2/2《構造全等三角形的四大技法》素養(yǎng)練技法一連“公共邊”法1.如圖，AB=AC，BD=CD.（1）試說明：∠B=∠C；（2）若∠A=2∠B，試說明：∠BDC=4∠C.2.如圖，在一個風箏ABCD中，AB=AD，BC=DC，分別在AB，AD的中點E，F(xiàn)處掛兩根彩線EC，F(xiàn)C.試說明：EC=FC.技法二截長補短法3.如圖，已知AB∥CD，CE，BE分別平分∠BCD和∠CBA，點E在AD上.試說明：BC=AB+CD.4.如圖，將Rt△ABC沿斜邊翻折得到△ADC，點E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點，且∠EAF=∠DAB.試猜想DE，BF，EF之間的數(shù)量關系，并證明你的猜想.技法三中線法類型一倍長中線法5.如圖，已知CE，CB分別是△ABC，△ADC的中線，且AB=AC.試說明：CD=2CE.6.如圖，△ABC中，點E，D在BC邊上，CD=AB，∠BAD=∠BDA，點E是BD的中點.試說明：∠C=∠BAE.類型二作中線垂線法7.如圖，△ABC中，∠C=90°，過點B作BE⊥AB于B，BD⊥BC于B，且BE=BA，BD=BC，延長CB交DE于點F.試說明：EF=DF.技法四基礎三角形模型法8.如圖，已知∠BAC=90°，AB=AC，M為AC邊的中點，AD⊥BM于點E，交BC于點D，連接DM.試說明：∠AMB=∠CMD.

參考答案1.解：證明：（1）連接AD并延長至E，如圖所示.在△ABD和△ACD中，所以△ABD≌△ACD（SSS）.所以∠B=∠C.（2）因為∠BDE=∠BAD+∠B，∠CDE=∠CAD+∠C，所以∠BDC=∠BDE+∠CDE=∠BAD+∠CAD+∠B+∠C，即∠BDC=∠BAC+∠B+∠C.因為∠BAC=2∠B，∠B=∠C，所以∠BDC=4∠C.2.解：證明：如圖，連接AC.在△ABC和△ADC中，，所以△ABC≌△ADC（SSS）.所以∠EAC=∠FAC.因為E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，所以AE=AB，AF=AD.因為AB=AD，所以AE=AF.在△AEC和△AFC中，，所以△AEC≌△AFC（SAS）.所以EC=FC.3.解：證明：如圖，在BC上取一點F，使BF=BA，連接EF.因為CE，BE分別平分∠BCD和∠CBA，所以∠3=∠4，∠1=∠2.在△ABE和△FBE中，，所以△ABE≌△FBE（SAS）.所以∠A=∠5.因為AB∥CD，所以∠A+∠D=180°.又因為∠5+∠6=180°，所以∠6=∠D.在△EFC和△EDC中，，所以△EFC≌△EDC（AAS）.所以CF=CD.所以BC=BF+CF=AB+CD.4.解：DE+BF=EF.理由如下：延長CB至G，作∠5=∠1，如圖所示.因為將Rt△ABC沿斜邊翻折得到△ADC，∠EAF=∠DAB，所以AB=AD，∠ABC=∠ADE，∠2+∠3=∠1+∠4.因為∠5=∠1，所以∠2+∠3=∠4+∠5.所以∠GAF=∠EAF.在△AGB和△AED中，，所以△AGB≌△AED（ASA）.所以AG=AE，BG=DE.在△AGF和△AEF中，，所以△AGF≌△AEF(SAS).所以GF=EF.所以BG+BF=EF.所以DE+BF=EF.5.解：證明：如圖，延長CE到點F，使EF=CE，連接FB，則CF=2CE.因為CE是△ABC的中線，所以AE=BE.在△BEF和△AEC中，，所以△BEF≌△AEC（SAS）.所以∠EBF=∠A，BF=AC.因為AB=AC，所以∠ACB=∠ABC.所以∠CBD=∠A+∠ACB=∠EBF+∠ABC=∠CBF.因為CB是△ADC的中線，所以AB=BD.又因為AB=AC，AC=BF，所以BD=BF.在△CBD和△CBF中，，所以△CBD≌△CBF(SAS).所以CD=CF.所以CD=2CE.6.解：證明：如圖，延長AE至F，使EF=AE，連接DF.因為點E為BD的中點，所以BE=DE.又因為∠BEA=∠DEF，AE=FE，所以△ABE≌△FDE（SAS）.所以AB=DF，∠B=∠BDF，∠BAE=∠F.因為CD=AB，所以DF=DC.因為∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADF=∠BDA+∠BDF，∠BAD=∠BDA，∠B=∠BDF，所以∠ADC=∠ADF.又因為DF=DC，AD=AD，所以△ADF≌△ADC（SAS）.所以∠C=∠F.又因為∠BAE=∠F，所以∠C=∠BAE.7.解：證明：如圖，過點E作EG⊥BF，交BF的延長線于點G.因為BE⊥AB，∠C=90°，所以∠A+∠ABC=90°，∠ABC+∠EBG=90°.所以∠EBG=∠A.又因為BE=AB，∠G=∠C=90°，所以△EBG≌△BAC（AAS）.所以EG=BC.因為BD=BC，所以EG=BD.因為BD⊥BC，所以∠DBF=90°.又因為∠EFG=∠DFB，所以△EFG≌△DFB（AAS）.所以EF=DF.8.解：證明：作∠BAC的平分線AG交BM于點G，如圖所示.因為∠BAC=90°，AB=AC，所以∠ABC=∠ACB=45°，∠MAG=∠BAG=45°.因為AE⊥BM，所以∠MAE+∠AMB=90°.又因為∠ABM+∠AMB=90°，