方法。默認(rèn)是不進(jìn)行旋轉(zhuǎn)。一般可以選擇Varimax選項(xiàng)采用方差極大法旋轉(zhuǎn)2025/10/2426.計(jì)算因子得分因子得分是因子變量構(gòu)造的最終體現(xiàn)?；舅枷耄菏菍⒁蜃幼兞勘硎緸樵凶兞康木€性組合，即：通過因子得分函數(shù)計(jì)算因子得分因子得分可看作各變量值的權(quán)數(shù)總和，權(quán)數(shù)的大小表示了變量對(duì)因子的重要程度

2025/10/2427.因子分析的應(yīng)用舉例因子分析在心理學(xué)上的應(yīng)用因子分析在經(jīng)濟(jì)分析上的應(yīng)用2025/10/24