專題03解三角形及其應(yīng)用題型1解單個(gè)三角形在處理單個(gè)三角形時(shí)，多注意以下幾點(diǎn)1正弦定理能處理的三角形：(1)已知兩個(gè)角及任意—邊，求其他兩邊和另一角；(2)已知兩邊和其中—邊的對(duì)角，求其他兩個(gè)角及另一邊；2余弦定理能處理的三角形：（1）已知三邊，可求三個(gè)角；（2）已知兩邊和一角，求第三邊和其他兩個(gè)角；3涉及到面積，利用公式S?ABC4遇到含角含邊的等式，要不化為都是角的等式要不化為都是邊的等式；5三角形中，sin(A+B)【注意】掌握好正弦定理公式的變形在化角或化邊的應(yīng)用。1（23-24高三下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，ccosB?(2a?b)cosC=0，則角A．π6 B．π3 C．2π【答案】B【分析】根據(jù)正弦定理，結(jié)合三角恒等變化，將題中條件化為sinA=2【詳解】在△ABC中，由ccos得sinC則2sin而sinA>0，0<C<π，則cosC=故選：B2（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知△ABC的三邊a,b,c滿足1a+b+1b+c=A．12 B．?12 C．3【答案】B【分析】將已知等式兩邊同乘以a+b+c，化簡(jiǎn)可得a2+c2?【詳解】因?yàn)?a+b+1即ca+b+1+a從而cc+b+aa+b所以cosB=a2故選：B．3（多選）（2025·河北·模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a、b、c.若b=4，∠C=π3，則（A．c=3時(shí)，△ABC只存在一個(gè) B．c=23時(shí)，△ABCC．c=33時(shí)，△ABC是銳角三角形 D．c=43時(shí)，△ABC【答案】BC【分析】對(duì)于A，由正弦定理即可判斷；對(duì)于B，由余弦定理得a=2，再結(jié)合三角形面積公式即可求解；對(duì)于C，由正弦定理得sinB=23<sin【詳解】對(duì)于A，由正弦定理有csinC=bsinB，即對(duì)于B，由余弦定理有c2=a即a?22=0，解得a=2，此時(shí)△ABC的面積為對(duì)于C，由正弦定理有csinC=bsin因?yàn)閏=33>b=4，所以B也是銳角，所以所以cosA=?所以A也是銳角，所以△ABC是銳角三角形，故C正確；對(duì)于D，由正弦定理有csinC=43故選：BC.4（2025·全國(guó)·二模）△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,b=(1)求A；(2)若a=1,△ABC的面積為2，求△ABC的周長(zhǎng).【答案】(1)A=(2)2+2【分析】（1）根據(jù)正弦定理和兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)計(jì)算即可求解；（2）根據(jù)三角形的面積公式求得bc=4，結(jié)合余弦定理計(jì)算求得b+c=1+22【詳解】（1）由b=2asin因?yàn)閟inB=sinA+C所以sinAcosC+因?yàn)镃∈0,π，所以sinC>0所以tanA=1，因?yàn)锳∈0,π（2）因?yàn)槿切蔚拿娣e為2，所以12bcsin由余弦定理知a2=b所以(b+c)2=b所以三角形的周長(zhǎng)為a+b+c=2+22題型2解多個(gè)三角形1解多個(gè)三角形，涉及到同個(gè)角，可在多個(gè)三角形里同時(shí)用余弦定理；2解多個(gè)三角形，多留意鄰補(bǔ)角互補(bǔ)，可在兩個(gè)角所在的三角形里再用余弦定理；3解多個(gè)三角形，多留意公共邊，可在兩個(gè)三角形用正余弦定理；4解多個(gè)三角形，常利用方程思想求解角或邊.【注意】要明確解題思路，用好方程思想，避免過(guò)度分析。1（2025·云南玉溪·模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，D是邊BC上的點(diǎn)，且AC=CD,AB=2AC=3AD，則sinB=A．23 B．33 C．66【答案】A【分析】設(shè)AD=2a，在△ACD中，由余弦定理求出cosC，利用平方關(guān)系求出sinC，在【詳解】設(shè)AD=2a，則AB=23a，在△ACD中，由余弦定理得cosC=因?yàn)?<C<π，所以sinC>0，sin在△ABC中，由正弦定理得ACsinB=故選：A.2（2025·安徽蚌埠·三模）我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)造了“勾股圓方圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”．類比“趙爽弦圖”，用3個(gè)全等的小三角形拼成了如圖所示的等邊△ABC，若DF=2，sin∠BAD=3314．則A．3 B．2 C．3 D．2【答案】A【分析】由題意可得△DEF是等邊三角形，設(shè)AF=DB=t(t>0)，利用正弦定理可求得AB=73t【詳解】由△ACF?△ABD?△BCE知∠ACF=∠BAD=∠CBE，所以△DEF為正三角形，∠AFC=∵sin∠BAD=設(shè)AF=DB=t(t>0)，則AD=2+t由正弦定理：BDsin∠BAD=AB在△ABD中，A即499t2=t故選：A.3（2025·浙江紹興·二模）在等腰直角三角形ABC中，B=π2．P為其內(nèi)部一點(diǎn)，滿足∠APC=3π4，∠APB=A．6?311 B．12 C．7?