濟南市外國語初中部七年級下學期期末壓軸難題數學試題題一、選擇題1．如圖，下列說法不正確的是（）A．和是同旁內角 B．和是內錯角C．和是同位角 D．和是同旁內角2．下列圖案可以由部分圖案平移得到的是（）A． B． C． D．3．下列各點中，在第四象限的是（）A． B． C． D．4．下列四個命題：①是64的立方根；②5是25的算術平方根；③如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行；④在平面直角坐標系中，與兩坐標軸距離都是2的點有且只有2個．其中真命題有（）個A．1 B．2 C．3 D．45．將一張邊沿互相平行的紙條如圖折疊后，若邊，則翻折角與一定滿足的關系是（）A． B． C． D．6．下列說法不正確的是（）A． B．C．的平方根是 D．的立方根是7．將直角三角尺的直角頂點靠在直尺上，且斜邊與這根直尺平行，那么，在形成的這個圖中與互余的角共有（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個8．如圖，點，點向上平移1個單位，再向右平移2個單位，得到點；點向上平移2個單位，再向右平移4個單位，得到點；點向上平移4個單位，再向右平移8個單位，得到點，…，按這個規(guī)律平移得到點，則點的橫坐標為（）A． B． C． D．二、填空題9．比較大小，請在橫線上填“＞”或“＜”或“＝”________.10．點關于軸的對稱點的坐標為______．11．如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，且∠BAD、∠ADC的角平分線AE、DF分別交BC于點E、F．若EF＝2，AB＝5，則AD的長為_______．12．如圖：已知AB∥CD，CE∥BF，∠AEC＝45°，則∠BFD＝_____．13．如圖，把一張長方形紙片沿EF折疊后ED與BC的交點為G，D、C分別在M、N的位置上，若，則____________，____________．14．已知M是滿足不等式的所有整數的和，N是滿足不等式x≤的最大整數，則M＋N的平方根為________．15．已知點A（0，0），|AB|=5，點B和點A在同一坐標軸上，那么點B的坐標是________．16．育紅中學八五班的數學社團在做如下的探究活動：在平面直角坐標系中，一個智能機器人接到如下指令：從原點O出發(fā)，按向上、向右、向下、向右的方向依次移動，每次移動1個單位長度，其移動路線如圖所示，第1次移動到點A1，第2次移動到點A2…第n次移動到點An，則△OA2A2021的面積是__________________．三、解答題17．（1）計算：（2）計算：（3）已知，求的值.18．求下列各式中的值（1）（2）19．完成下面的證明與解題．如圖，AD∥BC，點E是BA延長線上一點，∠E＝∠DCE．（1）求證：∠B＝∠D．證明：∵AD∥BC，∴∠B＝∠______________（______________）∵∠E＝∠DCE，∴AB∥CD（______________）．∴∠D＝∠______________（______________）．∴∠B＝∠D．（2）若CE平分∠BCD，∠E＝50°，求∠B的度數．20．已知：如圖，ΔABC的位置如圖所示：（每個方格都是邊長為個單位長度的正方形，ΔABC的頂點都在格點上），點A，B，C的坐標分別為(?1，0)，(5，0)，(1，5)．（1）請在圖中畫出坐標軸，建立直角坐標系；（2）點P(m，n)是ΔABC內部一點，平移ΔABC，點P隨ΔABC一起平移，點A落在A′(0，4)，點P落在P′(n，6)，求點P的坐標并直接寫出平移過程中線段PC掃過的面積．21．已知是的整數部分，是的小數部分，求的平方根．二十二、解答題22．如圖所示的正方形紙板是由兩張大小相同的長方形紙板拼接而成的，已知一個長方形紙板的面積為162平方厘米，求正方形紙板的邊長．二十三、解答題23．已知點C在射線OA上．