專題04導(dǎo)數(shù)大題培優(yōu)歸類題型1同構(gòu)型同構(gòu)型不等式證明：利用函數(shù)同等變形，通過(guò)構(gòu)造“形似”函數(shù)新形式，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).利用恒等式x＝lnex和x＝elnx，通過(guò)冪轉(zhuǎn)指或冪轉(zhuǎn)對(duì)進(jìn)行等價(jià)變形，構(gòu)造函數(shù)，然后由構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行研究．常見(jiàn)的同構(gòu)函數(shù)有：①f(x)＝eq\f(lnx,x)；②f(x)＝xlnx；③f(x)＝xex；④f(x)＝eq\f(x,ex).其中①④可以借助eq\f(lnx,x)＝eq\f(lnx,elnx)＝eq\f(t,et)，②③可以借助xex＝(lnex)ex＝(lnt)t＝tlnt進(jìn)行指對(duì)互化．1.（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，證明：.【答案】(1)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）對(duì)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，求出和的解，即可求出結(jié)果；（2），即，故即證時(shí)，>.通過(guò)構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)證得在單調(diào)遞增，通過(guò)構(gòu)造證明.即可證明結(jié)果.【詳解】（1）由函數(shù)可得令，解得或.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）=當(dāng)時(shí)，，要證，即證>.設(shè)則當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞增，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，，故只需證明.令，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故，則在上成立，故，即成立.2.已知函數(shù)，(1)求的最小值；(2)證明：.2024屆遼寧省遼寧省高三重點(diǎn)高中協(xié)作校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)試題【答案】(1)1(2)證明見(jiàn)詳解【分析】（1）換元令，構(gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性和最值，進(jìn)而可得的最小值；（2）由（1）結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)可得，構(gòu)建，，利用導(dǎo)數(shù)可證，進(jìn)而結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)分析證明即可.【詳解】（1）令，由可知，構(gòu)建，則在內(nèi)恒成立，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，則，所以的最小值為1.（2）由（1）可知：，即，又因?yàn)?，則，可得，則，構(gòu)建，，則在內(nèi)恒成立，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，則，即，可得，注意到，則，所以.3.已知函數(shù)，，其中.（1）試討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，證明：.四川省樂(lè)山市高中2022屆第一次調(diào)查研究考試數(shù)學(xué)（理）試題【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）的定義域?yàn)椋蟪?，分別討論，，時(shí)不等式和的解集即可得單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間，即可求解；（2）的定義域?yàn)?，不等式等價(jià)于，，令，只需證，令，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性和最值即可求證.解（1）的定義域?yàn)椋煽傻茫?，?dāng)時(shí)，令，解得；令，解得或；此時(shí)在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在和上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得或，此時(shí)在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減：綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減.（2）因?yàn)?，的定義域?yàn)?，所以即，即證：，令，只需證，令，則，令，解得：；，解得；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；所以，所以，所以，即成立題型2凸凹翻轉(zhuǎn)型凸凹翻轉(zhuǎn)型證明不等式思維：凸凹反轉(zhuǎn)首先是證明不等式的一種技巧，欲證明，若可將不等式左端拆成，且的話，就可證明原不等式成立.通常情況，我們一般選取為上凸型函數(shù)，為下凹型函數(shù)來(lái)完成證明.1.已知，.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）對(duì)一切，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）證明：對(duì)一切，都有成立.天津市紅橋區(qū)2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【答案】（1）函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增（2）（3）證明見(jiàn)解析【分析】（1）求出的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)小于0，可求得函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)大于0，可求得函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間；（2）把與解析式代入已知不等式，整理后設(shè)，求出的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷單調(diào)性，進(jìn)而求出的最小值，即可確定的范圍；（3）所證不等式兩邊乘以，左邊為，右邊設(shè)為，求出左邊的最小值及右邊的最大值，比較即可得證．（1）解：因?yàn)?，所以，?dāng)，，當(dāng)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）解：原不等式等價(jià)于，即對(duì)一切恒成立，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為；（3）證明：原問(wèn)題等價(jià)于證明，由（1）可知，的最小值是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到，所以對(duì)一切，都有成立．2.（24-25高三·遼寧錦州·模擬）已知函數(shù)為實(shí)常數(shù)，，其中.(1)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)求的最值；(3)時(shí)，證明：.【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)最小值是，無(wú)最大值(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求得導(dǎo)函數(shù)，對(duì)進(jìn)行分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定單調(diào)性即可；（2）求導(dǎo)得，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可得出最值；（3）要證明，等價(jià)于．設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求的最大值，結(jié)合（2）知，證即可．【詳解】（1）時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，由得，時(shí)，，在上單調(diào)遞減；時(shí)，，在上單調(diào)遞增，綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增．