【答案】A【分析】由已知，利用邊角關(guān)系結(jié)合正弦定理建立方程即可求出∠PAB的正切值.【詳解】由已知，設(shè)∠PAB=α，則∠PBA=π3?α∠BPC=2π?3π在△APB中，由正弦定理得PBsin在△PBC中，由正弦定理得PBsin又AB=BC,sin所以sinα即6+即26所以tanα=故選：A.4（2025·山東濰坊·二模）在△ABC中，AC=32AB，D為邊BC上一點(diǎn)，滿足BD=2DC，以A,?D為焦點(diǎn)作一個(gè)橢圓G，若G經(jīng)過(guò)B,A．13 B．12 C．33【答案】C【分析】利用橢圓的定義，結(jié)合余弦定理、橢圓的離心率公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)DC=m，AC=n，則BD=2m設(shè)該橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a，由橢圓的定義可知：m+n=2a2m+2所以BD=a，DC=12在△ABC中，顯然有∠ADC=π?∠ADB，所以cos∠ADC=?設(shè)AD=x，由余弦定理可知：AD即x2+因此橢圓的焦距為2c=|AD|=2所以橢圓的離心率為：e=2c故選：C.5（2025·福建福州·一模）在△ABC中，AB=2，D為AB的中點(diǎn)，CD=3(1)若BC=6，求AC(2)若∠BAC=2∠BCD，求AC的長(zhǎng).【答案】(1)2；(2)2.【分析】（1）在△DBC中，利用余弦定理可求得cos∠DBC=63，在△ABC（2）如圖，延長(zhǎng)BA，使AE=AC，則△AEC為等腰三角形，進(jìn)而可得∠BCD=∠AEC，則△BDC～△BCE，則BC2=2+AC【詳解】（1）如圖，在△DBC中，CD=3，BC=6，根據(jù)余弦定理，得cos∠DBC=又在△ABC中，cos∠ABC=63，BC=根據(jù)余弦定理，得cos∠ABC=解得AC=2（2）如圖，延長(zhǎng)BA，使AE=AC，則△AEC為等腰三角形，∠AEC=∠ACE，∠BAC=∠AEC+∠ACE=2∠AEC，又∠BAC=2∠BCD，所以∠BCD=∠AEC，所以∠BDC=∠BCE，所以△BDC～△BCE，則EBCB=BC所以2+ACCB=BC又AC=AD+所以AC2BC2所以AC2所以AC2+AC+2=8，即AC2題型3三角形中的角平分線、中線、垂線問(wèn)題1三角形中遇到角平分線，就利用兩個(gè)角相等，分別在兩個(gè)三角形里用余弦定理得到相關(guān)的方程；2三角形中遇到中線，就利用兩條線段相等，分別在兩個(gè)三角形里用余弦定理得到相關(guān)的方程；3三角形中遇到垂線，可用到勾股定理。1（24-25高三下·浙江湖州·階段練習(xí)）在銳角△ABC中，AB=AC，M是AB的中點(diǎn)，CM=54，過(guò)點(diǎn)C做AB的垂線，垂足是H，CH=12，則A．106 B．56 C．2【答案】B【分析】令b=AC,c=AB，且b=c，根據(jù)已知得HM=14、AH=b【詳解】令b=AC,c=AB，則b=c，由題設(shè)，有HM=CM2所以AM=AH?HM?c2=所以12b2?4b?5=(6b?5)(2b+1)=0故選：B2（2025·湖南邵陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知在△ABC中，AB=4，AC=6，cosB=18.若△ABC的角平分線AD交邊BC于點(diǎn)D，則AD=A．125 B．835 C．9【答案】D【分析】根據(jù)余弦定理求出BC的長(zhǎng)度，再利用角平分線定理得到BD與DC的比例關(guān)系，進(jìn)而求出BD的長(zhǎng)度，最后在△ABD中利用余弦定理求出AD的長(zhǎng)度.【詳解】在△ABC中，根據(jù)余弦定理AC已知AB=4，AC=6，cosB=18，設(shè)解得x=5或x=?4（邊長(zhǎng)不能為負(fù)舍去），所以BC=5.因?yàn)锳D是角平分線，根據(jù)角平分線定理：可得BDDC又因?yàn)锽D+DC=BC=5，所以BD=2在△ABD中，再根據(jù)余弦定理AD將AB=4，BD=2，cosB=1所以AD=18=32.故選：D.3（2025·福建·模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，A的角平分線AD交BC邊于點(diǎn)D．若2b+c=2acosC，b=2，c=1，則BD=（A．1 B．37 C．73 【答案】C【分析】根據(jù)2b+c=2acosC，利用正弦定理邊化角求得A=2π3，再利用【詳解】因?yàn)?b+c=2acos由正弦定理得2sinB+sin所以2sin因?yàn)閟inC>0，所以且0<A<π，所以A=由題意可知：∠BAD=∠CAD=π因?yàn)镾△ABC則12即12×1×2×3在△ABD中，BD故選：C.4（2025·湖南邵陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，點(diǎn)M，N在邊BC上，AM為邊BC上中線，AN為∠A平分線，若∠A=π3，AM=212，△ABC的面積等于A．25 B．235 C．4【答案】D【分析】利用向量可建立起b，c的關(guān)系式，再結(jié)合面積即可求得b+c=5，再利用面積相等即可求角平分線的長(zhǎng).【詳解】∵AM為邊BC上的中線，∴2AM即4|AM|2即c2+b因?yàn)镾△ABC=1∴(b+c)∴b+c=5，∵AN為∠A平分線，∠A=π3，故又∵S△ABN+即14×AN×(b+c)=3，∴故選：D5（2025·海南?？