專題04導(dǎo)數(shù)大題培優(yōu)歸類題型1同構(gòu)型同構(gòu)型不等式證明：利用函數(shù)同等變形，通過構(gòu)造“形似”函數(shù)新形式，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).利用恒等式x＝lnex和x＝elnx，通過冪轉(zhuǎn)指或冪轉(zhuǎn)對(duì)進(jìn)行等價(jià)變形，構(gòu)造函數(shù)，然后由構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行研究．常見的同構(gòu)函數(shù)有：①f(x)＝eq\f(lnx,x)；②f(x)＝xlnx；③f(x)＝xex；④f(x)＝eq\f(x,ex).其中①④可以借助eq\f(lnx,x)＝eq\f(lnx,elnx)＝eq\f(t,et)，②③可以借助xex＝(lnex)ex＝(lnt)t＝tlnt進(jìn)行指對(duì)互化．1.（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，證明：.2.已知函數(shù)，(1)求的最小值；(2)證明：.2024屆遼寧省遼寧省高三重點(diǎn)高中協(xié)作校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)試題3.已知函數(shù)，，其中.（1）試討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，證明：.四川省樂山市高中2022屆第一次調(diào)查研究考試數(shù)學(xué)（理）試題題型2凸凹翻轉(zhuǎn)型凸凹翻轉(zhuǎn)型證明不等式思維：凸凹反轉(zhuǎn)首先是證明不等式的一種技巧，欲證明，若可將不等式左端拆成，且的話，就可證明原不等式成立.通常情況，我們一般選取為上凸型函數(shù)，為下凹型函數(shù)來完成證明.1.已知，.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）對(duì)一切，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）證明：對(duì)一切，都有成立.天津市紅橋區(qū)2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題2.（24-25高三·遼寧錦州·模擬）已知函數(shù)為實(shí)常數(shù)，，其中.(1)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)求的最值；(3)時(shí)，證明：.3.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）證明：.陜西省西安市高新第一中學(xué)2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考理科數(shù)學(xué)試題題型3三角函數(shù)型對(duì)于含有三角函數(shù)型不等式證明：充分利用正余弦的有界性進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s。1．（24-25高二下·安徽蚌埠·期中）已知．(1)試判斷的單調(diào)性；(2)若時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)當(dāng)時(shí)，求證：．2．（24-25高二下·浙江麗水·期末）已知函數(shù)為奇函數(shù)．(1)求a的值；(2)設(shè)函數(shù)，①證明：有且只有一個(gè)零點(diǎn)；②記函數(shù)的零點(diǎn)為，證明：．3．（2025·江蘇宿遷·模擬預(yù)測(cè)）已知，．(1)判斷的單調(diào)性；(2)若函數(shù)圖象在處切線斜率為，求；(3)求證：．題型4數(shù)列型證明數(shù)列不等式型：證明不等式，該不等式左邊是求和式，右邊只有單獨(dú)的一項(xiàng)，但可以通過變形將右邊也轉(zhuǎn)化為求和式，即這樣一來，設(shè)，則只需證，而要證明這個(gè)式子，可以證明左右兩側(cè)對(duì)應(yīng)項(xiàng)的大小關(guān)系，即如果能夠證出恒成立，則原不等式也就成立.1．（25-26高三上·湖北·開學(xué)考試）已知．(1)若時(shí)，求在上的最大值和最小值；(2)若恒成立，求的取值范圍；(3)設(shè)，證明：．2．（25-26高三上·廣西·開學(xué)考試）已知函數(shù)，曲線在處的切線與直線垂直.(1)求的值；(2)求在上的最小值；(3)證明：對(duì)任意的正整數(shù)，都有.3．（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)，，直線與的圖象相切．(1)求的值；(2)若方程在上有且僅有兩個(gè)解，求的取值范圍，并比較與的大?。?3)若，，求證：．題型5三角函數(shù)與數(shù)列型涉及到三角函數(shù)型不等式證明，證明思路和基礎(chǔ)不等式導(dǎo)數(shù)證明思路一致，對(duì)于三角函數(shù)，主要是正余弦，要充分利用正余弦函數(shù)的有界性。1．（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）若存在正實(shí)數(shù)，對(duì)任意，使得，則稱函數(shù)在上是一個(gè)“函數(shù)”．(1)證明：函數(shù)在區(qū)間上是一個(gè)“函數(shù)”；(2)證明：．2．（24-25高二下·安徽合肥·期末）已知雙曲正弦函數(shù)，雙曲余弦函數(shù)．(1)求雙曲正弦函數(shù)在處的切線方程；(2)證明：當(dāng)時(shí)，；(3)證明：．3．（24-25高二下·四川南充·期末）已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），.(1)求函數(shù)在區(qū)間上的最值；(2)若對(duì)，求證：；(3)求證：.題型6隱零點(diǎn)型虛設(shè)零點(diǎn)法：涉及到導(dǎo)函數(shù)有零點(diǎn)但是求解相對(duì)比較繁雜甚至無法求解的情形時(shí)，可以將這個(gè)零點(diǎn)只設(shè)出來而不必求出來，然后尋找一種整體的轉(zhuǎn)換和過度，再結(jié)合其他條件，進(jìn)行代換變形，從而最重獲得問題的解決1．（23-24高三上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知函數(shù),.(1)判斷的單調(diào)性;(2)若,求證:,其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).2．（23-24高三上·陜西安康·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，令，若為的極大值點(diǎn)，證明：.3．（2024·廣東廣州·二模）已知函數(shù)．(1)討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，記為的極大值點(diǎn)，為的零點(diǎn)，證明：．