高三數(shù)學(xué)等差數(shù)列多選題專項訓(xùn)練知識點總結(jié)及答案一、等差數(shù)列多選題1．已知等差數(shù)列的前n項和為且則（）A． B．當(dāng)且僅當(dāng)n=7時，取得最大值C． D．滿足的n的最大值為12解析：ACD【分析】由題可得，，，求出可判斷A；利用二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷B；求出可判斷C；令，解出即可判斷D.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，，，且，對于A，，故A正確；對于B，的對稱軸為，開口向下，故或7時，取得最大值，故B錯誤；對于C，，，故，故C正確；對于D，令，解得，故n的最大值為12，故D正確.故選：ACD.【點睛】方法點睛：由于等差數(shù)列是關(guān)于的二次函數(shù)，當(dāng)與異號時，在對稱軸或離對稱軸最近的正整數(shù)時取最值；當(dāng)與同號時，在取最值.2．等差數(shù)列的前項和為，，則下列結(jié)論一定正確的是（）A． B．當(dāng)或10時，取最大值C． D．解析：AD【分析】由求出，即，由此表示出、、、，可判斷C、D兩選項；當(dāng)時，，有最小值，故B錯誤.【詳解】解：，，故正確A.由，當(dāng)時，，有最小值，故B錯誤.，所以，故C錯誤.，，故D正確.故選：AD【點睛】考查等差數(shù)列的有關(guān)量的計算以及性質(zhì)，基礎(chǔ)題.3．無窮數(shù)列的前項和，其中，，為實數(shù)，則（）A．可能為等差數(shù)列B．可能為等比數(shù)列C．中一定存在連續(xù)三項構(gòu)成等差數(shù)列D．中一定存在連續(xù)三項構(gòu)成等比數(shù)列解析：ABC【分析】由可求得的表達式，利用定義判定得出答案．【詳解】當(dāng)時，．當(dāng)時，．當(dāng)時，上式＝．所以若是等差數(shù)列，則所以當(dāng)時，是等差數(shù)列，時是等比數(shù)列；當(dāng)時，從第二項開始是等差數(shù)列．故選：ABC【點睛】本題只要考查等差數(shù)列前n項和與通項公式的關(guān)系，利用求通項公式，屬于基礎(chǔ)題．4．在下列四個式子確定數(shù)列是等差數(shù)列的條件是（）A．（，為常數(shù)，）； B．（為常數(shù)，）；C．； D．的前項和（）.解析：AC【分析】直接利用等差數(shù)列的定義性質(zhì)判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列．【詳解】A選項中（，為常數(shù)，），數(shù)列的關(guān)系式符合一次函數(shù)的形式，所以是等差數(shù)列，故正確，B選項中（為常數(shù)，），不符合從第二項起，相鄰項的差為同一個常數(shù)，故錯誤；C選項中，對于數(shù)列符合等差中項的形式，所以是等差數(shù)列，故正確；D選項的前項和（），不符合，所以不為等差數(shù)列．故錯誤．故選：AC【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的定義的應(yīng)用，如何去判斷數(shù)列為等差數(shù)列，主要考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型．5．定義為數(shù)列的“優(yōu)值”已知某數(shù)列的“優(yōu)值”，前n項和為，則（）A．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列 B．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列C． D．，，成等差數(shù)列解析：AC【分析】由題意可知，即，則時，，可求解出，易知是等差數(shù)列，則A正確，然后利用等差數(shù)列的前n項和公式求出，判斷C，D的正誤.【詳解】解：由，得，所以時，，得時，，即時，，當(dāng)時，由知，滿足．所以數(shù)列是首項為2，公差為1的等差數(shù)列，故A正確，B錯，所以，所以，故C正確．，，，故D錯，故選：AC．【點睛】本題考查數(shù)列的新定義問題，考查數(shù)列通項公式的求解及前n項和的求解，難度一般.6．已知無窮等差數(shù)列的前n項和為，，且，則（）A．在數(shù)列中，最大B．在數(shù)列中，或最大C．D．當(dāng)時，解析：AD【分析】利用等差數(shù)列的通項公式可以求，，即可求公差，然后根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)判斷四個選項是否正確.【詳解】因為，所以，因為，所以，所以等差數(shù)列公差，所以是遞減數(shù)列，故最大，選項A正確；選項不正確；，所以，故選項C不正確；當(dāng)時，，即，故選項D正確；故選：AD【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)和前n項和，屬于基礎(chǔ)題.7．已知數(shù)列的前項和為，前項積為，且，則（）A．當(dāng)數(shù)列為等差數(shù)列時，B．當(dāng)數(shù)列為等差數(shù)列時，C．當(dāng)數(shù)列為等比數(shù)列時，D．