凇つM預(yù)測(cè)）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，向量m=b,c，n=cosB,sinC，m//nA．62 B．3 C．152 【答案】C【分析】根據(jù)平行條件結(jié)合正弦定理得出B=π4，再根據(jù)【詳解】由題意得，bsinC=ccos因C∈0,π，則sinC≠0若cosB=0，則sinB=±1，與上式矛盾，故cosB≠0因B∈0,π，則因BD為AC邊上的中線，則2BD則4=6+2×6則BD=15故選：C6（（2025·廣東·模擬預(yù)測(cè)））已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且cosC(1)求A；(2)若a=6，①求△ABC周長(zhǎng)的取值范圍；②若AD為BC邊上的中線，AD=4，求△ABC的面積．【答案】(1)A=(2)①(12,18]；②7【分析】（1）法一：利用正弦定理邊化角，利用三角恒等變換可求得cosA=12，進(jìn)而可求A；法二：利用余弦定理角化邊可得b2+（2）(ⅰ)法一：由正弦定理可得b=43sinB，c=43sin(2π3?B)，利用三角恒等變換可求得【詳解】（1）法一：由正弦定理得sinA從而sin(A+C)?2cosA又△ABC中sinB>0，∴cos又A∈0,π，所以法二：由余弦定理得a2化簡(jiǎn)得b2則cosA=又A∈0,π，所以（2）(ⅰ)法一：由正弦定理得bsin則b=43sinB，c=43sinC，△ABC的周長(zhǎng)為a+b+c=6+4=6+4=6+12sin又∵0<B<2π3，∴π∴△ABC周長(zhǎng)的取值范圍是(12,18]．法二：由余弦定理得62所以(b+c)2∵bc≤(b+c)24，∴(b+c)2≤12又∵b+c>a=6，∴△ABC周長(zhǎng)的取值范圍是(12,18]．(ⅱ)在△ABC中，由余弦定理得cosA=b2在△ADB中，由余弦定理得cos∠ADB=在△ADC中，由余弦定理得cos∠ADC=∵cos∠ADB=?cos∠ADC，∴b2所以bc=14，SΔ題型4外接圓、內(nèi)切圓問(wèn)題1外心，即三角形三邊的中垂線的交點(diǎn)；內(nèi)心，即三角三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)；2正弦定理中asinA=b3若內(nèi)切圓的半徑為r，則S?1（2025·海南海口·一模）在△ABC中，a,b,c分別為角A,B,C所對(duì)的邊，且12c=b?acosC，若△ABC的外接圓直徑為43A．3 B．2 C．23 【答案】B【分析】利用正弦定理與三角函數(shù)的和差公式求得角A，再利用△ABC的外接圓直徑求得a，從而得解.【詳解】因?yàn)?2所以由正弦定理得，1=sin又在△ABC中，sinC>0，0<A<∴cosA=1∵△ABC的外接圓直徑為43∴a=4故選：B.2（24-25高三上·湖南常德·階段練習(xí)）在銳角△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，若1tanB+1tanC=3bc?A．π6 B．π4 C．π3【答案】C【分析】首先將根據(jù)公式tanα=【詳解】由條件等式可知，cosB根據(jù)正弦定理，b=2RsinB,c=2Rsin又sinB+CsinB則4R2sin2A=3所以sinA=32，且角A故選：C3（2025·河北秦皇島·模擬預(yù)測(cè)）已知梯形ABCD的外接圓直徑為4213，AB=6，AD>2，∠ABC=π3，則梯形A．2 B．3 C．2 D．2【答案】B【分析】結(jié)合圖形，先利用正弦定理、余弦定理及邊之間的關(guān)系得出：AD=4，CD=2，梯形的高為h=23，進(jìn)而得出S【詳解】如圖：

若梯形ABCD有外接圓，則梯形ABCD為等腰梯形.設(shè)梯形ABCD的外接圓半徑為R，則由正弦定理得2R=BDsinπ在△ABD中，由余弦定理可得：BD2=A解得AD=4，則梯形ABCD的高為：h=ADsinπ3S梯形設(shè)梯形ABCD的內(nèi)切圓半徑為r，根據(jù)等面積法，有S梯形ABCD=故選：B.4（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在△ABC中，若BD=2DC，BC=6，過(guò)點(diǎn)D作邊BC的垂線l，若△ABC的內(nèi)心M在直線l上，則A．22,+∞ B．3,+∞ C．【答案】C【分析】設(shè)AC=x，根據(jù)內(nèi)心的定義，結(jié)合三角形性質(zhì)與余弦定理可得cosB=【詳解】因?yàn)锽D=2DC，BC=6，則設(shè)內(nèi)切圓M與邊AB，AC分別切于點(diǎn)E，F(xiàn)，由題意可知：內(nèi)切圓M與邊BC切于點(diǎn)D，則AE=AF，BE=BD，CF=CD，可得AB?AC=AE+BE設(shè)AC=x，則AB=x+2，由三角形性質(zhì)可知：x+x+2>6x+6>x+2x+2+6>x，解得由余弦定理可得cosB=因?yàn)閤>2，則0<1可得cosB=可知角B為銳角，則tanB=故選：C.5（24-25高三上·湖南·期中）△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且bcosC+ccosB=2,A=πA．22 B．33 C．32【答案】B【分析】先計(jì)算出a，然后利用面積公式計(jì)算出r=32?bc2+b+c，再利用余弦定理和基本不等式計(jì)算出【詳解】設(shè)△ABC的內(nèi)切圓半徑為r，由題意可得bcos由余弦定理可得b?a2+而S△ABC=12bc由余弦定理可得a2=b2+而4=(b+c)2?3bc，則b+c=3bc+4故r=3令3bc+4=t(2<t≤4)，故r=故選：B6（2025·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，b=3,a=2c．