（2）因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故的最小值是，無(wú)最大值．（3）時(shí)，，要證明，需要證明，等價(jià)于①，設(shè)，可得，由得，時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減，則的最大值是，即，由（2）知，又因?yàn)?，即，所以①式成立，所以?.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）證明：.陜西省西安市高新第一中學(xué)2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考理科數(shù)學(xué)試題【答案】（1）答案見(jiàn)解析.（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1），令，分別討論，，，解不等式或即可得單調(diào)增區(qū)間和減區(qū)間，進(jìn)而可得單調(diào)性.（2）設(shè)分別求，利用導(dǎo)數(shù)判斷兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性以及最值，求出即可求證.解（1）因?yàn)?，所以，，，令，?dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，解不等式可得：，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，解不等式可得：，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，（2）由可得，由可得，由可得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，設(shè)，則，由即可得；由即可得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以對(duì)任意的恒成立.題型3三角函數(shù)型對(duì)于含有三角函數(shù)型不等式證明：充分利用正余弦的有界性進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s。1．（24-25高二下·安徽蚌埠·期中）已知．(1)試判斷的單調(diào)性；(2)若時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)當(dāng)時(shí)，求證：．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求得，對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，分析導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化，即可得出函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；（2）對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，驗(yàn)證能否恒成立，由此可得出實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）由（2）得當(dāng)時(shí)，故只需證明，構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，可得出其函數(shù)值的符號(hào)變化，由此可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）因?yàn)?，該函?shù)的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，，則在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，令，得，由可得，由可得，此時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）即恒成立，則，且函數(shù)在上為增函數(shù)，故，當(dāng)時(shí)，，則在是增函數(shù)，成立，合乎題意；當(dāng)時(shí)，，由（1）可知，函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以不合題意．所以．（3）由（2）得當(dāng)時(shí)，，所以要證，只要，即證：，設(shè)，，則，因?yàn)楹瘮?shù)、在上均為增函數(shù)，故函數(shù)在是增函數(shù)，因?yàn)?，，所以存在，使．故時(shí)，，則在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則在上為增函數(shù)，因?yàn)?，，所以時(shí)，，故命題成立．2．（24-25高二下·浙江麗水·期末）已知函數(shù)為奇函數(shù)．(1)求a的值；(2)設(shè)函數(shù)，①證明：有且只有一個(gè)零點(diǎn)；②記函數(shù)的零點(diǎn)為，證明：．【答案】(1)(2)①證明見(jiàn)解析；②證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)可求出a的值；（2）①討論和時(shí)函數(shù)的單調(diào)性或函數(shù)值的正負(fù)，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理可證明函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；②由①可得，結(jié)合的范圍分析函數(shù)單調(diào)性可證明不等式.【詳解】（1）由題意得，，∴，即恒成立，∴.（2）①當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)均在上單調(diào)遞增，∴在上單調(diào)遞增，又，，∴存在唯一零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，，，∴，當(dāng)時(shí)，，，∴，∴當(dāng)時(shí)，無(wú)零點(diǎn)，綜上，有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且該零點(diǎn).②由①可知，且，故，∴，令，則.當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，∴，即得證.3．（2025·江蘇宿遷·模擬預(yù)測(cè)）已知，．(1)判斷的單調(diào)性；(2)若函數(shù)圖象在處切線斜率為，求；(3)求證：．【答案】(1)在上單調(diào)遞增；(2)(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求導(dǎo)后借助因式分解與二次函數(shù)的性質(zhì)可得其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，即可得其單調(diào)性；（2）借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，計(jì)算即可得解；（3）結(jié)合的取值范圍，可將所需證明的不等式轉(zhuǎn)化為證明，構(gòu)造函數(shù)，，則可借助導(dǎo)數(shù)結(jié)合基本不等式得到的單調(diào)性，即可得證.【詳解】（1），由，則，故，，故在上恒成立，故在上單調(diào)遞增；（2）由題意知，則，故或，由，故無(wú)解；則，即，又，故；（3）由，則，，要證，只需證，即只需證，由（1）知在上單調(diào)遞增，故，即，故只需證，即只需證，即只需證，令，，則，由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，由，故不能取等，即有，則，令，，則，故在上單調(diào)遞增，則，即，故在上單調(diào)遞增，則，即有，即得證.題型4數(shù)列型證明數(shù)列不等式型：證明不等式，該不等式左邊是求和式，右邊只有單獨(dú)的一項(xiàng)，但可以通過(guò)變形將右邊也轉(zhuǎn)化為求和式，即這樣一來(lái)，設(shè)，則只需證，而要證明這個(gè)式子，可以證明左右兩側(cè)對(duì)應(yīng)項(xiàng)的大小關(guān)系，即如果能夠證出恒成立，則原不等式也就成立.1．（25-26高三上·湖北·開(kāi)學(xué)考試）已知．(1)若時(shí)，求在上的最大值和最小值；(2)若恒成立，求的取值范圍；(3)設(shè)，證明：．【答案】(1)，(2)(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)在上的單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性求解即可；（2）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，不滿足題；當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值，再根據(jù)求解即可；（3）由（2）知，當(dāng)時(shí)，恒成立，即，令，則有，由時(shí)，，最后利用累加法即可得證.