中學數(shù)學三角形專題復(fù)習題集三角形作為平面幾何的基石，其重要性不言而喻。從基本性質(zhì)到全等、相似的判定與性質(zhì)，再到解直角三角形，無不滲透著邏輯推理與空間想象的數(shù)學核心素養(yǎng)。本專題旨在通過系統(tǒng)梳理與針對性練習，幫助同學們鞏固基礎(chǔ)知識，提升解題能力，從容應(yīng)對各類三角形相關(guān)問題。一、三角形的基本概念與性質(zhì)（一）核心知識點回顧1.三角形的定義與構(gòu)成：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的封閉圖形。構(gòu)成要素包括三個頂點、三條邊和三個內(nèi)角。2.三角形的分類：*按角分：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形。*按邊分：不等邊三角形、等腰三角形（含等邊三角形）。3.三角形的基本性質(zhì)：*內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角的和等于180°。*外角性質(zhì)：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角。*三邊關(guān)系定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊。*穩(wěn)定性：三角形具有穩(wěn)定性，而四邊形不具有。4.三角形中的重要線段：*中線：連接三角形一個頂點和它對邊中點的線段。三角形的三條中線交于一點，稱為重心，重心到頂點的距離是它到對邊中點距離的兩倍。*高線（高）：從三角形一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足之間的線段。三條高所在直線交于一點，稱為垂心。*角平分線：三角形一個內(nèi)角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點之間的線段。三條角平分線交于一點，稱為內(nèi)心，內(nèi)心到三角形三邊的距離相等。*中位線：連接三角形兩邊中點的線段。三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半。（二）基礎(chǔ)鞏固練習選擇題1.下列長度的三條線段，能組成三角形的是（）A.1，2，3B.2，3，4C.2，3，5D.2，4，7*（思路提示：三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊。逐一驗證各選項。）*2.在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，則△ABC是（）A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形*（思路提示：設(shè)每份角度為x，利用內(nèi)角和定理列出方程求解各角度數(shù)。）*填空題3.三角形的一個外角是100°，與它不相鄰的一個內(nèi)角是45°，則另一個不相鄰的內(nèi)角是°。*（思路提示：直接運用三角形外角性質(zhì)。）*4.已知等腰三角形的兩邊長分別為5和8，則其周長為。*（思路提示：等腰三角形兩腰相等，需考慮兩種情況，并驗證是否滿足三邊關(guān)系。）*解答題5.如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，若△ABD的周長比△ACD的周長大3，AB=7，求AC的長。*（思路提示：中線將對邊平分，即BD=CD?！鰽BD周長=AB+BD+AD，△ACD周長=AC+CD+AD。兩者周長差即為AB與AC的差。）*二、全等三角形（一）核心知識點回顧1.全等三角形的定義：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。2.全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等。（對應(yīng)中線、對應(yīng)高線、對應(yīng)角平分線也相等）3.全等三角形的判定定理：*SSS（邊邊邊）：三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等。*SAS（邊角邊）：兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等。*ASA（角邊角）：兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等。*AAS（角角邊）：兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等。*HL（斜邊、直角邊）：斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等。（僅適用于直角三角形）（二）鞏固與提升練習選擇題6.下列條件中，不能判定△ABC≌△DEF的是（）A.AB=DE，BC=EF，AC=DFB.AB=DE，∠B=∠E，BC=EFC.∠A=∠D，∠B=∠E，AC=DFD.AB=DE，AC=DF，∠B=∠E*（思路提示：對照各判定定理，注意“SAS”中角必須是兩邊的夾角。）*解答題7.如圖，點B、E、C、F在同一條直線上，AB=DE，AC=DF，BE=CF。