(1)若cosB=18(2)若△ABC的內(nèi)切圓、外接圓半徑分別為r,R，求r?R的取值范圍．【答案】(1)3+3(2)1【分析】（1）根據(jù)余弦定理求出c=2，即可求解△ABC（2）利用余弦定理可得c2=95?4cos【詳解】（1）∵b=3，a=2c，由余弦定理得，cosB=∴5c2?94∴a=2c=22∴△ABC的周長(zhǎng)為a+b+c=22（2）由余弦定理得，b2=a∵cos∴c2=由正弦定理得，2R=bsinB∵S△ABC=∴r?R=ac令t=c+1，t∈(2,4)，∴r?R=(t?1)函數(shù)y=t+1t?2在(2,4)上單調(diào)遞增，∴r?R∈12,題型5實(shí)際問(wèn)題中的長(zhǎng)度測(cè)量1在實(shí)際問(wèn)題中，提取相關(guān)有效信息排除無(wú)關(guān)信息，建立聯(lián)系條件和求解之間的數(shù)學(xué)模型；2求長(zhǎng)度，在化簡(jiǎn)的數(shù)學(xué)模型中，要明確與之相關(guān)的三角形，分析好其中的定量和變量，再求解。1（24-25高三·湖北武漢·期中）享有“天下江山第一樓”美譽(yù)的黃鶴樓位于湖北武漢，地處蛇山之巔，瀕臨萬(wàn)里長(zhǎng)江，更因歷代詩(shī)人登樓作詩(shī)而名聞天下.如圖，某同學(xué)為測(cè)量黃鶴樓的高度MN，在黃鶴樓的正東方向找到一座建筑物AB，高約為26m，在地面上點(diǎn)C處（B，C，N三點(diǎn)共線）測(cè)得建筑物頂部A，黃鶴樓頂部M的仰角分別為30°和45°，在A處測(cè)得樓頂部M的仰角為15°，則黃鶴樓的高度約為（

A．48m B．51m C．52m【答案】C【分析】先在△ABC中求出AC，然后在△AMC中利用正弦定理求出MC，最后在△MNC中利用銳角三角函數(shù)的定義可求得結(jié)果.【詳解】由題意得∠ACB=30°,∠ABC=90°,∠MCN=45°,∠MNC=90°,∠MAC=30°+15°=45°，AB=26，在△ABC中，∠ACB=30°,∠ABC=90°，AB=26，則AC=2AB=52，在△AMC中，∠MCA=180°?∠MCN?∠ACB=180°?45°?30°=105°，則∠AMC=180°?∠ACM?∠MAC=180°?105°?45°=30°，由正弦定理得ACsin∠AMC=MCsin在△MNC中，∠MCN=45°,∠MNC=90°，則∠MCN=45°,∠MNC=90°，所以MN=MCsin故選：C2（2025·湖北荊州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，A,B,C為山腳兩側(cè)共線的三點(diǎn)，這三點(diǎn)處依次測(cè)得對(duì)山頂P的仰角分別為α,β,γ，計(jì)劃沿直線AC開(kāi)通隧道DE，設(shè)AD,EB,BC的長(zhǎng)度分別為a,b,c.為了測(cè)出隧道DE的長(zhǎng)度，還需直接測(cè)出（

）的值.A．a(chǎn)和b B．b和c C．a(chǎn)和c D．a(chǎn),b,c三者【答案】D【分析】在△PBC中用已知條件和正弦定理表示PB的長(zhǎng)，再在△ABC中用正弦定理表示AB的長(zhǎng)最后即可表示DE的長(zhǎng)，即可知道為了測(cè)出隧道DE的長(zhǎng)度，還需直接測(cè)出哪些值.【詳解】在△PBC中∠BPC=β?γ，由正弦定理有：PBsinγ=在△ABC中sin∠APB=由正弦定理有：PBsin所以AB=PB?sin因?yàn)镈E=AB?AD?BE=c?sin所以為了測(cè)出隧道DE的長(zhǎng)度，還需直接測(cè)出a,b,c三者的值.故選：D3（24-25高二下·云南玉溪·期中）如圖，A，B是海面上位于東西方向相距3+3海里的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45°、B點(diǎn)北偏西60°的D點(diǎn)有一艘船發(fā)出求救信號(hào)，位于B點(diǎn)南偏西60°且與B點(diǎn)相距43海里的C點(diǎn)的救援船立即前往營(yíng)救，其航行速度為20海里/小時(shí)，則該救援船到達(dá)D點(diǎn)最快所需時(shí)間為（

A．1小時(shí) B．0.3小時(shí) C．0.5小時(shí) D．0.2小時(shí)【答案】B【分析】在△ABD中，先由正弦定理，求出BD；在△BCD中，根據(jù)余弦定理，求出CD的長(zhǎng)，即可求出結(jié)果.【詳解】由題意，在△ABD中，AB=3+3，∠DAB=90°?45°=45°，∠DBA=90°?60°=30°，所以由正弦定理可得，ABsin則BD=又在△BCD中，∠DBC=180°?60°?60°=60°，BC=4由余弦定理可得，CD=432因此救援船到達(dá)D點(diǎn)需要的時(shí)間為CD20故選：B.4（23-24高三·遼寧·期末）如圖所示，A，B，C為山腳兩側(cè)共線的三點(diǎn)，在山頂P處測(cè)得三點(diǎn)的俯角分別為α，β，γ．計(jì)劃沿直線AC開(kāi)通穿山隧道，請(qǐng)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，計(jì)算：(1)PB的長(zhǎng)度(2)隧道DE的長(zhǎng)度．αβcosADEBBC456045312?3【答案】(1)6(2)9【分析】（1）由cosγ=45求出sinγ，從而可求出sin(60°?