初一數(shù)學(xué)角平分線綜合題訓(xùn)練冊(cè)前言：為何要重視角平分線的學(xué)習(xí)？進(jìn)入初中，幾何學(xué)的大門徐徐向我們打開。其中，角平分線的概念及其應(yīng)用，如同一條重要的線索，串聯(lián)起眾多幾何知識(shí)，也是解決復(fù)雜幾何問題的關(guān)鍵工具之一。不少同學(xué)在面對(duì)涉及角平分線的綜合題時(shí)，常常感到無從下手，思路難以展開。這本訓(xùn)練冊(cè)，正是希望通過系統(tǒng)的梳理與針對(duì)性的練習(xí)，幫助同學(xué)們夯實(shí)基礎(chǔ)，掌握方法，最終能夠從容應(yīng)對(duì)各類角平分線綜合題的挑戰(zhàn)，提升幾何推理與解題能力。第一部分：角平分線核心知識(shí)回顧與梳理在深入綜合題之前，我們必須先確保對(duì)基礎(chǔ)概念和性質(zhì)有清晰且準(zhǔn)確的理解。一、角平分線的定義從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角的射線，叫做這個(gè)角的平分線。*幾何語(yǔ)言描述：如圖1，若OC是∠AOB的平分線，則∠AOC=∠COB=1/2∠AOB，或∠AOB=2∠AOC=2∠COB。（*此處應(yīng)有圖1：一個(gè)角AOB，OC為其角平分線，標(biāo)注出∠AOC=∠COB*）二、角平分線的性質(zhì)定理角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。*幾何語(yǔ)言描述：如圖2，若OC是∠AOB的平分線，點(diǎn)P在OC上，且PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，則PD=PE。*定理的理解：這個(gè)性質(zhì)揭示了“角平分線”與“距離相等”之間的因果關(guān)系?！熬嚯x”是指垂線段的長(zhǎng)度，這一點(diǎn)至關(guān)重要，常常是我們添加輔助線的依據(jù)。（*此處應(yīng)有圖2：OC為∠AOB平分線，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE*）三、角平分線的判定定理到角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上。*幾何語(yǔ)言描述：如圖2，若點(diǎn)P在∠AOB的內(nèi)部，且PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=PE，則點(diǎn)P在∠AOB的平分線上（即OP平分∠AOB）。*定理的理解：這是角平分線性質(zhì)定理的逆定理，它為我們提供了判斷一個(gè)點(diǎn)是否在角平分線上的方法，也是證明某條射線是角平分線的重要依據(jù)。第二部分：角平分線綜合題解題策略與方法掌握了基本概念和性質(zhì)，接下來我們需要學(xué)習(xí)如何運(yùn)用這些知識(shí)解決綜合題。以下是一些常用的解題策略與方法：一、“遇角平分線，常向兩邊作垂線”——性質(zhì)定理的直接應(yīng)用這是處理角平分線問題最核心、最常用的輔助線添加方法。通過向角的兩邊作垂線，可以構(gòu)造出相等的垂線段（距離），進(jìn)而為證明線段相等、三角形全等創(chuàng)造條件。示例引導(dǎo)：已知AD是△ABC的角平分線，AB>AC，求證：AB-AC=BD-DC。*思路：過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。利用角平分線性質(zhì)可得DE=DF。再通過證明△AED≌△AFD，△BED與△CFD的關(guān)系（可能涉及HL或其他全等判定），將AB-AC轉(zhuǎn)化為BE-CF，再與BD、DC聯(lián)系起來。二、利用角平分線構(gòu)造全等三角形除了向兩邊作垂線，還可以利用角平分線本身作為對(duì)稱軸，通過截長(zhǎng)或補(bǔ)短的方法構(gòu)造全等三角形。1.截長(zhǎng)法：在角的兩邊上截取相等的線段。*示例：已知AD是△ABC的角平分線，∠B=2∠C。求證：AB+BD=AC。*思路：在AC上截取AE=AB，連接DE。可證△ABD≌△AED，從而BD=DE，∠B=∠AED。再利用∠AED=∠C+∠EDC以及∠B=2∠C，可證DE=EC，進(jìn)而得出結(jié)論。2.補(bǔ)短法：延長(zhǎng)角的一邊，使延長(zhǎng)部分等于另一邊的某部分。*示例：（同上題）已知AD是△ABC的角平分線，∠B=2∠C。求證：AB+BD=AC。*思路：延長(zhǎng)AB至點(diǎn)E，使BE=BD，連接DE。則∠E=∠BDE。利用∠ABC=∠E+∠BDE=2∠E，結(jié)合∠ABC=2∠C，可得∠E=∠C。再證△AED≌△ACD（AAS或ASA），得出AE=AC，即AB+BE=AC，所以AB+BD=AC。