初中數(shù)學幾何定理總結大全幾何學是初中數(shù)學的重要組成部分，它不僅鍛煉我們的邏輯思維能力，也為后續(xù)更復雜的數(shù)學學習奠定基礎。而幾何定理，則是打開這扇邏輯之門的鑰匙。理解并熟練運用這些定理，才能真正體會到幾何學的嚴謹與魅力。本文將系統(tǒng)梳理初中階段所學的核心幾何定理，希望能為同學們的學習提供一份清晰的指引。一、線與角的基本定理我們對幾何圖形的認識，是從最基本的點、線、角開始的。這些看似簡單的元素，卻蘊含著豐富的規(guī)律。（一）直線與線段1.兩點確定一條直線：經過兩點，有且只有一條直線。這是我們畫直線的理論依據，也是后續(xù)很多作圖和證明的基礎。2.兩點之間線段最短：連接兩點的所有連線中，線段的長度是最短的。這條性質在解決路徑最短問題時經常用到，我們也稱之為“線段公理”。3.線段中點的定義：如果一個點把一條線段分成兩條相等的線段，那么這個點叫做這條線段的中點。由此可引申出中點的性質：若點M是線段AB的中點，則AM=MB=1/2AB。（二）角1.角平分線的定義：從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成兩個相等的角的射線，叫做這個角的平分線。其性質是：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。反之，到一個角兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上。2.余角和補角的性質：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的補角相等。這兩條性質在角度的計算與等量代換中應用廣泛。3.對頂角的性質：對頂角相等。兩條直線相交，會形成兩組對頂角，它們的大小關系是確定的。（三）相交線與平行線1.垂線的性質：*在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。*連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短。這條垂線段的長度，叫做點到直線的距離。2.平行線的判定與性質：*判定定理：同位角相等，兩直線平行；內錯角相等，兩直線平行；同旁內角互補，兩直線平行。*性質定理：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補。*此外，還有平行公理及其推論：經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行；如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。二、三角形的基本定理三角形是平面幾何中最基本也最重要的封閉圖形，圍繞三角形產生的定理數(shù)量眾多，應用廣泛。（一）三角形的邊角關系1.三角形內角和定理：三角形三個內角的和等于180°。這是三角形最基本的數(shù)量關系之一，是角度計算的基石。2.三角形外角的性質：*三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和。*三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內角。3.三角形三邊關系定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊；三角形任意兩邊之差小于第三邊。這條定理用于判斷三條線段能否組成三角形，以及確定第三邊的取值范圍。（二）全等三角形1.全等三角形的定義：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。全等三角形的對應邊相等，對應角相等。這是全等三角形所有性質的根源。2.全等三角形的判定定理：*SSS（邊邊邊）：三邊對應相等的兩個三角形全等。*SAS（邊角邊）：兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等。*ASA（角邊角）：兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等。*AAS（角角邊）：兩角和其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等。*HL（斜邊、直角邊）：斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等。（僅適用于直角三角形）（三）等腰三角形與等邊三角形1.等腰三角形的性質定理：*等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角”）。*等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合（簡寫成“等腰三角形三線合一”）。2.等腰三角形的判定定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡寫成“等角對等邊”）。3.等邊三角形的性質定理：等邊三角形的三個內角都相等，并且每一個內角都等于60°。4.等邊三角形的判定定理：*三個角都相等的三角形是等邊三角形。*有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。（四）直角三角形1.直角三角形的性質定理：*直角三角形的兩個銳角互余。*在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。*直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。2.勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。如果直角三角形的兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c，那么a2+b2=c2。3.勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a、b、c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形。這是判斷一個三角形是否為直角三角形的重要依據。（五）三角形的重要線段1.三角形的中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。2.三角形的重心性質：三角形的三條中線相交于一點，這個點叫做三角形的重心。重心到頂點的距離是它到對邊中點距離的兩倍。三、四邊形的基本定理由不在同一直線上的四條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做四邊形。我們主要學習一些特殊的四邊形。（一）平行四邊形1.平行四邊形的性質定理：*平行四邊形的對邊平行且相等。*平行四邊形的對角相等。*平行四邊形的鄰角互補。*平行四邊形的對角線互相平分。2.平行四邊形的判定定理：*兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形。*兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。*一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。*兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。*對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。（二）矩形1.矩形的性質定理：*矩形具有平行四邊形的所有性質。*矩形的四個角都是直角。*矩形的對角線相等。2.矩形的判定定理：*有一個角是直角的平行四邊形是矩形。*對角線相等的平行四邊形是矩形。*有三個角是直角的四邊形是矩形。（三）菱形1.菱形的性質定理：*菱形具有平行四邊形的所有性質。*菱形的四條邊都相等。*菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角。2.菱形的判定定理：*一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。*對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。*四條邊都相等的四邊形是菱形。（四）正方形1.正方形的性質定理：正方形既是矩形，又是菱形，因此它具有矩形和菱形的所有性質。具體來說：*正方形的四個角都是直角，四條邊都相等。*正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角。2.正方形的判定定理：*有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形是正方形。*有一組鄰邊相等的矩形是正方形。*有一個角是直角的菱形是正方形。（五）梯形1.梯形的定義：一組對邊平行，另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形。兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。有一個角是直角的梯形叫做直角梯形。2.等腰梯形的性質定理：*等腰梯形同一底上的兩個角相等。*等腰梯形的兩條對角線相等。3.等腰梯形的判定定理：*同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形。*對角線相等的梯形是等腰梯形。4.梯形中位線定理：梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半。連接梯形兩腰中點的線段叫做梯形的中位線。四、圓的基本定理圓是平面上到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形，它具有高度的對稱性和完美性。（一）圓的基本概念與性質1.圓的對稱性：圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對稱軸。圓也是中心對稱圖形，圓心是它的對稱中心。2.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。*推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。3.圓心角、弧、弦的關系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等。*推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等。（二）圓周角定理1.圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。2.推論：*同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等。*半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑。*如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。（此推論可由圓周角定理推論得出，常用于判斷直角三角形）（三）點與圓、直線與圓的位置關系1.點與圓的位置關系：設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP=d。則有：點P在圓外?d>r；點P在圓上?d=r；點P在圓內?d<r。2.直線與圓的位置關系：設⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d。則有：直線l和⊙O相離?d>r；直線l和⊙O相切?d=r；直線l和⊙O相交?d<r。3.切線的性質定理：圓的切線垂直于過切點的半徑。4.切線的判定定理：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。5.切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。（四）圓與圓的位置關系（選學，部分版本教材涉及）設兩圓的半徑分別為R和r，圓心距為d。則兩圓的位置關系有：外離（d>R+r）、外切（d=R+r）、相交（R-r<d<R+r，R>r）、內切（d=R-r，R>r）、內含（d<R-r，R>r）。五、圖形的變換與相似（一）圖形的軸對稱、平移與旋轉1.軸對稱的性質：*如果兩個圖形關于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線。*軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應點所連線段的垂直平分線。2.平移的性質：*平移前后的兩個圖形全等。*對應線段平行（或共線）且相等。*對應點所連的線段平行（或共線）且相等。3.旋轉的性質：*旋轉前后的兩個圖形全等。*對應點到旋轉中心的距離相等。*對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角。（二）相似形1.相似多邊形的性質：相似多邊形的對應角相等，對應邊成比例。相似多邊形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方。2.相似三角形的判定定理：*平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構成的三角形與原三角形相似。*如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似。*如果兩個三角形的兩組對應邊的比相等，并且相應的夾角相等，那么這兩個三角形相似。*如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似。3.相似三角形的性質定理：*相似三角形的對應角相等，對應邊成比例。*相似三角形對應高的比、對應中線的比與對應角平分線的比都等于相似比。*相似三角形的周長比等于相