（1）如圖①，CDOE，若∠AOB＝90°，∠OCD＝120°，求∠BOE的度數；（2）在①中，將射線OE沿射線OB平移得O′E'（如圖②），若∠AOB＝α，探究∠OCD與∠BO′E′的關系（用含α的代數式表示）（3）在②中，過點O′作OB的垂線，與∠OCD的平分線交于點P（如圖③），若∠CPO′＝90°，探究∠AOB與∠BO′E′的關系．24．（1）光線從空氣中射入水中會產生折射現象，同時光線從水中射入空氣中也會產生折射現象，如圖1，光線a從空氣中射入水中，再從水中射入空氣中，形成光線b，根據光學知識有，請判斷光線a與光線b是否平行，并說明理由．（2）光線照射到鏡面會產生反射現象，由光學知識，入射光線與鏡面的夾角與反射光線與鏡面的夾角相等，如圖2有一口井，已知入射光線與水平線的夾角為，問如何放置平面鏡，可使反射光線b正好垂直照射到井底?（即求與水平線的夾角）（3）如圖3，直線上有兩點A、C，分別引兩條射線、．，，射線、分別繞A點，C點以1度/秒和3度/秒的速度同時順時針轉動，設時間為t，在射線轉動一周的時間內，是否存在某時刻，使得與平行？若存在，求出所有滿足條件的時間t．25．在中，射線平分交于點，點在邊上運動（不與點重合），過點作交于點.（1）如圖1，點在線段上運動時，平分.①若，，則_____；若，則_____；②試探究與之間的數量關系？請說明理由；（2）點在線段上運動時，的角平分線所在直線與射線交于點.試探究與之間的數量關系，并說明理由.26．問題情境：如圖1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°．求∠APC度數．小明的思路是：如圖2，過P作PE∥AB，通過平行線性質，可得∠APC=50°+60°=110°．問題遷移：(1)如圖3，AD∥BC，點P在射線OM上運動，當點P在A、B兩點之間運動時，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．∠CPD、∠α、∠β之間有何數量關系？請說明理由；(2)在(1)的條件下，如果點P在A、B兩點外側運動時(點P與點A、B、O三點不重合)，請你直接寫出∠CPD、∠α、∠β間的數量關系．【參考答案】一、選擇題1．B解析：B【分析】根據同旁內角、內錯角、同位角的概念判斷即可．【詳解】解：如圖，A．∠1和∠A是MN與AN被AM所截成的同旁內角，說法正確，故此選項不符合題意；B．∠2和∠B不是內錯角，說法錯誤，故此選項符合題意；C．∠3和∠A是MN與AC被AM所截成的同位角，說法正確，故此選項不符合題意；D．∠4和∠C是MN與BC被AC所截成的同旁內角，說法正確，故此選項不符合題意；故選：B．【點睛】此題考查了同旁內角、內錯角、同位角，熟記同旁內角、內錯角、同位角的概念是解題的關鍵．2．C【分析】根據平移的定義，逐一判斷即可．【詳解】解：、是旋轉變換，不是平移，選項錯誤，不符合題意；、軸對稱變換，不是平移，選項錯誤，不符合題意；、是平移，選項正確，符合題意；、圖形的大解析：C【分析】根據平移的定義，逐一判斷即可．【詳解】解：、是旋轉變換，不是平移，選項錯誤，不符合題意；、軸對稱變換，不是平移，選項錯誤，不符合題意；、是平移，選項正確，符合題意；、圖形的大小發(fā)生了變化，不是平移，選項錯誤，不符合題意．故選：C．【點睛】本題考查平移變換，解題的關鍵是判斷圖形是否由平移得到，要把握兩個“不變”，圖形的形狀和大小不變；一個“變”，位置改變．3．B【分析】根據第四象限的點的橫坐標是正數，縱坐標是負數解答．【詳解】解：A、（3，0）在x軸上，不合題意；B、（2，-5）在第四象限，符合題意；C、（-5，-2）在第三象限，不合題意；D、（-2，3），在第二象限，不合題意．故選：B．【點睛】本題考查了各象限內點的坐標的符號特征，記住各象限內點的坐標的符號是解決的關鍵，四個象限的符號特點分別是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．4．B【分析】根據立方根和算術平方根的定義、平行線的性質、點到直線的距離逐項判斷即可．