專(zhuān)題04相交線與平行線的常見(jiàn)模型（6種題型解讀）【考點(diǎn)題型一】三線八角模型模型介紹：三條直線相交組成八個(gè)角，去討論它們之間的關(guān)系.已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）直線AB、CD被直線EF所截，且AB與CD不平行1）同位角有4組，如：∠1與∠5、∠2與∠6、∠3與∠7、∠4與∠8；2）內(nèi)錯(cuò)角有2組，如：∠3與∠5、∠6與∠8；3）同旁?xún)?nèi)角有2組，如：∠3與∠6、∠4與∠5；4）對(duì)頂角有4組，如：∠1與∠3、∠2與∠4、∠5與∠7、∠6與∠8.直線AB、CD被直線EF所截，且AB∥CD1）同位角相等：∠1=∠5、∠2=∠6、∠3=∠7、∠4=∠8；2）內(nèi)錯(cuò)角相等：∠3=∠5、∠6=∠8；3）同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)：∠3+∠6=180°、∠4+∠5=180°；4）對(duì)頂角相等：∠1=∠3、∠2=∠4、∠5=∠7、∠6=∠8.【快速判斷同位角、內(nèi)錯(cuò)角與同旁?xún)?nèi)角】1．（22-23七年級(jí)上·河南南陽(yáng)·期末）如圖，下列判斷：①∠A與∠1是同位角；②∠A與∠B是同旁?xún)?nèi)角；③∠4與∠1是內(nèi)錯(cuò)角；④∠1與∠3是同位角．其中正確的是（

）A．①② B．①②④C．②③④ D．①②③④2．（21-22七年級(jí)下·上海楊浦·期中）如圖：與∠FDB成內(nèi)錯(cuò)角的是；與∠DFB成同旁?xún)?nèi)角的是．3．（20-21七年級(jí)上·上海楊浦·期中）如圖，共有對(duì)同位角，有對(duì)內(nèi)錯(cuò)角，有對(duì)同旁?xún)?nèi)角．4．（20-21七年級(jí)下·上海寶山·期中）如圖，直線AC和FD相交于點(diǎn)B，下列判斷：①∠GBD和∠HCE是同位角；②∠ABD和∠ACH是同位角；③∠FBC和∠ACE是內(nèi)錯(cuò)角；④∠FBC和∠HCE是內(nèi)錯(cuò)角；⑤∠GBC和∠BCE是同旁?xún)?nèi)角．其中正確的是．（填序號(hào)）【考點(diǎn)題型二】鉛筆頭模型已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）證明方法AB∥DE∠B+∠C+∠E=360°遇拐點(diǎn)做平行線（方法不唯一）AB∥DE∠B+∠M+∠N+∠E=540°a∥b∠A1+∠A2+...+∠An-1+∠An=180°×（n-1）=180°×（拐點(diǎn)數(shù)+1）5．（20-21七年級(jí)下·廣東東莞·期中）如圖，已知AB∥CD．（1）如圖1所示，∠1+∠2＝；（2）如圖2所示，∠1+∠2+∠3＝；并寫(xiě)出求解過(guò)程．（3）如圖3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝；（4）如圖4所示，試探究∠1+∠2+∠3+∠4+?+∠n＝．6．（19-20七年級(jí)下·天津?yàn)I海新·期末）如圖①所示，四邊形MNBD為一張長(zhǎng)方形紙片．如圖②所示，將長(zhǎng)方形紙片剪兩刀，剪出三個(gè)角（∠BAE、∠AEC、∠ECD），則