γ)（2）在△PAB中利用正弦定理求出AB，從而可求出DE.【詳解】（1）因?yàn)閏osγ=45，γ所以sin=3在△PBC中，∠BPC=60°?γ,∠PCB=γ,BC=12?33所以由正弦定理得PBsin所以PB=BC（2）因?yàn)閟in75°=在△PAB中，∠PAB=45°,∠APB=75°,PB=63所以由正弦定理得ABsin則AB=PB所以DE=AB?AD?EB=9+33所以隧道DE的長(zhǎng)度為9.題型6實(shí)際問(wèn)題中的角度測(cè)量1實(shí)際問(wèn)題中的角度問(wèn)題，要理解好各種角度的含義；2在實(shí)際問(wèn)題中，提取相關(guān)有效信息排除無(wú)關(guān)信息，建立聯(lián)系條件和求解之間的數(shù)學(xué)模型；3求角度，在化簡(jiǎn)的數(shù)學(xué)模型中，要明確與之相關(guān)的三角形，分析好其中的定量和變量，再求解?！咀⒁狻咳魣D象是立體圖形，要多畫(huà)個(gè)圖，把立體平面化處理，注意各邊是否共面。1（24-25高一下·浙江溫州·期中）一艘漁船航行到A處時(shí)看燈塔B在A的南偏東30°，距離為6海里，燈塔C在A的北偏東60°，距離為63海里，該漁船由A沿正東方向繼續(xù)航行到D處時(shí)再看燈塔B在其南偏西30°方向，則此時(shí)燈塔C位于漁船的（

A．北偏東60°方向 B．北偏西30°方向 C．北偏西60°方向 D．北偏東30°方向【答案】D【分析】由正弦定理可得AD=6，由余弦定理得CD=6，由正弦定理得∠CDA，即可求.【詳解】如圖，由題意，在△ABD中，∠DAB=60°，AB=6，∠ADB=60°，則△ABD為正三角形，則AD=6，在△ACD中，因?yàn)锳C=63，∠CAD=30°由余弦定理得CD所以CD=6，故∠CDA=120°，此時(shí)燈塔C位于漁船的北偏東30°方向.故選：D.2（24-25高一下·浙江衢州·期中）靈山江畔的龍洲塔，有“人文薈萃，學(xué)養(yǎng)深厚”的福地一說(shuō).如圖，某同學(xué)為了測(cè)量龍洲塔的高度，在地面C處測(cè)得塔在南偏東30°的方向上，向正南方向行走152后到達(dá)D處，測(cè)得塔在南偏東75°的方向上，D處測(cè)得塔尖A的仰角為60A．152 B．1526+2 【答案】C【分析】先根據(jù)題意得到角度和邊CD=152，則在△BCD中，由正弦定理可求得BD而塔是垂直于地面的，故在Rt△ABD中，結(jié)合仰角和BD【詳解】由題意可知∠BCD=30°,CD=15在△BCD中，由正弦定理可得BDsin因?yàn)镈處測(cè)得塔尖A的仰角為60°，即∠ADB=則在Rt△ABD中，龍洲塔高度為AB=BD故選：C.3（20-21高一·江蘇·課后作業(yè)）如圖所示，在坡度一定的山坡A處測(cè)得山頂上一建筑物CD的頂端C對(duì)于山坡的斜度為15°，向山頂前進(jìn)100m到達(dá)B處，又測(cè)得C對(duì)于山坡的斜度為45°，若CD=50m，sin15°=6?24，且山坡對(duì)于地平面的坡度為

A．32 B．22 C．3?1【答案】C【分析】先求出∠ACB=30°，在△ABC中由正弦定理求出BC，在△BCD中由正弦定理求出sin∠BDC，再由∠BDC=θ+90°求得cos【詳解】因?yàn)椤螩BD=45°，所以在△ABC中，由正弦定理可得：BCsin15°=在△BCD中，由正弦定理可得50(6?2即sinθ+90°=3故選：C4（多選）（24-25高三下·黑龍江齊齊哈爾·階段練習(xí)）在學(xué)習(xí)了解三角形的知識(shí)后，為了鍛煉實(shí)踐能力，某同學(xué)搞了一次實(shí)地測(cè)量活動(dòng).他位于河?xùn)|岸，在靠近河岸不遠(yuǎn)處有一小湖，他于點(diǎn)A處測(cè)得河對(duì)岸點(diǎn)B位于點(diǎn)A的南偏西45°的方向上，由于受到地勢(shì)的限制，他又選了點(diǎn)C，D，E，使點(diǎn)B，C，D共線，點(diǎn)B位于點(diǎn)D的正西方向上，點(diǎn)C位于點(diǎn)D的正東方向上，測(cè)得CD=CE=100m，∠BAD=75°，∠AEC=120°，AE=200m，并經(jīng)過(guò)計(jì)算得到如下數(shù)據(jù)，則其中正確的是（A．AD=200m B．△ADC的面積為C．AB=1006m D．點(diǎn)A在點(diǎn)C的北偏西【答案】AC【分析】利用正余弦定理解三角形逐一求解即可；對(duì)于A，先求出∠ADB=60°，∠ADC=120°，∠B=45°，再根據(jù)AC2=A對(duì)于B，根據(jù)三角形的面積公式求解即可，即可判斷；對(duì)于C，在△ABD中，由正弦定理ABsin對(duì)于D，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，易知∠DAG=30°，即可判斷．【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椤螧AD=75°，點(diǎn)B位于點(diǎn)A的南偏西45°的方向上，所以∠B=45°，∠ADB=60°，∠ADC=120°，又∠AEC=∠ADC=120°，CD=CE=100m，AC=AC，AE=200在△AEC，△ADC中，AC2=AE2對(duì)于B，△ADC的面積為12對(duì)于C，在△ABD中，由正弦定理，得ABsin∠ADB=對(duì)于D，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，易知∠DAG=30°，所以∠CAG>30°，故D錯(cuò)誤，故選：AC．