【詳解】64的立方根是4，故①是假命題；25的算數平方根是5，故②是真命題；如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行，故③是真命題；與兩坐標軸距離都是2的點有(2，2)、(2，-2)、(-2，2)、(-2，-2)共4點，故④是假命題．故選：B．【點睛】本題考查命題真、假的判斷．正確掌握相關定義、性質與判定是解題關鍵．5．B【分析】根據平行可得出∠DAB+∠CBA=180°，再根據折疊和平角定義可求出．【詳解】解：由翻折可知，∠DAE=2，∠CBF=2，∵,∴∠DAB+∠CBA=180°，∴∠DAE+∠CBF=180°，即，∴，故選：B．【點睛】本題考查了平行線的性質和角平分線的性質，解題關鍵是熟練運用平行線的性質進行推理計算．6．D【分析】利用平方根、算術平方根及立方根的定義分別判斷后即可確定正確的選項．【詳解】解：A、，正確，不符合題意；B、，正確，不符合題意；C、0.04的平方根是±0.2，正確，不符合題意；D、9的立方根是=3，故錯誤，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了平方根、算術平方根及立方根的定義，屬于基礎性定義，比較簡單．7．B【分析】由互余的定義、平行線的性質，利用等量代換求解即可．【詳解】解：∵斜邊與這根直尺平行，∴∠α=∠2，又∵∠1+∠2=90°，∴∠1+∠α=90°，又∠α+∠3=90°∴與α互余的角為∠1和∠3．故選：B．【點睛】此題考查的是對平行線的性質的理解，目的是找出與∠α和為90°的角．8．A【分析】根據平移方式先求得的坐標，找到規(guī)律求得的橫坐標，進而求得的橫坐標．【詳解】點的橫坐標為，點的橫坐為標，點的橫坐標為，點的橫坐標為，…按這個規(guī)律平移得到點的橫坐標為，∴點解析：A【分析】根據平移方式先求得的坐標，找到規(guī)律求得的橫坐標，進而求得的橫坐標．【詳解】點的橫坐標為，點的橫坐為標，點的橫坐標為，點的橫坐標為，…按這個規(guī)律平移得到點的橫坐標為，∴點的橫坐標為，故選A．【點睛】本題考查了點的平移，坐標規(guī)律，找到規(guī)律是解題的關鍵．二、填空題9．＝【分析】先根據算數平方根和立方根的定義進行化簡，再根據實數大小的比較方法進行比較即可【詳解】解：∵，∴=故答案為：＝【點睛】本題考查的是實數的大小比較以及算數平方根、立方根，熟練掌解析：＝【分析】先根據算數平方根和立方根的定義進行化簡，再根據實數大小的比較方法進行比較即可【詳解】解：∵，∴=故答案為：＝【點睛】本題考查的是實數的大小比較以及算數平方根、立方根，熟練掌握相關的知識是解答此題的關鍵．10．【分析】關于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數.【詳解】∵關于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數∴點關于y軸的對稱點的坐標為.故答案為：【點睛】考核知識點：軸對稱與點解析：【分析】關于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數.【詳解】∵關于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數∴點關于y軸的對稱點的坐標為.故答案為：【點睛】考核知識點：軸對稱與點的坐標.理解軸對稱和點的坐標關系是關鍵.11．8【分析】根據題意由平行線的性質得到∠ADF＝∠DFC，再由DF平分∠ADC，得∠ADF＝∠CDF，則∠DFC＝∠FDC，然后由等腰三角形的判定得到CF＝CD，同理BE＝AB，則四邊形ABCD是解析：8【分析】根據題意由平行線的性質得到∠ADF＝∠DFC，再由DF平分∠ADC，得∠ADF＝∠CDF，則∠DFC＝∠FDC，然后由等腰三角形的判定得到CF＝CD，同理BE＝AB，則四邊形ABCD是平行四邊形，最后由平行四邊形的性質得到AB＝CD，AD＝BC，即可得到結論．