【詳解】（1）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，令，因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?，所以；?dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以為的一個(gè)極大值點(diǎn)，也為最大值點(diǎn)，所以而，又因?yàn)?，又因?yàn)椋?，所以；?）若時(shí)，因?yàn)?，不滿足題目要求，若時(shí)，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以為的一個(gè)極大值點(diǎn)，也為最大值點(diǎn)，所以即可，令，因?yàn)閱握{(diào)遞減，且，所以；（3）證明：由（2）知，當(dāng)時(shí)，恒成立，即，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得．所以.令，代入化簡(jiǎn)即得，又因?yàn)闀r(shí)，．即得，累加即得．2．（25-26高三上·廣西·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)，曲線在處的切線與直線垂直.(1)求的值；(2)求在上的最小值；(3)證明：對(duì)任意的正整數(shù)，都有.【答案】(1)(2)(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由切線與已知直線位置關(guān)系求解；（2）二次求導(dǎo)判斷單調(diào)性求解；（3）將（2）中結(jié)論對(duì)任意的恒成立，轉(zhuǎn)化為對(duì)任意的恒成立，即對(duì)任意的恒成立，然后令，累加放縮可證.【小題1】因?yàn)?，所以，則.因?yàn)榍€在處的切線與直線垂直，所以，即的值為.【小題2】由（1）可知，則.設(shè)，則.顯然在上恒成立，則在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增.因?yàn)椋栽谏虾愠闪?，則在上單調(diào)遞增，故，即在上的最小值為.【小題3】證明：由（2）可知對(duì)任意的恒成立，即對(duì)任意的恒成立，則對(duì)任意的恒成立，即對(duì)任意的恒成立.令，則，所以，，，…，，所以，即，故.3．（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)，，直線與的圖象相切．(1)求的值；(2)若方程在上有且僅有兩個(gè)解，求的取值范圍，并比較與的大??；(3)若，，求證：．【答案】(1)(2)，(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）首先設(shè)切點(diǎn)為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義構(gòu)造方程組，解方程組即可求出參數(shù)的值；（2）首先構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)零點(diǎn)存在定理構(gòu)造不等式組，求解不等式組即可求出參數(shù)的取值范圍，最后根據(jù)根的范圍，利用作差法比較與的大小.（3）首先構(gòu)造函數(shù)（），利用導(dǎo)數(shù)證明當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，.利用證明的不等式可得當(dāng)，時(shí)，，進(jìn)而得到.利用這個(gè)放縮不等式即可證明結(jié)論成立.【詳解】（1）設(shè)切點(diǎn)為，則，，由，得，且，所以，．（2）由，得．令，則．在上，，單調(diào)遞減；在上，，單調(diào)遞增．要使的圖象在上與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則，所以，此時(shí)，故的取值范圍是．由此可知，方程在上有且僅有兩個(gè)解，滿足，．因?yàn)?，所以．?）令（），，得：在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)，時(shí)，，所以，從而．題型5三角函數(shù)與數(shù)列型涉及到三角函數(shù)型不等式證明，證明思路和基礎(chǔ)不等式導(dǎo)數(shù)證明思路一致，對(duì)于三角函數(shù)，主要是正余弦，要充分利用正余弦函數(shù)的有界性。1．（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）若存在正實(shí)數(shù)，對(duì)任意，使得，則稱函數(shù)在上是一個(gè)“函數(shù)”．(1)證明：函數(shù)在區(qū)間上是一個(gè)“函數(shù)”；(2)證明：．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由給定的定義，利用導(dǎo)數(shù)證明及在上恒成立；（2）利用（1）的信息及結(jié)論可得在上成立，取，利用裂項(xiàng)相消法求和推理得證.【詳解】（1）要證在區(qū)間上是一個(gè)“函數(shù)”，需證時(shí)，，證明如下：令，求導(dǎo)得，令，求導(dǎo)得，即在上單調(diào)遞增，又，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，因此，即，再令，求導(dǎo)得，令，求導(dǎo)得，當(dāng)或時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，又，，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，因此，即，綜上可得：即函數(shù)在區(qū)間上是一個(gè)“函數(shù)”．（2）當(dāng)，則，由（1）知且，則，因此，即當(dāng)時(shí)，，令，，則，所以．2．（24-25高二下·安徽合肥·期末）已知雙曲正弦函數(shù)，雙曲余弦函數(shù)．(1)求雙曲正弦函數(shù)在處的切線方程；(2)證明：當(dāng)時(shí)，；(3)證明：．【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析；(3)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）直接求導(dǎo)得，，則得到切線方程；（2）方法一：令，求導(dǎo)得到單調(diào)性即可證明；方法二：首先證明當(dāng)時(shí)，，令，證明其單調(diào)性即可證明；（3）首先利用導(dǎo)數(shù)證明，令，代入得到相關(guān)不等式組，累加得，再根據(jù)（2）得到，最后即可證明原不等式.【詳解】（1）由已知，，所以，又，所以，切線方程為．（2）方法一：令，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以當(dāng)時(shí)，成立．方法二：先證：當(dāng)時(shí)，，令，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以當(dāng)時(shí)，成立．再證：當(dāng)時(shí)，，令，則，因此在上單調(diào)遞增；所以，故．綜上，當(dāng)時(shí)，．（3）先證：，令，則，令，則，在上單調(diào)遞增，，即在上單調(diào)遞增，，，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即，令，則，當(dāng)時(shí)，，即，則有：，相加可得：，因?yàn)?，則，所以，即．又由（2）知，當(dāng)時(shí)，．所以，．所以，.3．（24-25高二下·四川南充·期末）已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），.(1)求函數(shù)在區(qū)間上的最值；(2)若對(duì)，求證：；(3)求證：.【答案】(1)最大值為，最小值為；(2)證明見(jiàn)解析；(3)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)性，進(jìn)而可求得最值；（2）證明，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析最值即可證得結(jié)論成立；（3）令，由（2）得，再借助放縮，得證.【詳解】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得，令，則，當(dāng)時(shí)，，由正弦函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)，即，，當(dāng)，即，，因?yàn)?