5（24-25高三上·江蘇徐州·期中）如圖，某巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)北偏東30°相距6+2海里的B處有一艘走私船，正沿東偏南45°的方向以3海里/小時(shí)的速度向我海岸行駛，巡邏艇立即以22海里/小時(shí)的速度沿著正東方向直線追去，1小時(shí)后，巡邏艇到達(dá)C處，走私船到達(dá)D處，此時(shí)走私船發(fā)現(xiàn)了巡邏艇，立即改變航向，以原速向正東方向逃竄，巡邏艇立即加速以3(1)當(dāng)走私船發(fā)現(xiàn)了巡邏艇時(shí)，兩船相距多少海里(2)問(wèn)巡邏艇應(yīng)該沿什么方向去追，才能最快追上走私船【答案】(1)兩船相距3海里.(2)巡邏艇應(yīng)該北偏東75°【分析】（1）在△ABC中，解三角形得BC=23，∠ABC=45°，在△BCD（2）在△BCD中，解三角形得∠BCD=60°，∠BDC=90°，得到∠CDE=135【詳解】（1）由題意知，當(dāng)走私船發(fā)現(xiàn)了巡邏艇時(shí)，走私船在D處，巡邏艇在C處，此時(shí)BD=3×1=3,AC=22由題意知∠BAC=在△ABC中，AB=由余弦定理得B=所以BC=2在△ABC中，由正弦定理得ACsin∠ABC=所以sin∠ABC=22所在∠ACB=又∠CBD=在△BCD中，∠CBD=由余弦定理得C=∴CD=3故當(dāng)走私船發(fā)現(xiàn)了巡邏艇時(shí)，兩船相距3海里.（2）當(dāng)巡邏艇經(jīng)過(guò)t小時(shí)經(jīng)CE方向在E處追上走私船，則CE=3在△BCD中，由正弦定理得：CD則3所以sin∠BCD=3在△CDE中，由正弦定理得：CE則sin∠DCE=3t?sin135°∠ACE=∠ACB+∠BCD+∠DCE=故巡邏艇應(yīng)該北偏東75°題型7角或三角函數(shù)值的最值范圍1求三角形最值中，確定哪些量是不變的哪些量是變的，先把不變的量求出來(lái)；2構(gòu)建函數(shù)，根據(jù)正余弦定理或三角恒等變換將待求范圍的變量用某個(gè)確定的量的解析式表示；角度的最值往往變量是角；3在求最值時(shí)，可用基本不等式或函數(shù)最值的方法求解。4求角度的范圍，要注意已知條件中是否涉及到三角形的類型，比如銳角三角形之類的?！咀⒁狻恳⒁夂瘮?shù)中變量的取值范圍；注意題中的一些隱含條件，比如A+B+C=π，0<A<π，三角三邊的關(guān)系等等。1（24-25高三·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，某人在垂直于水平地面ABC的墻面前的點(diǎn)A處進(jìn)行射擊訓(xùn)練．已知點(diǎn)A到墻面的距離為AB，某目標(biāo)點(diǎn)P沿墻面的射擊線CM移動(dòng)，此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點(diǎn)P，需計(jì)算由點(diǎn)A觀察點(diǎn)P的仰角θ的大小(仰角θ為直線AP與平面ABC所成角)．若AB=15m，AC=25m，∠BCM=30°，則tanθA．305 B．3010 C．43【答案】D【分析】過(guò)P作PP'⊥BC，交BC于P'，連結(jié)AP'，設(shè)CP'=x【詳解】由勾股定理可得，BC=20，過(guò)P作PP'⊥BC，交BC于P

則tanθ=PP'A在Rt△ABC中，AB=15m，AC=25m則cos∠BCA=45，可得A所以tanθ=當(dāng)25x=45，即x=125故選：D.2（2025·河南許昌·模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且acosA+bcosA．32 B．332 C．9【答案】C【分析】利用正弦定理化邊為角，通過(guò)三角公式推出tanAtanB=9【詳解】因?yàn)閍cosA+所以tanA+tanB=8所以tanA+所以1=8tanAtanB?1tanC=顯然tanB必為正，否則tanB和所以tanB+tanC=當(dāng)且僅當(dāng)98tanB=98所以tanB+tanC故選：C.3（24-25高一下·河北·期末）在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c，若acosB+bcosA=4，AB邊上的高為A．π4 B．π3 C．5π【答案】B【分析】由余弦定理得c=4，結(jié)合三角形面積公式得ab=83sinC，由余弦定理結(jié)合基本不等式可得cosC=【詳解】因?yàn)閍cosB+bcos所以12×4×23∵cosC=a∴cosC≥1?33sin∵C∈(0,π)?C+π∴C∈0,π3，故角C故選：B.4（24-25高一下·浙江·期中）已知點(diǎn)O為△ABC外接圓的圓心，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，且a=4，若BO?AC=2，則當(dāng)角C取到最大值時(shí)△ABCA．23 B．25 C．10 【答案】A【分析】設(shè)AC的中點(diǎn)為D，運(yùn)用向量的線性運(yùn)算和向量的數(shù)量積運(yùn)算律表示BO?AC，求得【詳解】如下圖所示：設(shè)AC的中點(diǎn)為D，BO===1因?yàn)閍=4，所以c=23，由c<a知，角C所以cosC=a2+b2?c2因?yàn)閥=cosx在所以此時(shí)，角C取得最大值，此時(shí)恰有a2此時(shí)三角形ABC是直角三角形，所以S△ABC故選：A.