【詳解】解：∵AD∥BC，∴∠ADF＝∠DFC，∵DF平分∠ADC，∴∠ADF＝∠CDF，∴∠DFC＝∠CDF，∴CF＝CD，同理BE＝AB，∵AB∥CD，AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AD＝BC，∴AB＝BE＝CF＝CD＝5，∴BC＝BE+CF﹣EF＝5+5﹣2＝8，∴AD＝BC＝8，故答案為：8．【點睛】本題考查等腰三角形的判定和性質和平行線的性質以及平行四邊形的性質等知識，解答本題的關鍵是熟練掌握平行線的性質以及平行四邊形的性質．12．45°【分析】根據平行線的性質可得∠ECD＝∠AEC，∠BFD＝∠ECD，等量代換即可求出∠BFD．【詳解】解：∵AB∥CD，∴∠ECD＝∠AEC，∵CE∥BF，∴∠BFD＝∠ECD，解析：45°【分析】根據平行線的性質可得∠ECD＝∠AEC，∠BFD＝∠ECD，等量代換即可求出∠BFD．【詳解】解：∵AB∥CD，∴∠ECD＝∠AEC，∵CE∥BF，∴∠BFD＝∠ECD，∴∠BFD＝∠AEC，∵∠AEC＝45°，∴∠BFD＝45°．故答案為：45°．【點睛】本題考查了平行線的性質，熟練掌握平行線的性質是解題關鍵．13．68°；112°．【分析】首先根據折疊的性質和平行線的性質求∠FED的度數，然后根據平角的定義求出∠1的度數，最后根據平行線的性質求出∠2的度數．【詳解】解：∵延折疊得到，解析：68°；112°．【分析】首先根據折疊的性質和平行線的性質求∠FED的度數，然后根據平角的定義求出∠1的度數，最后根據平行線的性質求出∠2的度數．【詳解】解：∵延折疊得到，∴，∵，，∴（兩直線平行，內錯角相等），∴，∴，又∵，∴，∴．綜上，．故答案為：68°；112°．【點睛】本題考查了平行線的性質，翻折變換的性質，熟記各性質并準確識圖是解題的關鍵．14．±2【分析】首先估計出a的值，進而得出M的值，再得出N的值，再利用平方根的定義得出答案．【詳解】解：∵M是滿足不等式－的所有整數a的和，∴M＝－1＋0＋1＋2＝2，∵N是滿足不等式x≤的解析：±2【分析】首先估計出a的值，進而得出M的值，再得出N的值，再利用平方根的定義得出答案．【詳解】解：∵M是滿足不等式－的所有整數a的和，∴M＝－1＋0＋1＋2＝2，∵N是滿足不等式x≤的最大整數，∴N＝2，∴M＋N的平方根為：±＝±2．故答案為：±2．【點睛】此題主要考查了估計無理數的大小，得出M，N的值是解題關鍵．15．（5，0）或（﹣5，0）或（0，5）或（0，﹣5）【分析】根據點A（0，0）及點B和點A在同一坐標軸上可知點B在x軸上或在y軸上，再根據坐標軸上到一點距離相等的點有兩個，可得答案．【詳解】解解析：（5，0）或（﹣5，0）或（0，5）或（0，﹣5）【分析】根據點A（0，0）及點B和點A在同一坐標軸上可知點B在x軸上或在y軸上，再根據坐標軸上到一點距離相等的點有兩個，可得答案．【詳解】解：∵點A（0，0），點B和點A在同一坐標軸上，∴點B在x軸上或在y軸上，∵|AB|=5，∴當點B在x軸上時，點B的坐標為（5，0）或（﹣5，0），當點B在y軸上時，點B的坐標為（0，5）或（0，﹣5）；故答案為：（5，0）或（﹣5，0）或（0，5）或（0，﹣5）．【點睛】本題考查了點的坐標，解決本題的關鍵是要注意坐標軸上到一點距離相等的點有兩個，以防遺漏．16．【分析】由題意知OA4n＝2n，圖形運動4次一個循環(huán)，橫坐標對應一個循環(huán)增加2，計算出A2A2021，由此即可解決問題．【詳解】解：由題意知OA4n＝2n（n為正整數），圖形運動4次一個循環(huán)解析：【分析】由題意知OA4n＝2n，圖形運動4次一個循環(huán)，橫坐標對應一個循環(huán)增加2，計算出A2A2021，由此即可解決問題．【詳解】解：由題意知OA4n＝2n（n為正整數），圖形運動4次一個循環(huán)，橫坐標對應一個循環(huán)增加2∵2021÷4＝505…1，∴A2021與A1是對應點，A2020與A0是對應點∴OA2020＝505×2＝1010，A1A2021＝1010∴A2A2021＝1010-1=1009則△OA2A2019的面積是×1×1009＝，故答案為：．