（1）如圖③所示，將長(zhǎng)方形紙片剪三刀，剪出四個(gè)角（∠BAE、∠AEF、∠EF、∠FCD（2）如圖④所示，將長(zhǎng)方形紙片剪四刀，剪出五個(gè)角（∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠（3）根據(jù)前面的探索規(guī)律，將本題按照上述剪法剪n刀，剪出n+1個(gè)角，那么這n+1個(gè)角的和是（度）．7．（19-20七年級(jí)下·江蘇淮安·期末）問(wèn)題情境：如圖1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求思路點(diǎn)撥：小明的思路是：如圖2，過(guò)P作PE∥AB，通過(guò)平行線性質(zhì)，可分別求出∠APE、∠CPE的度數(shù)，從而可求出∠APC的度數(shù)；小麗的思路是：如圖3，連接AC，通過(guò)平行線性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和的知識(shí)可求出∠APC的度數(shù)；小芳的思路是：如圖4，延長(zhǎng)AP交DC的延長(zhǎng)線于E，通過(guò)平行線性質(zhì)以及三角形外角的相關(guān)知識(shí)可求出∠APC的度數(shù)．問(wèn)題解決：請(qǐng)從小明、小麗、小芳的思路中任選一種思路進(jìn)行推理計(jì)算，你求得的∠APC的度數(shù)為°；問(wèn)題遷移：（1）如圖5，AD∥BC，點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．∠CPD、∠α、（2）在（1）的條件下，如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、O三點(diǎn)不重合），請(qǐng)你直接寫(xiě)出∠CPD、∠α、∠β間的數(shù)量關(guān)系．8．（20-21七年級(jí)下·浙江寧波·期中）如圖，AB//CD，定點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線AB，CD上，在平行線AB，CD之間有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，滿(mǎn)足（1）試問(wèn)：∠AEP，∠EPF，∠PFC滿(mǎn)足怎樣的數(shù)量關(guān)系？解：由于點(diǎn)P是平行線AB，CD之間一動(dòng)點(diǎn)，因此需對(duì)點(diǎn)P的位置進(jìn)行分類(lèi)討論．如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在EF的左側(cè)時(shí)，易得∠AEP，∠EPF，∠PFC滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系為∠AEP+∠PFC=∠EPF；如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在EF的右側(cè)時(shí)，寫(xiě)出∠AEP，∠EPF，∠PFC滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系_________．（2）如圖3，QE，QF分別平分∠PEB和∠PFD，且點(diǎn)P在EF左側(cè)．①若∠EPF=100°，則∠EQF的度數(shù)為_(kāi)_____；②猜想∠EPF與∠EQF的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；③如圖4，若∠BEQ與∠DFQ的角平分線交于點(diǎn)Q1，∠BEQ1與∠DFQ1的角平分線交于點(diǎn)Q2，∠BEQ2與9．（21-22七年級(jí)下·江蘇常州·期中）問(wèn)題情境：如圖①，直線AB∥CD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線AB，(1)猜想：若∠1=130°，∠2=150°，試猜想∠P=______°；(2)探究：在圖①中探究∠1，∠2，∠P之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)拓展：將圖①變?yōu)閳D②，若∠1+∠2=325°，∠EPG=75°，求∠PGF的度數(shù)．【考點(diǎn)題型三】鋸齒型模型已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）證明方法AB∥DE∠B+∠E=∠C遇拐點(diǎn)做平行線（方法不唯一）AB∥DE∠B+∠M+∠E=∠C+∠Na∥b所有朝左角之和等于所有朝右角的和10．（22-23七年級(jí)下·山東聊城·階段練習(xí)）如圖，已知直線l1∥l2，l3、l4和l1、l2分別交于點(diǎn)A、B、C、D，點(diǎn)P在直線l3或l4上且不與點(diǎn)A、B、

(1)若點(diǎn)P在圖（1）位置時(shí)，求證：∠3=∠1+∠2；(2)若點(diǎn)P在圖（2）位置時(shí)，寫(xiě)出∠1、∠2、∠3之間的關(guān)系并給予證明．11．（19-20七年級(jí)下·浙江紹興·期末）問(wèn)題情境：如圖1，已知AB∥CD，∠APC=108°．求∠PAB+∠PCD的度數(shù)．