題型7極值點(diǎn)偏移型極值點(diǎn)偏移多有零點(diǎn)這個(gè)條件。零點(diǎn)型，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用：零點(diǎn)是否是特殊值，或者在某個(gè)確定的區(qū)間之內(nèi)。零點(diǎn)是否可以通過構(gòu)造零點(diǎn)方程，進(jìn)行迭代或者轉(zhuǎn)化。將方程根的判定轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性問題處理.1．（22-23高三上·云南·階段練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)若，求的取值范圍；(2)證明：若存在，，使得，則．2．（22-23高三上·江蘇南通·期中）已知，其極小值為-4.(1)求的值；(2)若關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，求證：.3．（22-23高三上·全國(guó)·階段練習(xí)）已知函數(shù)（且）.(1)若函數(shù)的最小值為2，求的值；(2)在（1）的條件下，若關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，且，求證：.題型8極值點(diǎn)偏移型(混合型）處理極值點(diǎn)偏移問題中的類似于的問題的基本步驟如下：①求導(dǎo)確定的單調(diào)性，得到的范圍；②構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)可得恒正或恒負(fù)；③得到與的大小關(guān)系后，將置換為；④根據(jù)與的范圍，結(jié)合的單調(diào)性，可得與的大小關(guān)系，由此證得結(jié)論.1．（20-21高三·福建·階段練習(xí)）已知函數(shù)(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若，且，證明:.2．（21-22高二下·廣東佛山·期末）已知函數(shù)，其中．(1)若，求的極值：(2)令函數(shù)，若存在，使得，證明：．2．（2022·山東·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)若有兩個(gè)零點(diǎn)，的取值范圍；(2)若方程有兩個(gè)實(shí)根、，且，證明：.題型9雙變量型1．（24-25高二下·福建福州·期中）已知函數(shù)，其中.(1)當(dāng)時(shí)，求出函數(shù)的極值并判斷方程的解的個(gè)數(shù)；(2)當(dāng)時(shí)，證明：對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，都有.2．（24-25高二下·天津·期末）已知函數(shù)：．(1)若當(dāng)時(shí)，恒成立；求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若關(guān)于x的方程有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根；且，（i）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（ii）求證：．3．（24-25高二下·黑龍江·期末）已知函數(shù)(1)設(shè)函數(shù)，不等式對(duì)任意的恒成立，求的取值范圍．(2)若有兩個(gè)極值點(diǎn).（i）求的取值范圍；（ii）求證：.題型10換元型1．（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若，設(shè)分別在拋物線與曲線上，且軸，求的最小值；(2)設(shè)是的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．2．（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)．(1)求的值；(2)設(shè)函數(shù)，對(duì)任意的，求證：不等式恒成立．3．（24-25高三下·山西大同·期末）已知函數(shù)．(1)若曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，求實(shí)數(shù)a的值；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)若，求證：．題型11韋達(dá)定理型利用韋達(dá)定理證明不等式1.題干條件大多數(shù)是與函數(shù)額極值x1，x2有關(guān)。2.利用韋達(dá)定理代換：可以消去參數(shù)1．（23-24高二下·江蘇鎮(zhèn)江·期末）已知．(1)若曲線在處的切線與垂直，求實(shí)數(shù)a的值；(2)若函數(shù)存在兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，求證：．2．（24-25高二下·山東臨沂·期末）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求在處的切線方程；(2)當(dāng)?shù)淖畲笾禐?時(shí)，求；(3)當(dāng)時(shí)，正實(shí)數(shù)滿足，證明：.3．（2025·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并證明.題型12兩個(gè)零點(diǎn)與不等式:兩個(gè)零點(diǎn)型求參：兩個(gè)零點(diǎn)型，比較復(fù)雜，多數(shù)為所求區(qū)間內(nèi)為“類二次函數(shù)型”，所以需要求極值點(diǎn)，還需要“內(nèi)點(diǎn)型找點(diǎn)”。在處理數(shù)據(jù)時(shí)，可以適當(dāng)放縮構(gòu)造：1.是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；2.構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).1.（2023·山西·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若有2個(gè)不同的零點(diǎn)（），求證：.2.（2024高二上·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若有2個(gè)不同的零點(diǎn)，求證：．3.（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù).（1）函數(shù)的圖象能否與軸相切？若能與軸相切，求實(shí)數(shù)的值；否則請(qǐng)說明理由；（2）若函數(shù)恰好有兩個(gè)零點(diǎn)、，求證：.題型13三個(gè)零點(diǎn)不等式1.（2023·云南·云南師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，且，