【點睛】本題主要考查點的坐標的變化規(guī)律，解題的關鍵是根據圖形得出下標為4的倍數時對應長度即為下標的一半，據此可得．三、解答題17．(1)2;(2)6;(3)或【解析】【分析】（1）利用乘法分配律給括號中各項都乘以，把化為最簡二次根式即可得到結果；（2）原式利用平方根、立方根定義以及實數的運算法則計算即可得到結果；解析：(1)2;(2)6;(3)或【解析】【分析】（1）利用乘法分配律給括號中各項都乘以，把化為最簡二次根式即可得到結果；（2）原式利用平方根、立方根定義以及實數的運算法則計算即可得到結果；（3）直接利用平方根的定義計算得出答案．【詳解】解：（1）,；（2），，；（3）∵∴解得：或．故答案為：(1)2；(2)6；(3)或【點睛】本題考查立方根以及平方根，實數的運算，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．18．（1）；（2）【分析】（1）先移項，再根據平方根的性質開平方即可得；（2）方程變形后，再根據立方根的性質開立方可得關于x的方程，解之可得．【詳解】解：（1）∴即（2）解得，解析：（1）；（2）【分析】（1）先移項，再根據平方根的性質開平方即可得；（2）方程變形后，再根據立方根的性質開立方可得關于x的方程，解之可得．【詳解】解：（1）∴即（2）解得，【點睛】本題考查了立方根，平方根，解題的關鍵是熟練掌握平方根與立方根的性質．19．（1）EAD；兩直線平行，同位角相等；內錯角相等，兩直線平行；EAD；兩直線平行，內錯角相等；（2）80°．【分析】（1）根據平行線的性質及判定填空即可；（2）由∠E＝∠DCE，∠E＝50°，解析：（1）EAD；兩直線平行，同位角相等；內錯角相等，兩直線平行；EAD；兩直線平行，內錯角相等；（2）80°．【分析】（1）根據平行線的性質及判定填空即可；（2）由∠E＝∠DCE，∠E＝50°，可得AB∥CD，∠DCE＝50°，而CE平分∠BCD，即得∠BCD＝100°，故∠B＝80°．【詳解】（1）證明：∵AD∥BC，∴∠B＝∠EAD（兩直線平行，同位角相等），∵∠E＝∠DCE，∴AB∥CD（內錯角相等，兩直線平行），∴∠D＝∠EAD（兩直線平行，內錯角相等），∴∠B＝∠D；故答案為：EAD；兩直線平行，同位角相等；內錯角相等，兩直線平行；EAD；兩直線平行，內錯角相等；（2）解：∵∠E＝∠DCE，∠E＝50°，∴AB∥CD，∠DCE＝50°，∴∠B+∠BCD＝180°，∵CE平分∠BCD，∴∠BCD＝2∠DCE＝100°，∴∠B＝80°．【點睛】本題考查平行線性質及判定的應用，解題關鍵是要掌握平行線的性質及判定定理，熟練運用它們進行推理和計算．20．（1）見解析；（2）點P的坐標為(1，2)；線段PC掃過的面積為．【分析】（1）根據點的坐標確定平面直角坐標系即可；（2）根據平移的規(guī)律求得m、n的值，可求得點P的坐標，再利用平行四邊形的性質解析：（1）見解析；（2）點P的坐標為(1，2)；線段PC掃過的面積為．【分析】（1）根據點的坐標確定平面直角坐標系即可；（2）根據平移的規(guī)律求得m、n的值，可求得點P的坐標，再利用平行四邊形的性質可求得線段PC掃過的面積．【詳解】解：（1）平面直角坐標系如圖所示：（2）因為點A(?1，0)落在A′(0，4)，同時點P(m，n)落在P′(n，6)，∴，解得，∴點P的坐標為(1，2)；如圖，線段PC掃過的面積即為平行四邊形PCC′P′的面積，∴線段PC掃過的面積為．【點睛】本題考查作圖-平移變換，平面直角坐標系等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．21．【分析】先進行估算的范圍，確定a，b的值，再代入代數式即可解答．【詳解】解：∵，∴的整數部分為2，小數部分為，且．∴的整數部分為4．∴，∴．【點睛】本題考查了估算無理數的大小，解析：【分析】先進行估算的范圍，確定a，b的值，再代入代數式即可解答．