經(jīng)過(guò)思考，小敏的思路是：如圖2，過(guò)P作PE∥AB，根據(jù)平行線有關(guān)性質(zhì)，可得∠PAB+∠PCD=360°?∠APC=252°．問(wèn)題遷移：如圖3，AD∥BC，點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動(dòng)，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．(1)當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠CPD、∠α、∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、O三點(diǎn)不重合），請(qǐng)你直接寫(xiě)出∠CPD、∠α、∠β之間的數(shù)量關(guān)系．(3)問(wèn)題拓展：如圖4，MA1∥NAn，12．（2023七年級(jí)下·江蘇·專(zhuān)題練習(xí)）已知AB∥CD，連接A，(1)如圖1，∠CAB與∠ACD的平分線交于點(diǎn)E，則∠AEC等于度；(2)如圖2，點(diǎn)M在射線AB反向延長(zhǎng)線上，點(diǎn)N在射線CD上．∠AMN與∠ACN的平分線交于點(diǎn)E．若∠AMN=45°，∠ACN=70°，求(3)如圖3，圖4，M，N分別為射線AB，射線CD上的點(diǎn)，∠AMN與∠ACN的平分線交于點(diǎn)E．設(shè)∠AMN=α，∠ACN=βα≠β13．（20-21七年級(jí)下·四川成都·期中）已知AB∥CD，∠ABE的角分線與∠CDE的角分線相交于點(diǎn)F．（1）如圖1，若BM、DM分別是∠ABF和∠CDF的角平分線，且∠BED＝100°，求∠M的度數(shù)；（2）如圖2，若∠ABM＝13∠ABF，∠CDM＝13∠CDF，∠BED＝α°，求∠（3）若∠ABM＝1n∠ABF，∠CDM＝1n∠CDF，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠M與∠14．（21-22七年級(jí)下·廣東東莞·期中）閱讀下面內(nèi)容，并解答問(wèn)題．已知：如圖1，AB∥CD，直線EF分別交AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)．∠BEF的平分線與∠DFE的平分線交于點(diǎn)(1)求證：EG⊥FG；(2)填空，并從下列①、②兩題中任選一題說(shuō)明理由．我選擇題．①在圖1的基礎(chǔ)上，分別作∠BEG的平分線與∠DFG的平分線交于點(diǎn)M，得到圖2，則∠EMF的度數(shù)為．②如圖3，AB∥CD，直線EF分別交AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)．點(diǎn)O在直線AB，CD之間，且在直線EF右側(cè)，∠BEO的平分線與∠DFO的平分線交于點(diǎn)P，則∠EOF與∠EPF滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系為【考點(diǎn)題型四】翹腳模型已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）AB∥DE∠1=∠2+∠3AB∥DE∠1+∠3-∠2=180°15．（20-21七年級(jí)下·湖南株洲·期末）①如圖1，AB∥CD，則∠A+∠E+∠C=360°；②如圖2，AB∥CD，則∠P=∠A?∠C；③如圖3，AB∥CD，則∠E=∠A+∠1；④如圖4，直線AB∥CD∥EF，點(diǎn)O在直線EF上，則∠α?∠β+∠γ=180°．以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)16．（20-21七年級(jí)下·廣東東莞·期中）（1）如圖（1）AB∥CD，猜想∠BPD與∠B、∠D的關(guān)系，說(shuō)出理由．（2）觀察圖（2），已知AB∥CD，猜想圖中的∠BPD與∠B、∠D的關(guān)系，并說(shuō)明理由．（3）觀察圖（3）和（4），已知AB∥CD，猜想圖中的∠BPD與∠B、∠D的關(guān)系，不需要說(shuō)明理由．