當(dāng)數(shù)列為等比數(shù)列時，解析：AC【分析】將變形為，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性可得，再結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列性質(zhì)即可判斷正確選項【詳解】由，可得，令，，所以是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，所以，所以當(dāng)數(shù)列為等差數(shù)列時，；當(dāng)數(shù)列為等比數(shù)列時，且，，同號，所以，，均大于零，故.故選：AC【點睛】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列，考查邏輯推理能力，轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題8．設(shè)是等差數(shù)列，是其前項的和，且，，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．與均為的最大值解析：BD【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，依次分析選項即可求解.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，依次分析選項：是等差數(shù)列，若，則，故B正確；又由得，則有，故A錯誤；而C選項，，即，可得，又由且，則，必有，顯然C選項是錯誤的.∵，，∴與均為的最大值，故D正確；故選：BD.【點睛】本題考查了等差數(shù)列以及前項和的性質(zhì)，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.9．已知為等差數(shù)列，其前項和為，且，則以下結(jié)論正確的是（）.A． B．最小 C． D．解析：ACD【分析】由得，故正確；當(dāng)時，根據(jù)二次函數(shù)知識可知無最小值，故錯誤；根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)計算可知，故正確；根據(jù)等差數(shù)列前項和公式以及等差數(shù)列的性質(zhì)可得，故正確.【詳解】因為，所以，所以，即，故正確；當(dāng)時，無最小值，故錯誤；因為，所以，故正確；因為，故正確.故選：ACD.【點睛】本題考查了等差數(shù)列的通項公式、前項和公式，考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于中檔題.10．已知數(shù)列：1，1，2，3，5，…其中從第三項起，每個數(shù)等于它前面兩個數(shù)的和，記為數(shù)列的前項和，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．解析：BCD【分析】根據(jù)題意寫出，，，從而判斷A，B的正誤；寫出遞推關(guān)系，對遞推關(guān)系進行適當(dāng)?shù)淖冃危美奂臃纯膳袛郈，D的正誤．【詳解】對A，，，故A不正確；對B，，故B正確；對C，由，，，…，，可得，故C正確；對D，該數(shù)列總有，，則，，…，，，，故，故D正確．故選：BCD【點睛】關(guān)鍵點睛：解答本題的關(guān)鍵是對CD的判斷，即要善于利用對所給式子進行變形.11．已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，，則下列說法錯誤的是（）A．?dāng)?shù)列的前n項和為 B．?dāng)?shù)列的通項公式為C．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列 D．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列解析：ABC【分析】數(shù)列的前項和為，且滿足，，可得：，化為：，利用等差數(shù)列的通項公式可得，，時，，進而求出．【詳解】數(shù)列的前項和為，且滿足，，∴，化為：，∴數(shù)列是等差數(shù)列，公差為4，∴，可得，∴時，，，對選項逐一進行分析可得，A，B，C三個選項錯誤，D選項正確.故選：ABC.【點睛】本題考查數(shù)列遞推式，解題關(guān)鍵是將已知遞推式變形為，進而求得其它性質(zhì)，考查邏輯思維能力和運算能力，屬于?？碱}12．朱世杰是元代著名數(shù)學(xué)家，他所著的《算學(xué)啟蒙》是一部在中國乃至世界最早的科學(xué)普及著作.《算學(xué)啟蒙》中涉及一些“堆垛”問題，主要利用“堆垛”研究數(shù)列以及數(shù)列的求和問題.現(xiàn)有100根相同的圓形鉛筆，小明模仿“堆垛”問題，將它們?nèi)慷逊懦煽v斷面為等腰梯形的“垛”，要求層數(shù)不小于2，且從最下面一層開始，每一層比上一層多1根，則該“等腰梯形垛”應(yīng)堆放的層數(shù)可以是（）A．4 B．5 C．7 D．8解析：BD【分析】依據(jù)題意，根數(shù)從上至下構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)首項即第一層的根數(shù)為，公差即每一層比上一層多的根數(shù)為，設(shè)一共放層，利用等差數(shù)列求和公式，分析即可得解.