，所以時(shí)，，時(shí)，，即函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，而，，，所以函數(shù)的最大值為，最小值為；（2）要證，只需要證明，其中，設(shè)，，設(shè)，因?yàn)楹瘮?shù)、在上均為減函數(shù)，則在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減因?yàn)?，，所以，，使得，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減又因?yàn)?，，，，使得，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.因?yàn)?，，所以在區(qū)間內(nèi)恒成立，即對(duì)，成立；（3）令，所以，所以，，，…，，所以.對(duì)，，所以，所以，所以得證.題型6隱零點(diǎn)型虛設(shè)零點(diǎn)法：涉及到導(dǎo)函數(shù)有零點(diǎn)但是求解相對(duì)比較繁雜甚至無(wú)法求解的情形時(shí)，可以將這個(gè)零點(diǎn)只設(shè)出來(lái)而不必求出來(lái)，然后尋找一種整體的轉(zhuǎn)換和過(guò)度，再結(jié)合其他條件，進(jìn)行代換變形，從而最重獲得問(wèn)題的解決1．（23-24高三上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知函數(shù),.(1)判斷的單調(diào)性;(2)若,求證:,其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).【答案】(1)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．(2)證明見(jiàn)詳解【分析】（1）求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)即可求解函數(shù)的單調(diào)性，（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性，即可求解最值，進(jìn)而可證明.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，當(dāng)，；故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）證明：令，則，令，則，顯然在上單調(diào)遞增．又，，故存在唯一的，使得．從而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，

又，兩邊取對(duì)數(shù)得，故，，故在上單調(diào)遞增，所以，得證．2．（23-24高三上·陜西安康·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，令，若為的極大值點(diǎn)，證明：.【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）對(duì)參數(shù)分類討論，根據(jù)不同情況下導(dǎo)函數(shù)函數(shù)值的正負(fù)，即可判斷單調(diào)性；（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，求得的范圍，滿足的條件，以及，根據(jù)的范圍夾逼的范圍即可.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，①?dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，又，所以存在，使得，且當(dāng)；又當(dāng)；故當(dāng)，；當(dāng)，；當(dāng)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，故，且，所以，，又在單調(diào)遞減，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考察含參函數(shù)單調(diào)性的討論，以及導(dǎo)數(shù)中的隱零點(diǎn)問(wèn)題；處理問(wèn)題的關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確分析的單調(diào)性，以及求得隱零點(diǎn)的范圍以及滿足的條件，屬綜合中檔題.3．（2024·廣東廣州·二模）已知函數(shù)．(1)討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，記為的極大值點(diǎn)，為的零點(diǎn)，證明：．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成討論與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而結(jié)合圖象得到答案；（2）分類討論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而判斷函數(shù)的極值點(diǎn)和零點(diǎn)，依次證明不等式．【詳解】（1）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，此時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，所以不是函數(shù)的零點(diǎn)，令，故只需討論與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可，，因?yàn)?，所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，且時(shí)，，且時(shí)，，所以的大致圖象如圖所示：故當(dāng)與有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，與有2個(gè)交點(diǎn)；綜上，時(shí)，函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)．（2）函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn)，不滿足條件；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)無(wú)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，令得或；令得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)，因?yàn)?，時(shí)，，所以函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn)，在上有一個(gè)零點(diǎn)，所以；當(dāng)時(shí)，，令得或；令得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)，因?yàn)闀r(shí)，，，所以函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)，且，所以，綜上，．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：零點(diǎn)可理解為兩函數(shù)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，在求解時(shí)可分析單調(diào)性和極值，數(shù)形結(jié)合求解.題型7極值點(diǎn)偏移型極值點(diǎn)偏移多有零點(diǎn)這個(gè)條件。零點(diǎn)型，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用：零點(diǎn)是否是特殊值，或者在某個(gè)確定的區(qū)間之內(nèi)。零點(diǎn)是否可以通過(guò)構(gòu)造零點(diǎn)方程，進(jìn)行迭代或者轉(zhuǎn)化。將方程根的判定轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題處理.1．（22-23高三上·云南·階段練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)若，求的取值范圍；(2)證明：若存在，，使得，則．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)后可得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性可求最大值，從而可求參數(shù)的取值范圍.（2）利用極值點(diǎn)偏移可證，結(jié)合不等式放縮可證.【詳解】（1），，令，解得，所以當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，所以，要使，則有，而，故，所以的取值范圍為．