17．（20-21七年級(jí)下·浙江·期末）已知AM//CN，點(diǎn)B為平面內(nèi)一點(diǎn)，AB⊥BC于B．（1）如圖1，點(diǎn)B在兩條平行線外，則∠A與∠C之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____；（2）點(diǎn)B在兩條平行線之間，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AM于點(diǎn)D．①如圖2，說(shuō)明∠ABD=∠C成立的理由；②如圖3，BF平分∠DBC交DM于點(diǎn)F,BE平分∠ABD交DM于點(diǎn)E．若∠FCB+∠NCF=180°,∠BFC=3∠DBE，求∠EBC的度數(shù)．18．（18-19七年級(jí)下·廣東中山·期中）（1）如圖，AB//CD，CF平分∠DCE，若∠DCF=30°，∠E=20°，求∠ABE的度數(shù)；（2）如圖，AB//CD，∠EBF=2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍與∠E的補(bǔ)角的和為190°，求∠ABE的度數(shù)．（3）如圖，P為（2）中射線BE上一點(diǎn)，G是CD上任一點(diǎn)，PQ平分∠BPG，GN//PQ，GM平分∠DGP，若∠B＝30°，求∠MGN的度數(shù)．【考點(diǎn)題型五】骨折模型【解題方法】遇拐點(diǎn)做平行線19．（22-23七年級(jí)下·全國(guó)·假期作業(yè)）如圖，已知AB∥DE，∠B=20°，∠D=130°，那么A．60° B．70° C．80° D．90°20．（15-16七年級(jí)·浙江杭州·期中）如圖所示，若AB∥EF，用含α、β、γ的式子表示x，應(yīng)為（

）A．α+β+γ B．β+γ?α C．180°?α?γ+β D．180°+α+β?γ21．（21-22七年級(jí)下·重慶銅梁·期中）如圖，已知AB∥DE，且∠C=110°，則∠1與∠2的數(shù)量關(guān)系為22．（21-22七年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·期中）已知直線AB∥CD，P為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接PA、

(1)如圖1，已知∠A=50°，∠D=150°，求∠APD的度數(shù)；(2)如圖2，判斷∠PAB、∠CDP、∠APD之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程．(3)如圖3，在（2）的條件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+12∠PAB=∠APD23．（19-20七年級(jí)下·北京西城·階段練習(xí)）請(qǐng)閱讀小明同學(xué)在學(xué)習(xí)平行線這章知識(shí)點(diǎn)時(shí)的一段筆記，然后解決問(wèn)題．小明：老師說(shuō)在解決有關(guān)平行線的問(wèn)題時(shí)，如果無(wú)法直接得到角的關(guān)系，就需要借助輔助線來(lái)幫助解答，今天老師介紹了一個(gè)“美味”的模型“豬蹄模型”．即已知：如圖1，AB∥CD，E為AB、CD之間一點(diǎn)，連接AE，CE得到求證：∠AEC=∠A+∠C小明筆記上寫(xiě)出的證明過(guò)程如下:證明：過(guò)點(diǎn)E作EF∵∠1=∠A∵AB∥CD∴EF∴∠2=∠C∴∠AEC=∠1+∠2∴∠AEC=∠A+∠C請(qǐng)你利用“豬蹄模型”得到的結(jié)論或解題方法，完成下面的兩個(gè)問(wèn)題．(1)如圖，若AB∥CD，∠E=60(2)如圖，AB∥CD，BE平分∠ABG，CF平分∠DCG，∠G=∠H+2724．（16-17七年級(jí)下·湖北武漢·期中）如圖1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°；(1)若∠E＝60°，則∠F＝；(2)請(qǐng)?zhí)剿鳌螮與∠F之間滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系？說(shuō)明理由；(3)如圖2，已知EP平分∠BEF，F(xiàn)G平分∠EFD，反向延長(zhǎng)FG交EP于點(diǎn)P，求∠P的度數(shù)．【考點(diǎn)題型六】三角板拼接模型【解題方法】通過(guò)一副三角板我們能拼出以下特殊角，如：60°、75°、90°，依據(jù)平行線的性質(zhì)，我們可以得到同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角之間的關(guān)系，從而求出對(duì)應(yīng)角度數(shù)..25．（22-23七年級(jí)下·云南昆明·期末）直角三角板ABC與直角三角板DEF如圖擺放，其中∠BAC=∠EDF=90°，∠E=45°，∠C=30°，AC與DE相交于點(diǎn)M，若BC∥EF，則A．45° B．55° C．65° D．75°26．（22-23七年級(jí)下·遼寧沈陽(yáng)·期中）如圖，將一副三角板按如圖放置，則下列結(jié)論：①∠1=∠2=∠3；②∠CAD與∠2互為補(bǔ)角；③若∠2=45°，則BC∥AD；④∠1?∠4=15°．其中一定正確的序號(hào)是（