【詳解】依據(jù)題意，根數(shù)從上至下構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)首項即第一層的根數(shù)為，公差為，設(shè)一共放層，則總得根數(shù)為：整理得，因為，所以為200的因數(shù)，且為偶數(shù)，驗證可知滿足題意.故選：BD.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查等差數(shù)列的求和公式，解題的關(guān)鍵是分析題意，把題目信息轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列，考查學(xué)生的邏輯推理能力與運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.13．已知數(shù)列是首項為1，公差為d的等差數(shù)列，則下列判斷正確的是（）A．a(chǎn)1＝3 B．若d＝1，則an＝n2+2n C．a(chǎn)2可能為6 D．a(chǎn)1，a2，a3可能成等差數(shù)列解析：ACD【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)和通項公式，逐個選項進行判斷即可求解【詳解】因為，，所以a1＝3，an＝[1+(n-1)d](n+2n).若d＝1，則an＝n(n+2n)；若d＝0，則a2＝6.因為a2＝6+6d，a3＝11+22d，所以若a1，a2，a3成等差數(shù)列，則a1+a3＝a2，即14+22d＝12+12d，解得.故選ACD14．等差數(shù)列的前項和為，若，公差，則（）A．若，則 B．若，則是中最大的項C．若，則 D．若則.解析：BC【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前項和性質(zhì)判斷．【詳解】A錯：；B對：對稱軸為7；C對：，又，；D錯：，但不能得出是否為負，因此不一定有．故選：BC．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查等差數(shù)列的前項和性質(zhì)，（1）是關(guān)于的二次函數(shù)，可以利用二次函數(shù)性質(zhì)得最值；（2），可由的正負確定與的大??；（3），因此可由的正負確定的正負．15．已知等差數(shù)列的前項和為，，，則下列選項正確的是（）A． B．C． D．當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值解析：AC【分析】先根據(jù)題意得等差數(shù)列的公差，進而計算即可得答案.【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得.所以，，，所以當(dāng)且僅當(dāng)或時，取得最大值.故選：AC【點睛】本題考查等差數(shù)列的基本計算，前項和的最值問題，是中檔題.等差數(shù)列前項和的最值得求解常見一下兩種情況：（1）當(dāng)時，有最大值，可以通過的二次函數(shù)性質(zhì)求解，也可以通過求滿足且的的取值范圍確定；（2）當(dāng)時，有最小值，可以通過的二次函數(shù)性質(zhì)求解，也可以通過求滿足且的的取值范圍確定；16．設(shè)等差數(shù)列的前項和為．若，，則（）A． B．C． D．解析：BC【分析】由已知條件列方程組，求出公差和首項，從而可求出通項公式和前項和公式【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，，所以，解得，所以，，故選：BC17．已知數(shù)列的前4項為2，0，2，0，則該數(shù)列的通項公式可能為（）A． B．C． D．解析：BD【分析】根據(jù)選項求出數(shù)列的前項，逐一判斷即可.【詳解】解：因為數(shù)列的前4項為2，0，2，0，選項A：不符合題設(shè)；選項B：，符合題設(shè)；選項C：，不符合題設(shè)；選項D：，符合題設(shè).故選：BD.【點睛】本題考查數(shù)列的通項公式的問題，考查了基本運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.18．已知等差數(shù)列的公差，前項和為，若，則下列結(jié)論中正確的有（）A． B．C．當(dāng)時， D．當(dāng)時，解析：ABC【分析】因為是等差數(shù)列，由可得，利用通項轉(zhuǎn)化為和即可判斷選項A；利用前項和公式以及等差數(shù)列的性質(zhì)即可判斷選項B；利用等差數(shù)列的性質(zhì)即可判斷選項C；由可得且，即可判斷選項D，進而得出正確選項.【詳解】因為是等差數(shù)列，前項和為，由得：，即，即，對于選項A：由得，可得，故選項A正確；對于選項B：，故選項B正確；對于選項C：，若，則，故選項C正確；對于選項D：當(dāng)時，，則，因為，所以，，所以，故選項D不正確，故選：ABC【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵點是由得出，熟記等差數(shù)列的前項和公式和通項公式，靈活運用等差數(shù)列的性質(zhì)即可.19．已知Sn是等差數(shù)列(n∈N*)的前n項和，且S5>S6>S4，以下有四個命題，其中正確的有（）A．?dāng)?shù)列的公差d<0 B．?dāng)?shù)列中Sn的最大項為S10C．S10>