（2）證明：當(dāng)時(shí)，由（1）知，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，設(shè)，所以，，①若，則，成立；②若，先證，此時(shí)，要證，即證，即，，令，，，所以在(1,2)上單調(diào)遞增，所以，即，，所以，因?yàn)?，，所以，即．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對(duì)于導(dǎo)數(shù)中的多變量的不等式問(wèn)題，應(yīng)該根據(jù)要證明的不等式合理構(gòu)建新的不等式，而后者可借助極值點(diǎn)偏移來(lái)處理，注意前者在構(gòu)建的過(guò)程中可利用一些常見(jiàn)的不等式來(lái)處理.2．（22-23高三上·江蘇南通·期中）已知，其極小值為-4.(1)求的值；(2)若關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，求證：.【答案】(1)3(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求導(dǎo)，分、和三種情況求的極小值，列方程求解即可；（2）構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)的單調(diào)性和得到，再結(jié)合和的單調(diào)性即可得到；設(shè)，通過(guò)比較和的大小關(guān)系得到，，再結(jié)合即可得到.【詳解】（1）因?yàn)?，所?當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，沒(méi)有極值，舍去.當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上，，單調(diào)遞增，在區(qū)間上，，單調(diào)遞減，在區(qū)間上，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，的極小值為，舍去當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上，，單調(diào)遞增，在區(qū)間上，，單調(diào)遞減，在區(qū)間上，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，的極小值為.所以.（2）由（1）知，在區(qū)間上，，單調(diào)遞增，在區(qū)間上，，單調(diào)遞減，在區(qū)間上，，單調(diào)遞增，所以不妨設(shè).下面先證.即證，因?yàn)?，所以，又因?yàn)閰^(qū)間上，單調(diào)遞減，只要證，又因?yàn)?，只要證，只要證.設(shè)，則，所以單調(diào)遞增，所以，所以.下面證.設(shè)，因?yàn)椋趨^(qū)間上，；在區(qū)間上，.設(shè)，，因?yàn)?，所以，所?設(shè)，，因?yàn)?，所以，所?因?yàn)?，所以，所?【點(diǎn)睛】極值點(diǎn)偏移問(wèn)題中（極值點(diǎn)為），證明或的方法：①構(gòu)造，②確定的單調(diào)性，③結(jié)合特殊值得到或，再利用，得到與的大小關(guān)系，④利用的單調(diào)性即可得到或.3．（22-23高三上·全國(guó)·階段練習(xí)）已知函數(shù)（且）.(1)若函數(shù)的最小值為2，求的值；(2)在（1）的條件下，若關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，且，求證：.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由題知，再根據(jù)和時(shí)的情況求解函數(shù)最小值即可得答案；（2）方法一：根據(jù)題意得，進(jìn)而令得，

再令，求函數(shù)最小值即可；

方法二：由題知方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，，，

進(jìn)而根據(jù)極值點(diǎn)偏移問(wèn)題求解即可.【詳解】（1）解：因?yàn)?，，所以?當(dāng)時(shí)，有，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)不存在最小值；所以不合題意，故.當(dāng)時(shí)，令，得.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增.所以，解得.所以，的值為.（2）解：方法一：由（1）知，，.因?yàn)闉榉匠痰膬蓚€(gè)不同的實(shí)數(shù)根，所以①；②.①－②得：，即，所以，令，有，所以，從而得.令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，即，即，又，所以，恒成立，即，得證.方法二：由（1）知，，.因?yàn)闉榉匠痰膬蓚€(gè)不同的實(shí)數(shù)根，所以，即方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.令，，則，.令，得.當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，所?令，，則.所以在上單調(diào)遞減，所以，即.所以，所以.又在上單調(diào)遞增，所以.即，得證.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)解題的關(guān)鍵在于由，結(jié)合得到，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)得，進(jìn)而證明結(jié)論；題型8極值點(diǎn)偏移型(混合型）處理極值點(diǎn)偏移問(wèn)題中的類似于的問(wèn)題的基本步驟如下：①求導(dǎo)確定的單調(diào)性，得到的范圍；②構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)可得恒正或恒負(fù)；③得到與的大小關(guān)系后，將置換為；④根據(jù)與的范圍，結(jié)合的單調(diào)性，可得與的大小關(guān)系，由此證得結(jié)論.1．（20-21高三·福建·階段練習(xí)）已知函數(shù)(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若，且，證明:.【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求導(dǎo)，分，兩種情況，分別研究的正負(fù)，即可得到的單調(diào)性；（2）將已知的方程兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，得到，由進(jìn)行分析，利用（1）中的結(jié)論，不妨令，分或兩種情況求解，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其性質(zhì)，結(jié)合不等式的性質(zhì)及基本不等式，即可證明.【詳解】（1）

當(dāng)時(shí)，，，所以單調(diào)遞增；，，所以單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞減；，所以單調(diào)遞增；（2）證明：，∴，即當(dāng)時(shí)，由（1）可知，此時(shí)是的極大值點(diǎn)，因此不妨令要證，即證：①當(dāng)時(shí)，成立；②當(dāng)時(shí)先證此時(shí)

要證，即證：，即，即即：①令，∴∴在區(qū)間上單調(diào)遞增∴，∴①式得證.∴∵，∴

∴

∴2．（21-22高二下·廣東佛山·期末）已知函數(shù)，其中．(1)若，求的極值：(2)令函數(shù)，若存在，使得，證明：．【答案】(1)極小值為，無(wú)極大值.(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值；（2）依題意可得，令，則上述函數(shù)變形為，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明的單調(diào)性，即可得到存在、，使得，再根據(jù)的單調(diào)性，可得，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，即可證明；【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，，所以，當(dāng)時(shí)，，，所以，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的極小值為，無(wú)極大值.（2）證明：，令，則上述函數(shù)變形為，對(duì)于，，則，即在上單調(diào)遞增，所以若存在，使得，則存在對(duì)應(yīng)的、，使得，對(duì)于，則，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以為函數(shù)的唯一極小值點(diǎn)，所以，則，令，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，又，所以，又的單調(diào)性可知，即有成立，所以.