5（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在△ABC內(nèi)，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，若a2+b2≥4abcosC【答案】?【分析】根據(jù)余弦定理和已知條件得c2≥2ab?cosC，進(jìn)而利用正弦定理邊角互化得【詳解】由余弦定理a2+b由正弦定理，得sin2因?yàn)閏osA?B又cosC=?cosA+B所以sin2C≥1化簡(jiǎn)得12cos2C+又2sinA所以cosC的取值范圍是?故答案為：?6（2024·山西·模擬預(yù)測(cè)）鈍角△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a，b，c，若acosB=csinA，則【答案】5【分析】根據(jù)題意，得到sinC=cosB，結(jié)合△ABC是鈍角三角形矛盾，得到C=【詳解】因?yàn)閍cosB=csin又因?yàn)锳∈(0,π)，可得sinA≠0，所以sinC=cos當(dāng)C=π2?B時(shí)，可得A=π2由0<A<π20<B<π2所以sin=?2sin所以當(dāng)sinB=24時(shí)，sin故答案為：54題型8邊或周長(zhǎng)的最值問(wèn)題求邊的最值，可用幾何法或代數(shù)法1代數(shù)法（1）求三角形最值中，確定哪些量是不變的哪些量是變的，先把不變的量求出來(lái)；（2）構(gòu)建函數(shù)，根據(jù)正余弦定理或三角恒等變換將待求范圍的變量用某個(gè)確定的量的解析式表示；邊的最值，變量可以是角也可以是邊；（3）在求最值時(shí)，可用基本不等式或函數(shù)最值的方法求解。2幾何法通過(guò)觀察圖形，了解圖形的變化規(guī)律，根據(jù)對(duì)應(yīng)幾何模型得到最值?！咀⒁狻恳⒁夂瘮?shù)中變量的取值范圍；注意題中的一些隱含條件，比如A+B+C=π，0<A<π，三角三邊的關(guān)系等等。1（24-25高一下·重慶萬(wàn)州·期中）在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，S為△ABC的面積，且3S=a2?(b?c)2A．725,257 B．725,+【答案】C【分析】由3S=a2?(b?c)2，利用三角形面積公式與余弦定理，可得3sinA+4cosA=4，再根據(jù)同角三角函數(shù)的平方關(guān)系可得sin【詳解】在△ABC中，由余弦定理得a2=b2+由3S=a2?(b?c)2又A∈0,π2，sin2A+所以bc△ABC為銳角三角形，有0<C<π2，B=π則有tanC>tanπ2?A故選：C2（24-25高一下·湖北黃石·期末）記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，已知tanC=1?sinAcosA．?3,?2 B．?3,?1 C．?3,0 D．?3,1【答案】B【分析】根據(jù)題意，化簡(jiǎn)得到sinB=cosC，得到B=π2+C，求得A=π2?2C且0<C<【詳解】由tanC=1?sinAcos即sinC因?yàn)锳+C=π?B，可得sinB=cosC=當(dāng)B=π2?C時(shí)，即B+C=π2當(dāng)B=π2+C時(shí)，可得A=由正弦定理得a=2Rsin則a=(1?2又由0<C<π4，可得sin2即a2?b故選：B.3（2025·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，AB=3，D是BC的中點(diǎn)，且cos∠ADB=35，則邊【答案】2【分析】設(shè)BD=CD=x,AD=y，在△ABD中，由余弦定理可得3=x2+y2?6【詳解】設(shè)BD=CD=x,AD=y，因?yàn)閏os∠ADB=3在△ABD中，由余弦定理得：AB所以3=x2+在△ACD中，由余弦定理可得ACAC當(dāng)x=y=152時(shí)取等，故AC的最大值為故答案為：234（2025·湖北武漢·三模）已知銳角△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，若A=π3,a≥b，則b【答案】2,【分析】正弦定理邊角轉(zhuǎn)換，將原式轉(zhuǎn)化為關(guān)于角的式子，根據(jù)已知信息求出角B的取值范圍，利用角的關(guān)系，將變量都轉(zhuǎn)化為角B，根據(jù)角B的取值范圍求出原式的取值范圍.【詳解】在銳角△ABC中，由0<B≤π30<法一：有余弦定理知，a2=b所以b2由正弦定理得a2又π6<B≤π3，所以所以b2+c法二：由正弦定理知，cb又π6<B≤π3，從而1≤cb<2故答案為：2,55（2025·海南·模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，角A,?B,?C所對(duì)應(yīng)的邊分別為(1)求A的大?。?2)角A的平分線AD與邊BC相交于點(diǎn)D，且AD=3，求2b+3c【答案】(1)A=(2)5+2【分析】（1）利用正弦定理以及兩角和差的正弦公式化簡(jiǎn)即可；（2）根據(jù)S△ABC=S【詳解】（1）由csinAb?a由正弦定理得3sin因?yàn)锳+B+C=π，所以3即3sin即sinC因?yàn)閟inC≠0，所以3若cosA=0，則sinA=0矛盾，故cosA≠0而0<A<π，所以A=（2）因角A的平分線為AD，則∠BAD=∠CAD=π因S△ABC=S△ABD+∴34b+34則2b+3c1當(dāng)且僅當(dāng)2bc=3c所以2b+3c的最小值為5+26題型9面積的最值問(wèn)題求三角形面積的最值，可用幾何法或代數(shù)法1代數(shù)法（1）求三角形最值中，確定哪些量是不變的哪些量是變的，先把不變的量求出來(lái)；（2）構(gòu)建函數(shù)，根據(jù)正余弦定理或三角恒等變換將待求范圍的變量用某個(gè)確定的量的解析式表示；面積的最值，變量可以是角也可以是邊；（3）在求最值時(shí)，可用基本不等式或函數(shù)最值的方法求解。2幾何法通過(guò)觀察圖形，了解圖形的變化規(guī)律，根據(jù)對(duì)應(yīng)幾何模型得到最值?！咀⒁狻恳⒁夂瘮?shù)中變量的取值范圍；注意題中的一些隱含條件，比如A+B+C=π，0<A<π，三角三邊的關(guān)系等等。1（2025·廣東佛山·三模）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知A＝120A．2 B．23 C．3 D．【答案】D【分析】思路一：由正弦定理、三角形面積公式可得面積關(guān)于θ的函數(shù)即可求解；思路二：由角平分線性質(zhì)、等面積法以及基本不等式得bc≥12，結(jié)合三角形面積公式即可得解.