求證：∠A=∠D。*（思路提示：欲證∠A=∠D，可先證△ABC≌△DEF。已知兩邊對應(yīng)相等，BE=CF可推出BC=EF。）*8.如圖，AD與BC相交于點O，OA=OD，∠A=∠D。求證：AB=DC。*（思路提示：觀察圖形，可嘗試證明△AOB≌△DOC，已知一組邊和一組角相等，對頂角相等是常用隱含條件。）*9.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于點D，DE⊥AB于點E。若AB=6，求△DEB的周長。*（思路提示：角平分線性質(zhì)可證CD=DE?！鰽CD≌△AED（HL或AAS）可證AC=AE。所求△DEB周長可轉(zhuǎn)化為AB的長度。）*三、相似三角形（一）核心知識點回顧1.相似三角形的定義：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形。相似比為k。2.相似三角形的性質(zhì)：*對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例。*對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比、對應(yīng)角平分線的比都等于相似比。*周長的比等于相似比。*面積的比等于相似比的平方。3.相似三角形的判定定理：*預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。*AA（角角）：兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似。*SAS（邊角邊）：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似。*SSS（邊邊邊）：三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似。（二）鞏固與提升練習選擇題10.下列說法中，正確的是（）A.兩個等腰三角形一定相似B.兩個直角三角形一定相似C.兩個等邊三角形一定相似D.兩個菱形一定相似*（思路提示：根據(jù)相似圖形的定義和各圖形的性質(zhì)進行判斷。等邊三角形各角均為60°，各邊相等。）*填空題11.若△ABC∽△DEF，相似比為2:3，則它們的面積比為。*（思路提示：直接運用相似三角形面積比等于相似比的平方。）*解答題12.如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD=2，DB=3，AE=1，求EC的長。*（思路提示：由DE∥BC，根據(jù)相似三角形預(yù)備定理可判定△ADE∽△ABC，再利用對應(yīng)邊成比例求解。）*13.如圖，已知∠ACB=∠ADC=90°，AC=6，AD=2。問當AB的長為多少時，△ABC與△ACD相似？*（思路提示：兩個直角三角形相似，已有一個直角相等，需分兩種情況討論：∠B=∠ACD或∠B=∠CAD，再根據(jù)對應(yīng)邊成比例列方程求解。）*四、解直角三角形（一）核心知識點回顧1.銳角三角函數(shù)的定義：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的對邊為a，鄰邊為b，斜邊為c。*sinA=∠A的對邊/斜邊=a/c*cosA=∠A的鄰邊/斜邊=b/c*tanA=∠A的對邊/∠A的鄰邊=a/b2.特殊角的三角函數(shù)值：（30°，45°，60°）需熟記。3.解直角三角形：由直角三角形中已知的邊和角，求出未知的邊和角的過程。*兩銳角關(guān)系：∠A+∠B=90°*三邊關(guān)系：勾股定理a2+b2=c2*邊角關(guān)系：銳角三角函數(shù)4.應(yīng)用：俯角、仰角、坡角、方向角等實際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題。（二）鞏固與提升練習選擇題14.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=3/5，則cosB的值為（）A.3/5B.4/5C.3/4D.4/3*（思路提示：在直角三角形中，∠A與∠B互余，cosB=sinA。）*填空題15.tan60°的值是。*（思路提示：直接記憶特殊角三角函數(shù)值。）*解答題16.在Rt△ABC中，∠C=90°，a=3，b=4，求∠A的正弦值、余弦值和正切值。*（思路提示：先由勾股定理求出斜邊c，再根據(jù)三角函數(shù)定義計算。）*17.如圖，某建筑物BC頂部有一旗桿AB，在離建筑物底部C處10米的D點，測得旗桿頂部A的仰角為60°，旗桿底部B的仰角為45°，求旗桿AB的高度。（結(jié)果保留根號）*（思路提示：分別在Rt△ACD和Rt△BCD中，利用仰角的正切函數(shù)求出AC和BC的長，兩者之差即為AB。）*復(fù)習建議1.回歸基礎(chǔ)，夯實概念：三角形的基本性質(zhì)、全等與相似的判定及性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義是解決一切問題的根源。2.勤于思考，總結(jié)規(guī)律：對于常見的輔助線作法（如倍長中線、截長補短、作高構(gòu)造直角三角形等）、常見的全等或相似模型（如“A”型、“X”型、一線三垂直等）要善于總結(jié)歸納。3.注重數(shù)形