【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問(wèn)題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問(wèn)題處理．3．（2022·山東·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)若有兩個(gè)零點(diǎn)，的取值范圍；(2)若方程有兩個(gè)實(shí)根、，且，證明：.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）分析可知，由參變量分離法可知直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可求得實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）令，其中，令，，分析可知關(guān)于的方程也有兩個(gè)實(shí)根、，且，設(shè)，將所求不等式等價(jià)變形為，令，即證，令，其中，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，即可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）解：函數(shù)的定義域?yàn)?當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，不合乎題意，所以，，由可得，構(gòu)造函數(shù)，其中，所以，直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，，由可得，列表如下：增極大值減所以，函數(shù)的極大值為，如下圖所示：且當(dāng)時(shí)，，由圖可知，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）證明：因?yàn)?，則，令，其中，則有，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)實(shí)根、，令，，則關(guān)于的方程也有兩個(gè)實(shí)根、，且，要證，即證，即證，即證，由已知，所以，，整理可得，不妨設(shè)，即證，即證，令，即證，其中，構(gòu)造函數(shù)，其中，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，故原不等式成立.題型9雙變量型1．（24-25高二下·福建福州·期中）已知函數(shù)，其中.(1)當(dāng)時(shí)，求出函數(shù)的極值并判斷方程的解的個(gè)數(shù)；(2)當(dāng)時(shí)，證明：對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，都有.【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后利用極值的概念求解即可；將方程解的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為與交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及零點(diǎn)作出函數(shù)示意圖，數(shù)形結(jié)合即可求解；（2）將所證不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為證明，令，，設(shè)，多次求導(dǎo)研究其單調(diào)性，即可證明.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值，無(wú)極大值.方程解的個(gè)數(shù)，轉(zhuǎn)化為與交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，由于在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，令，解得.且時(shí)，；時(shí)，，

所以，當(dāng)時(shí)，方程有0個(gè)解，當(dāng)或時(shí)，方程有1個(gè)解，當(dāng)時(shí)，方程有2個(gè)解.（2）要證，不妨設(shè)，即證，兩邊同時(shí)除以并化簡(jiǎn)，即證，令，則，設(shè)，，令，則在上恒成立，得在上單調(diào)遞增，故，故在上單調(diào)遞增.所以，從而命題得證.2．（24-25高二下·天津·期末）已知函數(shù)：．(1)若當(dāng)時(shí)，恒成立；求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若關(guān)于x的方程有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根；且，（i）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（ii）求證：．【答案】(1)(2)（i）；（ii）證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用不等式分離參變量，再構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)判斷單調(diào)性來(lái)求最大值，即可得參數(shù)范圍；（2）（i）利用等式分離參變量，再構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)判斷單調(diào)性來(lái)求作出函數(shù)圖象，從而可得參數(shù)范圍；（ii）利用（1）來(lái)證明，從而把二元不等式化為一元不等式，再利用函數(shù)求導(dǎo)證明單調(diào)性求最大值即可.【詳解】（1）若當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立，即在上恒成立，令，則所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，所以，所以，即a的取值范圍是．（2）（i）若關(guān)于x的方程有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，即有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，等價(jià)于與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，因?yàn)?，所以?dāng)和時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，作出函數(shù)的圖象：所以直線與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)的a的取值范圍是．（ii）方法（一）由（i）知，，由（1）知，因?yàn)?，所以，設(shè)的根為，即，所以，從而，所以，令，則，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，從而，從而．（ii）方法（二）由（i）知，，構(gòu)造函數(shù)則令則再令，所以當(dāng)時(shí)，，從而單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以存在，滿足，此時(shí)當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)樗源嬖跐M足當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，又，所以在上恒成立，即，設(shè)的根為，即，則，從而有，又由得，，從而，又由（1）知，，設(shè)的根為，即所以，從而，所以．3．（24-25高二下·黑龍江·期末）已知函數(shù)(1)設(shè)函數(shù)，不等式對(duì)任意的恒成立，求的取值范圍．(2)若有兩個(gè)極值點(diǎn).（i）求的取值范圍；（ii）求證：.【答案】(1)(2)（i）；（ii）證明見(jiàn)解析【分析】（1）代入然后求導(dǎo)，對(duì)，討論判斷；（2）（i）法一：等價(jià)轉(zhuǎn)化方程有兩個(gè)不同的變號(hào)根等價(jià)有兩個(gè)不同的根，然后構(gòu)建函數(shù)研究性質(zhì)即可；法二：直接求導(dǎo)，然后利用二階導(dǎo)，求出最小值判斷即可；（ii）構(gòu)建函數(shù)，然后求導(dǎo)可判斷，然后構(gòu)建函數(shù)，可知，最后可得結(jié)果.【詳解】（1）由，得，，當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞增，所以，不等式恒成立；

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，，與已知不等式矛盾.故；（2）（i）法一：由（），求導(dǎo)得，由題意得方程有兩個(gè)不同的變號(hào)根，即：有兩個(gè)不同的根，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，所以，又時(shí)，；時(shí)，，所以.