【詳解】解法1：設(shè)∠ADB=θπ3在△ABD中，由正弦定理ABsin∠ADB=在△CBD中，由正弦定理ACsin∠ADC=∴S==33sin2θsin2解法2：由角平分線性質(zhì)可知，S△ABC12化簡(jiǎn)得：3b+c=bc≥23?bc故而S△ABC故選：D.2（2025·湖南岳陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知某三角形場(chǎng)地ABC是直角三角形，且AB=2km，∠ABC=π2，∠ACB=π6，現(xiàn)要在此場(chǎng)地中修建一正三角形形狀（如圖△MNP）的人工湖，該正三角形的頂點(diǎn)位于場(chǎng)地的邊界線上，則【答案】337【分析】首先設(shè)∠BPM=θ,|MP|=t，在△APN中，根據(jù)正弦定理表示AP，以及在△BMP中表示BP，再根據(jù)AP+BP=2【詳解】設(shè)∠BPM=θ,|MP|=t，則∠APN=2由正弦定理得|AP|sinθ=由|AB|=2知：2tsinθ3+則△MNP的面積最小值為12故答案為：33（2025·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）已知△ABC為等腰三角形，點(diǎn)D為腰AC上靠近頂點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，BD長(zhǎng)為2，則該三角形面積的最大值為．【答案】94/2.25/【分析】設(shè)AD=x,BC=2y，利用cos∠ADB+cos∠CDB=0得出y【詳解】設(shè)AD=x,BC=2y，則CD=2x,AB=3x，在△ADB中利用余弦定理得，cos∠ADB=在△CDB中利用余弦定理得，cos∠CDB=因∠ADB+∠CDB=π則cos∠ADB+則y2因等腰△ABC底邊BC上的高為9x則S△ABC故當(dāng)x2=58，即x=104，故答案為：94（24-25高一下·黑龍江大慶·階段練習(xí)）設(shè)銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，△ABC外接圓圓心為O，且(b+c+a)(b+c?a)=3bc，b=2．(1)求BO?(2)求△OAC和△OBC面積之差的最大值．【答案】(1)?2,1(2)3【分析】（1）先利用余弦定理求得A,再利用向量的幾何意義可得向量BO?AC=2?c，用正弦定理可得c=（2）用三角形面積公式結(jié)合條件求得S△OAC=1【詳解】（1）因?yàn)?b+c+a)(b+c?a)=3bc，可化為b2由余弦定理知，cosA=又0<A<π,所以A=由BO?因?yàn)镺為銳角△ABC外接圓圓心，所以BO?BC由余弦定理得，a2所以BO?由正弦定理得，bsin則c==3由0<B<π20<所以tanB∈則c=3所以BO?（2）設(shè)△ABC的外接圓半徑為R，則OA=OB=OC=R,且2R=bsinB因?yàn)椤螦OC=2B,∠BOC=2A=2所以S△OACS=3所以S=?=?3所以當(dāng)1tanB=△OAC和△OBC面積之差的最大值3題型10證明三角形中的恒等式或不等式1熟練掌握三角恒等變換的公式和技巧是關(guān)鍵；2多利用基本不等式或函數(shù)的知識(shí)點(diǎn)求解?！咀⒁狻恳⒁夂瘮?shù)中變量的取值范圍；注意題中的一些隱含條件，比如A+B+C=π，0<A<π，三角三邊的關(guān)系等等。1（多選）（2023·山西陽(yáng)泉·三模）設(shè)△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．若sinA=cosB=A．A+B=π2 B．2A+C=3π2 【答案】BCD【分析】由sinA=cosB，得到A+B=π2或A+【詳解】因?yàn)椤鰽BC中，sinA=cosB=sinπ當(dāng)A+B=π2時(shí)，C=π當(dāng)A+π2?B=此時(shí)C=π?A?B=π因?yàn)锳=π2+B，所以A>B因?yàn)镃=π2?2B即2sin令t=sinB∈0,1則f't=6又f12=14所以B<π6,A<故選：BCD.2（多選）（23-24高二上·福建福州·階段練習(xí)）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，下列與△ABC有關(guān)的結(jié)論，正確的是（

）A．若a=2，A=30°，則b+2cB．若acosA=bcosC．若△ABC是銳角三角形，則cosD．若△ABC為非直角三角形，則tan【答案】CD【分析】A由正弦定理有bsinB=csinC=【詳解】A：由bsinB=B：acosA=bcos所以A=B或A+B=π2，即C：由銳角三角形知：A+B>π2?B>D：tan==sin故選：CD3（2024·湖北黃岡·一模）在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.(1)證明：tanA(2)若a,b,c成等比數(shù)列.（i）設(shè)ba=q，求（ii）求tanA【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(i)5?12【分析】（1）利用二倍角公式及同角三角函數(shù)的平方關(guān)系證明即可；（2）（i）利用三角形三邊關(guān)系建立不等式組解不等式即可；（ii）利用第一問(wèn)及第二問(wèn)第一小問(wèn)的結(jié)論，結(jié)合正余弦定理、對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算即可.【詳解】（1）易知A,B,C∈0,π，所以則對(duì)于1?cos又sin2A=1?cos所以1?cos（2）（i）由題意，設(shè)公比為q，知b=aq,c=aq根據(jù)三角形三邊關(guān)系知：q>0a+aq>a解之得q∈（ii）由（1）及正弦定理、余弦定理知：tan=1+由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)知：fq=q+1q+1所以fq=q+1即tanA2tan4（24-25高二下·遼寧丹東·期末）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且面積為S.(1)若a2+b2+(2)求證：a2(3)求ba【答案】(1)C=(2)證明見(jiàn)解析(3)3【分析】（1）由余弦定理及三角形面積公式結(jié)合題意可得3sin（2）由基本不等式，三角函數(shù)值域，利用作差法可完成證明；（3）由basinC【詳解】（1）由c2=a2+則2sinC+π6=2?所以C+π6=（2）a≥22ab?abcosC?當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立；因?yàn)閟inC+π此時(shí)C=π3，當(dāng)且僅當(dāng)則a2+b（3）因?yàn)閎所以ba當(dāng)且僅當(dāng)△ABC是等邊三角形時(shí)等號(hào)成立.題型11與三角