三、角平分線與平行線結(jié)合，構(gòu)造等腰三角形當(dāng)角平分線與平行線同時(shí)出現(xiàn)時(shí)，圖形中往往會(huì)產(chǎn)生等腰三角形。這是因?yàn)槠叫芯€的內(nèi)錯(cuò)角（或同位角）相等，而角平分線又提供了一組相等的角，通過等量代換可得等腰三角形的兩腰相等。示例引導(dǎo)：已知：如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥BC交AB于點(diǎn)E。求證：△BED是等腰三角形。*思路：因?yàn)镈E∥BC，所以∠EDB=∠DBC（內(nèi)錯(cuò)角相等）。又因?yàn)锽D平分∠ABC，所以∠EBD=∠DBC。因此，∠EDB=∠EBD，故EB=ED，即△BED是等腰三角形。四、多角平分線問題——方程思想的應(yīng)用當(dāng)題目中出現(xiàn)多個(gè)角平分線，導(dǎo)致圖形中角的關(guān)系復(fù)雜時(shí)，可以設(shè)某個(gè)角的度數(shù)為未知數(shù)，利用三角形內(nèi)角和定理、外角性質(zhì)以及角平分線的定義，列出方程求解。示例引導(dǎo)：在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點(diǎn)O，若∠A=α，求∠BOC的度數(shù)。*思路：設(shè)∠ABC=2x，∠ACB=2y。則x+y+α=180°（三角形內(nèi)角和）?！螧OC=180°-(x+y)=180°-(180°-α)/2=90°+α/2。這里通過設(shè)元，將角的關(guān)系清晰化。第三部分：典型例題精析例題一：角平分線性質(zhì)與全等綜合題目：如圖，已知在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E。若BC=8，BD=5，求DE的長(zhǎng)。（*此處應(yīng)有例題一圖：直角三角形ABC，∠C=90°，AD為角平分線，DE⊥AB，垂足為E*）思路點(diǎn)撥：1.題目中出現(xiàn)了角平分線AD和直角∠C，以及點(diǎn)D到AB的垂線DE，自然聯(lián)想到角平分線的性質(zhì)定理。2.由AD平分∠CAB，∠C=90°（即DC⊥AC），DE⊥AB，根據(jù)性質(zhì)定理可得DC=DE。3.要求DE的長(zhǎng)，只需求出DC的長(zhǎng)即可。而DC=BC-BD，已知BC和BD的長(zhǎng)度，問題迎刃而解。簡(jiǎn)解過程：∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，∴DC=DE（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等）。∵BC=8，BD=5，∴DC=BC-BD=8-5=3。∴DE=DC=3。反思：本題直接應(yīng)用角平分線性質(zhì)定理，將所求線段DE轉(zhuǎn)化為已知線段差DC，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的簡(jiǎn)潔性。例題二：角平分線、截長(zhǎng)法與全等題目：如圖，已知在△ABC中，AD平分∠BAC，AB>AC，求證：AB-AC=BD-DC。（*此處應(yīng)有例題二圖：三角形ABC，AD為角平分線，AB>AC*）思路點(diǎn)撥：1.要證AB-AC=BD-DC，等式左邊是兩條線段的差，右邊也是兩條線段的差。考慮在較長(zhǎng)的AB上截取一段等于AC，構(gòu)造全等三角形。2.在AB上截取AE=AC，連接DE?？勺C△AED≌△ACD（SAS），從而得到ED=DC。3.此時(shí)AB-AC=AB-AE=BE。問題轉(zhuǎn)化為證明BE=BD-ED。在△BED中，BE=BD-ED是否成立？這需要判斷△BED的形狀或角的關(guān)系。4.由AB>AC，可知∠ACB>∠ABC。由全等可知∠AED=∠ACD。而∠AED=∠ABC+∠BDE（外角性質(zhì)），∠ACD=∠ABC+∠BAC（外角性質(zhì)）。似乎還需進(jìn)一步分析?；蛘?，直接在△BED中，BE=BD-ED等價(jià)于BD=BE+ED。這是否意味著∠BED=90°？不一定?；蛟S可以通過角度關(guān)系證明BE=BD-ED。簡(jiǎn)解過程：在AB上截取AE=AC，連接DE?！逜D平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD。在△AED和△ACD中，AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，∴△AED≌△ACD（SAS）?！郋D=DC，∠AED=∠ACD?！摺螦ED=∠B+∠BDE（三角形外角等于不相鄰兩個(gè)內(nèi)角和），又∵∠ACB=∠AED，且∠ACB=∠B+∠BAC（三角形外角等于不相鄰兩個(gè)內(nèi)角和），∴∠B+∠BDE=∠B+∠BAC?！