法二：由，求導(dǎo)可得，令，由題意得函數(shù)存在兩個(gè)不同的變號(hào)零點(diǎn)，則，令，解得，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)，即時(shí)，不合題意；當(dāng)時(shí)，由，令，求導(dǎo)可得，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，所以，則，由，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)存在兩個(gè)不同的變號(hào)零點(diǎn)，可得，解得.（ii）證明：由（i）知：為方程的兩個(gè)不等的實(shí)根，不妨設(shè)，令，求導(dǎo)可得，由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，由，則當(dāng)時(shí)，可得，由，且在上單調(diào)遞減，則，可得；由當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，由，則，所以，要證，只需證，由，則令，求導(dǎo)可得，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，，則當(dāng)時(shí)，，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，則當(dāng)時(shí)，，所以不等式在上恒成立，可得。綜上所述，.題型10換元型1．（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若，設(shè)分別在拋物線與曲線上，且軸，求的最小值；(2)設(shè)是的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題意作出圖形，從而可得，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)即可求出最值，即可求解.（2）由題意可得，化簡(jiǎn)得，結(jié)合題意不妨設(shè)，要證，只需證，即證，再令，，即證，再令，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)從而可求得，從而可求解證明.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，．設(shè)，因?yàn)檩S，所以，且．則，令，則，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．故當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，即的最小值為．（2）由的定義域?yàn)?，求?dǎo)得．因?yàn)槭堑膬蓚€(gè)極值點(diǎn)，所以，即，，則（*），不妨設(shè)，要證，只需證，將（*）式代入整理得，令，即證，令，即證，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，原不等式得證．2．（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)．(1)求的值；(2)設(shè)函數(shù)，對(duì)任意的，求證：不等式恒成立．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并確定函數(shù)的定義域，然后求函數(shù)的極值點(diǎn)，并確定極值點(diǎn)兩側(cè)的單調(diào)性，分析最值，根據(jù)單調(diào)性和最值可得；（2）先求得函數(shù)，設(shè)，采用分析法，將不等式進(jìn)行化簡(jiǎn)，并通過(guò)換元設(shè)，對(duì)所證不等式進(jìn)行整理，并設(shè)新的函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性和最值得證．【詳解】（1）的定義域?yàn)?，．由，得．∵?dāng)時(shí)，則在區(qū)間上是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上是減函數(shù)，∴在處取得極大值也為最大值．由題意知，解得．（2）由（1）知，不妨設(shè)，則要證明，只需證，即，即證．設(shè)，則只需證明，化簡(jiǎn)得．設(shè)，則，∴在上單調(diào)遞增，∴，即，得證．故原不等式恒成立．3．（24-25高三下·山西大同·期末）已知函數(shù)．(1)若曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，求實(shí)數(shù)a的值；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)若，求證：．【答案】(1)1；(2)答案見(jiàn)解析；(3)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及已知平行關(guān)系有，求參數(shù)值即可；（2）由（1）令，討論、、，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)確定的符號(hào)，進(jìn)而確定的單調(diào)性；（3）由題設(shè)得，令，得，將問(wèn)題化為證明，結(jié)合（2）即可證.【詳解】（1）的定義域?yàn)?，，所以，依題意有，即，解得，此時(shí)，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，與平行．所以實(shí)數(shù)a的值為1．（2）令，方程的判別式．若，即，恒成立，即對(duì)任意，，所以在上單調(diào)遞增；若，即或，當(dāng)時(shí)，在上恒成立，即對(duì)任意，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，得或；令，得．在上，；在上，．所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．綜上，當(dāng)時(shí)，在定義域上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間，上單調(diào)遞增．（3）由整理可得，因?yàn)椋?，所以，因此，因?yàn)椋?，令，則，所以，，所以，要證，需證，即證，即，由（2）知時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以時(shí)，，所以，所以．題型11韋達(dá)定理型利用韋達(dá)定理證明不等式1.題干條件大多數(shù)是與函數(shù)額極值x1，x2有關(guān)。2.利用韋達(dá)定理代換：可以消去參數(shù)1．（23-24高二下·江蘇鎮(zhèn)江·期末）已知．(1)若曲線在處的切線與垂直，求實(shí)數(shù)a的值；(2)若函數(shù)存在兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，求證：．【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，即可解得實(shí)數(shù)的值；（2）函數(shù)在定義域上有兩個(gè)極值，等價(jià)于在上有兩個(gè)不相等的根，解不等式組，求得的范圍，化簡(jiǎn)得到，再構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)證明即得.【詳解】（1）的定義域?yàn)椋?，因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線與直線垂直.所以，解得．（2）由題意可得，，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，即在上有兩個(gè)不等實(shí)根，，則，，由題意得，解得.則令，其中，，，，故在上單調(diào)遞減；所以，即，故得證．2．（24-25高二下·山東臨沂·期末）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求在處的切線方程；(2)當(dāng)?shù)淖畲笾禐?時(shí)，求；(3)當(dāng)時(shí)，正實(shí)數(shù)滿足，證明：.