）

A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．②④27．（22-23七年級(jí)下·四川成都·期中）我們知道，角可以看成是由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成的．如圖1，∠AOA'可以看作將OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)如圖2，P，Q是直線l上不同的兩點(diǎn)，將直線l繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)70°得到直線l1，再將直線l1繞點(diǎn)Q順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a°(0<α<180)得到直線l2，要使l1∥一副三角板(∠C=∠F=90°，∠A=45°，∠D=60°)擺放位置如圖3所示，BC∥DF，將三角板DEF繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)β°(0<β<180)，當(dāng)DE∥AB時(shí)，則28．（22-23七年級(jí)下·浙江溫州·階段練習(xí)）將一副直角三角板按如圖①方式擺放在直線MN上（直角三角板ABC和直角三角板EDC，∠EDC=90°，∠DEC=60°，∠DCE=30°，∠ABC=90°，∠BAC=∠BCA=45°），保持三角板EDC不動(dòng)，將三角板ABC繞點(diǎn)C以每秒5°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒，當(dāng)AC與射線CN重合時(shí)停止旋轉(zhuǎn)．(1)如圖②，當(dāng)AC為∠DCE的平分線時(shí)，t=____________；(2)當(dāng)t=18時(shí)，求∠BCD的度數(shù)；(3)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)三角板ABC的AB邊平行于三角板EDC的某一邊時(shí)（不包含重合的情形），直接寫(xiě)出t的值．29．（22-23七年級(jí)下·河南南陽(yáng)·期末）有一副直角三角板如圖①放置(其中∠D=45°，∠C=30°)，邊PA、PB在直線MN上．

(1)∠CPD的度數(shù)為；(2)如圖②，三角板PBD保持不動(dòng)，三角板PAC繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為每秒10°，當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)到一周時(shí)三角板PAC停止轉(zhuǎn)動(dòng)，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)PC∥DB時(shí)，求旋轉(zhuǎn)的時(shí)間；(3)如圖③，在圖①的基礎(chǔ)上，三角板PAC繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為每秒3°；同時(shí)三角板PBD也繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為每秒2°，當(dāng)PC與PM重合時(shí)，兩個(gè)三角板都停止轉(zhuǎn)動(dòng)．設(shè)三角板PAC旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為t(秒)，則∠CPD的度數(shù)為(用含t的代數(shù)式表示)．30．（22-23七年級(jí)下·四川宜賓·期末）如圖，兩個(gè)形狀、大小完全相同的含有30°、60°的三角板如圖放置，PA、PB與直線MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．

(1)如圖①，∠DPC=度；(2)如圖②，三角板BPD不動(dòng)，三角板PAC從圖示位置開(kāi)始繞點(diǎn)P按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)PC∥BD時(shí)，旋轉(zhuǎn)角為多少度？(3)如圖③，若三角板PAC的邊PA從PN處開(kāi)始繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速6°/秒，同時(shí)三角板PBD的邊PB從PM處開(kāi)始繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速4°/秒(PC轉(zhuǎn)到與PM重合時(shí)，兩三角板都停止轉(zhuǎn)動(dòng))．問(wèn)：兩個(gè)三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，∠CPD∠BPN專(zhuān)題04相交線與平行線的常見(jiàn)模型（6種題型解讀）【考點(diǎn)題型一】三線八角模型模型介紹：三條直線相交組成八個(gè)角，去討論它們之間的關(guān)系.已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）直線AB、CD被直線EF所截，且AB與CD不平行1）同位角有4組，如：∠1與∠5、∠2與∠6、∠3與∠7、∠4與∠8；2）內(nèi)錯(cuò)角有2組，如：∠3與∠5、∠6與∠8；3）同旁?xún)?nèi)角有2組，如：∠3與∠6、∠4與∠5；4）對(duì)頂角有4組，如：∠1與∠3、∠2與∠4、∠5與∠7、∠6與∠8.直線AB、CD被直線EF所截，且AB∥CD1）同位角相等：∠1=∠5、∠2=∠6、∠3=∠7、∠4=∠8；2）內(nèi)錯(cuò)角相等：∠3=∠5、∠6=∠8；3）同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)：∠3+∠6=180°、∠4+∠5=180°；4）對(duì)頂角相等：∠1=∠3、∠2=∠4、∠5=∠7、∠6=∠8.【快速判斷同位角、內(nèi)錯(cuò)角與同旁?xún)?nèi)角】1．（22-23七年級(jí)上·河南南陽(yáng)·期末）如圖，下列判斷：①∠A與∠1是同位角；②∠A與∠B是同旁?xún)?nèi)角；③∠4與∠1是內(nèi)錯(cuò)角；④∠1與∠3是同位角．其中正確的是（