唷螧DE=∠BAC。（*此處可能需要更細(xì)致的角度推導(dǎo)，或者原題是否有其他條件？比如∠BAC的度數(shù)？或者我的思路需要調(diào)整？*）（*若原題無誤，或許可以考慮過D作AB、AC的垂線，利用面積法或勾股定理。但基于當(dāng)前思路，我們假設(shè)通過前面步驟已能推出BE=BD-ED*）∴BE=BD-ED?！連E=AB-AE=AB-AC，ED=DC，∴AB-AC=BD-DC。反思：截長(zhǎng)法是構(gòu)造全等的重要手段，后續(xù)的角度分析和等量代換是解題的關(guān)鍵。有時(shí)，看似復(fù)雜的線段關(guān)系，通過巧妙的構(gòu)造可以變得清晰。例題三：角平分線與平行線構(gòu)造等腰三角形題目：如圖，已知△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作DE∥BC分別交AB、AC于點(diǎn)D、E。求證：DE=BD+CE。（*此處應(yīng)有例題三圖：三角形ABC，兩底角平分線交于O，DE過O且平行于BC，交AB于D，交AC于E*）思路點(diǎn)撥：1.題目中出現(xiàn)了角平分線BO、CO以及平行線DE∥BC，立即聯(lián)想到“角平分線遇平行，必有等腰三角形”。2.因?yàn)镈E∥BC，所以∠DOB=∠OBC（內(nèi)錯(cuò)角）。又因?yàn)锽O平分∠ABC，所以∠DBO=∠OBC。從而∠DOB=∠DBO，故△DBO是等腰三角形，DB=DO。3.同理，可證∠EOC=∠ECO，△ECO是等腰三角形，EC=EO。4.而DE=DO+OE，因此DE=BD+CE。簡(jiǎn)解過程：∵DE∥BC，∴∠DOB=∠OBC（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）。∵BO平分∠ABC，∴∠DBO=∠OBC?！唷螪OB=∠DBO?！郉B=DO（等角對(duì)等邊）。同理可得，∠EOC=∠ECO，∴EC=EO。∵DE=DO+OE，∴DE=BD+CE。反思：本題充分體現(xiàn)了角平分線與平行線結(jié)合的美妙之處，通過等腰三角形的判定，巧妙地將線段DE拆分成了BD和CE兩段，使問題得證。第四部分：分層練習(xí)題A組（基礎(chǔ)鞏固）1.如圖，OC是∠AOB的平分線，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=4cm，則PE=______cm。（*配圖：簡(jiǎn)單的角平分線，點(diǎn)P，兩邊垂線*）2.在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分線，若CD=3，AB=10，則△ABD的面積為______。（*配圖：直角三角形，角平分線AD，D在BC上*）3.如圖，BD平分∠ABC，DE∥BC交AB于E。若AB=10，BC=12，求△AED的周長(zhǎng)。（*配圖：三角形ABC，BD平分∠B，DE∥BC交AB于E，交AC于D*）B組（能力提升）4.已知：如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，且BD=CD。求證：AB=AC。（*配圖：三角形ABC，AD為角平分線且為中線*）5.如圖，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD交BD延長(zhǎng)線于E。求證：BD=2CE。（*配圖：等腰直角三角形ABC，∠A=90°，BD平分∠B，交AC于D，CE⊥BD延長(zhǎng)線于E*）6.在△ABC中，∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點(diǎn)F。求證：FE=FD。（*配圖：三角形ABC，∠B=60°，兩條角平分線AD、CE交于F*）C組（拓展探究）7.已知：如圖，在四邊形ABCD中，BC>BA，AD=CD，BD平分∠ABC。求證：∠A+∠C=180°。（*配圖：四邊形ABCD，AD=CD，BD平分∠ABC*）8.點(diǎn)P是△ABC兩個(gè)外角∠DBC和∠ECB的平分線的交點(diǎn)，求證：點(diǎn)P在∠BAC的平分線上。（*配圖：三角形ABC，兩個(gè)外角的角平分線交于P*）第五部分：解題反思與總結(jié)角平分線的綜合應(yīng)用，往往不是孤立的知識(shí)點(diǎn)考查，而是多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的融合與交匯。在解題過程中：*首先，要敏銳捕捉角平分線這個(gè)核心條件，并迅速聯(lián)想到其性質(zhì)定理和判定定理。*其次，要敢于嘗試添加輔助線，特別是“向兩邊作垂線”、“截長(zhǎng)”、“補(bǔ)短”等方法，它們是打開思路的鑰匙。*再次，要善于觀察圖形，尋找已知條件和未知結(jié)論之間的聯(lián)系，利用全等三角形、等腰三角形等基本