【詳解】解：∵，∴的整數部分為2，小數部分為，且．∴的整數部分為4．∴，∴．【點睛】本題考查了估算無理數的大小，解決本題的關鍵是估算的范圍．二十二、解答題22．正方形紙板的邊長是18厘米【分析】根據正方形的面積公式進行解答．【詳解】解：設小長方形的寬為x厘米，則小長方形的長為厘米，即得正方形紙板的邊長是厘米，根據題意得：，∴，取正值，可得，解析：正方形紙板的邊長是18厘米【分析】根據正方形的面積公式進行解答．【詳解】解：設小長方形的寬為x厘米，則小長方形的長為厘米，即得正方形紙板的邊長是厘米，根據題意得：，∴，取正值，可得，∴答：正方形紙板的邊長是18厘米．【點評】本題考查了算術平方根的實際應用，解題的關鍵是熟悉正方形的面積公式．二十三、解答題23．（1）150°；（2）∠OCD+∠BO′E′=360°-α；（3）∠AOB=∠BO′E′【分析】（1）先根據平行線的性質得到∠AOE的度數，再根據直角、周角的定義即可求得∠BOE的度數；（2）解析：（1）150°；（2）∠OCD+∠BO′E′=360°-α；（3）∠AOB=∠BO′E′【分析】（1）先根據平行線的性質得到∠AOE的度數，再根據直角、周角的定義即可求得∠BOE的度數；（2）如圖②，過O點作OF∥CD，根據平行線的判定和性質可得∠OCD、∠BO′E′的數量關系；（3）由已知推出CP∥OB，得到∠AOB+∠PCO=180°，結合角平分線的定義可推出∠OCD=2∠PCO=360°-2∠AOB，根據（2）∠OCD+∠BO′E′=360°-∠AOB，進而推出∠AOB=∠BO′E′．【詳解】解：（1）∵CD∥OE，∴∠AOE=∠OCD=120°，∴∠BOE=360°-∠AOE-∠AOB=360°-90°-120°=150°；（2）∠OCD+∠BO′E′=360°-α．證明：如圖②，過O點作OF∥CD，∵CD∥O′E′，∴OF∥O′E′，∴∠AOF=180°-∠OCD，∠BOF=∠E′O′O=180°-∠BO′E′，∴∠AOB=∠AOF+∠BOF=180°-∠OCD+180°-∠BO′E′=360°-（∠OCD+∠BO′E′）=α，∴∠OCD+∠BO′E′=360°-α；（3）∠AOB=∠BO′E′．證明：∵∠CPO′=90°，∴PO′⊥CP，∵PO′⊥OB，∴CP∥OB，∴∠PCO+∠AOB=180°，∴2∠PCO=360°-2∠AOB，∵CP是∠OCD的平分線，∴∠OCD=2∠PCO=360°-2∠AOB，∵由（2）知，∠OCD+∠BO′E′=360°-α=360°-∠AOB，∴360°-2∠AOB+∠BO′E′=360°-∠AOB，∴∠AOB=∠BO′E′．【點睛】此題考查了平行線的判定和性質，平移的性質，直角的定義，角平分線的定義，正確作出輔助線是解決問題的關鍵．24．（1）平行，理由見解析；（2）65°；（3）5秒或95秒【分析】（1）根據等角的補角相等求出∠3與∠4的補角相等，再根據內錯角相等，兩直線平行即可判定a∥b；（2）根據入射光線與鏡面的夾角與反解析：（1）平行，理由見解析；（2）65°；（3）5秒或95秒【分析】（1）根據等角的補角相等求出∠3與∠4的補角相等，再根據內錯角相等，兩直線平行即可判定a∥b；（2）根據入射光線與鏡面的夾角與反射光線與鏡面的夾角相等可得∠1=∠2，然后根據平角等于180°求出∠1的度數，再加上40°即可得解；（3）分①AB與CD在EF的兩側，分別表示出∠ACD與∠BAC，然后根據兩直線平行，內錯角相等列式計算即可得解；②CD旋轉到與AB都在EF的右側，分別表示出∠DCF與∠BAC，然后根據兩直線平行，同位角相等列式計算即可得解；③CD旋轉到與AB都在EF的左側，分別表示出∠DCF與∠BAC，然后根據兩直線平行，同位角相等列式計算即可得解．【詳解】解：（1）平行．理由如下：如圖1，∵∠3=∠4，∴∠5=∠6，∵∠1=∠2，∴∠1+∠5=∠2+∠6，∴a∥b(內錯角相等，兩直線平行）；（2）如圖2：∵入射光線與鏡面的夾角與反射光線與鏡面的夾角相等，∴∠1=∠2，∵入射光線a與水平線OC的夾角為40°，b垂直照射到井底，∴∠1+∠2=180°-40°-90°=50°，∴∠1＝×50°=25°，∴MN與水平線的夾角為：25°+40°=65°，即MN與水平線的夾角為65°，可使反射光線b正好垂直照射到井底；（3）存在．