【答案】(1)(2)(3)證明過(guò)程見(jiàn)解析【分析】（1）只需求得即可得解；（2）分析得知的最大值為，其中，說(shuō)明即可求解；（3）利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明，結(jié)合已知得，結(jié)合是正實(shí)數(shù)即可得證.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，所以，故所求為；（2），求導(dǎo)得，若，則恒成立，這意味著此時(shí)在上單調(diào)遞增，但這與的最大值為0矛盾，故，當(dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，記，則所以的最大值為，設(shè)，因?yàn)槎际窃龊瘮?shù)，所以是增函數(shù)，注意到，所以，解得，綜上所述，當(dāng)?shù)淖畲笾禐?時(shí)，；（3）當(dāng)時(shí)，正實(shí)數(shù)滿足，即，進(jìn)一步變形得，令，求導(dǎo)得，，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，解得或，但由于都是正實(shí)數(shù)，所以.3．（2025·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并證明.【答案】(1)(2)，證明見(jiàn)解析【分析】（1）先求出函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)得到切線斜率，再結(jié)合該點(diǎn)坐標(biāo)求出切線方程；（2）通過(guò)求導(dǎo)分析導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來(lái)確定函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)判別式判斷極值點(diǎn)的情況，最后求出函數(shù)在極值點(diǎn)處的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2），記，則當(dāng)即時(shí)，恒成立，故此時(shí)無(wú)極值點(diǎn).當(dāng)即時(shí)，令，得由知，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，從而實(shí)數(shù)的取值范圍是.由，即，即，所以，令，則，所以在上單調(diào)遞增，從而，所以.題型12兩個(gè)零點(diǎn)與不等式:兩個(gè)零點(diǎn)型求參：兩個(gè)零點(diǎn)型，比較復(fù)雜，多數(shù)為所求區(qū)間內(nèi)為“類二次函數(shù)型”，所以需要求極值點(diǎn)，還需要“內(nèi)點(diǎn)型找點(diǎn)”。在處理數(shù)據(jù)時(shí)，可以適當(dāng)放縮構(gòu)造：1.是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見(jiàn)放縮結(jié)論；2.構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).1.（2023·山西·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若有2個(gè)不同的零點(diǎn)（），求證：.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求解函數(shù)定義域，參變分離得到，構(gòu)造，利用導(dǎo)函數(shù)得到其單調(diào)性，極值和最值情況，得到；（2）轉(zhuǎn)化為有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，構(gòu)造，得到其單調(diào)性，得到，且，求出，換元后即證，構(gòu)造，求導(dǎo)后得到在上單調(diào)遞增，，得到證明.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以成立，等價(jià)于成立.令，則，令，則，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，又因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以在處取極大值也是最大值.因此，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）有2個(gè)不同的零點(diǎn)等價(jià)于有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.令，則，當(dāng)時(shí)，解得.所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以在處取極大值為.又因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.且時(shí)，.所以，且.因?yàn)槭欠匠痰?個(gè)不同實(shí)數(shù)根，即.將兩式相除得，令，則，，變形得，.又因?yàn)?，，因此要證，只需證.因?yàn)?，所以只需證，即證.因?yàn)?，即證.令，則，所以在上單調(diào)遞增，，即當(dāng)時(shí)，成立，命題得證.2.（2024高二上·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若有2個(gè)不同的零點(diǎn)，求證：．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求解函數(shù)定義域，參變分離得到，構(gòu)造，利用導(dǎo)函數(shù)得到其單調(diào)性，極值和最值情況，得到；（2）轉(zhuǎn)化為有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，構(gòu)造，得到其單調(diào)性，得到，且，求出，換元后即證，構(gòu)造，求導(dǎo)后得到在上單調(diào)遞增，，得到證明.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以成立，等價(jià)于成立.令，則，令，則，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以在處取極大值也是最大值.因此，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）有2個(gè)不同的零點(diǎn)等價(jià)于有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.令，則，當(dāng)時(shí)，解得.所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以在處取極大值為.又因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.且時(shí)，.所以，且.因?yàn)槭欠匠痰?個(gè)不同實(shí)數(shù)根，即.將兩式相除得，令，則，，變形得，.又因?yàn)椋?，因此要證，只需證.因?yàn)椋灾恍枳C，即證.因?yàn)?，即證.令，則，所以在上單調(diào)遞增，，即當(dāng)時(shí)，成立，命題得證.3.（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù).（1）函數(shù)的圖象能否與軸相切？若能與軸相切，求實(shí)數(shù)的值；否則請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）若函數(shù)恰好有兩個(gè)零點(diǎn)、，求證：.【答案】（1）能，；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）假設(shè)函數(shù)的圖象能與軸相切，設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，根據(jù)題意可得，求出的值，即可得出結(jié)論；（2）分析得出所證不等式等價(jià)于，令，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，證明，即可說(shuō)明所證不等式成立.