如圖①，AB與CD在EF的兩側時，∵∠BAF=105°，∠DCF=65°，∴∠ACD=180°-65°-3t°=115°-3t°，∠BAC=105°-t°，要使AB∥CD，則∠ACD=∠BAC，即115-3t=105-t，解得t=5；如圖②，CD旋轉到與AB都在EF的右側時，∵∠BAF=105°，∠DCF=65°，∴∠DCF=360°-3t°-65°=295°-3t°，∠BAC=105°-t°，要使AB∥CD，則∠DCF=∠BAC，即295-3t=105-t，解得t=95；如圖③，CD旋轉到與AB都在EF的左側時，∵∠BAF=105°，∠DCF=65°，∴∠DCF=3t°-（180°-65°+180°）=3t°-295°，∠BAC=t°-105°，要使AB∥CD，則∠DCF=∠BAC，即3t-295=t-105，解得t=95，此時t＞105，∴此情況不存在．綜上所述，t為5秒或95秒時，CD與AB平行．【點睛】本題考查了平行線的判定與性質，光學原理，讀懂題意并熟練掌握平行線的判定方法與性質是解題的關鍵，（3）要注意分情況討論．25．（1）①115°，110°；②，證明見解析；（2），證明見解析.【解析】【分析】（1）①根據角平分線的定義求得∠CAG=∠BAC=50°；再由平行線的性質可得∠EDG=∠C=30°，∠FMD=解析：（1）①115°，110°；②，證明見解析；（2），證明見解析.【解析】【分析】（1）①根據角平分線的定義求得∠CAG=∠BAC=50°；再由平行線的性質可得∠EDG=∠C=30°，∠FMD=∠GAC=50°；由三角形的內角和定理求得∠AFD的度數即可；已知AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，根據角平分線的定義可得∠CAG=∠BAC，∠FDM=∠EDG；由DE//AC，根據平行線的性質可得∠EDG=∠C，∠FMD=∠GAC；即可得∠FDM+∠FMD=∠EDG+∠GAC=∠C+∠BAC=（∠BAC+∠C）=×140°=70°；再由三角形的內角和定理可求得∠AFD=110°；②∠AFD=90°+∠B，已知AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，根據角平分線的定義可得∠CAG=∠BAC，∠FDM=∠EDG；由DE//AC，根據平行線的性質可得∠EDG=∠C，∠FMD=∠GAC；由此可得∠FDM+∠FMD=∠EDG+∠GAC=∠C+∠BAC=（∠BAC+∠C）=×（180°-∠B）=90°-∠B；再由三角形的內角和定理可得∠AFD=90°+∠B；（2）∠AFD=90°-∠B，已知AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，根據角平分線的定義可得∠CAG=∠BAC，∠NDE=∠EDB，即可得∠FDM=∠NDE=∠EDB；由DE//AC，根據平行線的性質可得∠EDB=∠C，∠FMD=∠GAC；即可得到∠FDM=∠NDE=∠C，所以∠FDM+∠FMD=∠C+∠BAC=（∠BAC+∠C）=×（180°-∠B）=90°-∠B；再由三角形外角的性質可得∠AFD=∠FDM+∠FMD=90°-∠B.【詳解】（1）①∵AG平分∠BAC，∠BAC=100°，∴∠CAG=∠BAC=50°；∵，∠C=30°，∴∠EDG=∠C=30°，∠FMD=∠GAC=50°；∵DF平分∠EDB，∴∠FDM=∠EDG=15°；∴∠AFD=180°-∠FMD-∠FDM=180°-50°-15°=115°；∵∠B=40°，∴∠BAC+∠C=180°-∠B=140°；∵AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，∴∠CAG=∠BAC，∠FDM=∠EDG，∵DE//AC，∴∠ED