）A．①② B．①②④C．②③④ D．①②③④【答案】A【分析】根據(jù)同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角的定義，即兩條直線被第三條直線所截，在截線的同旁，被截兩直線的同一方的角，這樣的兩個(gè)角稱(chēng)為同位角；兩條直線被第三條直線所截，兩個(gè)角都在被截兩條直線之間，并且在第三條直線的兩側(cè)，這樣的一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角；兩條直線被第三條直線所截，兩個(gè)角都在被截兩條直線之間，并且在第三條直線的同側(cè)，這樣的一對(duì)角叫做同旁?xún)?nèi)角，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：①由同位角的概念得出：∠A與∠1是同位角，正確；②由同旁?xún)?nèi)角的概念得出：∠A與∠B是同旁?xún)?nèi)角，正確；③由內(nèi)錯(cuò)角的概念得出：∠4與∠1不是內(nèi)錯(cuò)角，錯(cuò)誤；④由內(nèi)錯(cuò)角的概念得出：∠1與∠3是內(nèi)錯(cuò)角，錯(cuò)誤．故正確的有2個(gè)，是①②，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角的定義，理解和掌握同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角的意義是正確判斷的前提．2．（21-22七年級(jí)下·上海楊浦·期中）如圖：與∠FDB成內(nèi)錯(cuò)角的是；與∠DFB成同旁?xún)?nèi)角的是．【答案】∠EFD、∠AFD和∠CBD∠DBF、∠BDF、∠CBF和∠CDF【分析】準(zhǔn)確識(shí)別內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角的關(guān)鍵，是弄清哪兩條直線被哪一條線所截．也就是說(shuō)，在辨別這些角之前，要弄清哪一條直線是截線，哪兩條直線是被截線．【詳解】解：如圖，與∠FDB成內(nèi)錯(cuò)角的是∠EFD、∠AFD和∠CBD，與∠DFB成同旁?xún)?nèi)角的是：∠DBF、∠BDF、∠CBF和∠CDF．故答案分別是：∠EFD、∠AFD和∠CBD，∠DBF、∠BDF、∠CBF和∠CDF．【點(diǎn)睛】本題考查了同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角．在復(fù)雜的圖形中識(shí)別同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角時(shí)，應(yīng)當(dāng)沿著角的邊將圖形補(bǔ)全，或者把多余的線暫時(shí)略去，找到三線八角的基本圖形，進(jìn)而確定這兩個(gè)角的位置關(guān)系．3．（20-21七年級(jí)上·上海楊浦·期中）如圖，共有對(duì)同位角，有對(duì)內(nèi)錯(cuò)角，有對(duì)同旁?xún)?nèi)角．【答案】201212【分析】利用同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角定義進(jìn)行解答即可．【詳解】解：同位角：∠AEO和∠CGE，∠OEF和∠EGH，∠OFB和∠OHD，∠OFE和∠OHG，∠IGH和∠IEF，∠AEI和∠CGI，∠AFJ和∠CHJ，∠DHJ和∠JFB，∠AEO和∠AFO，∠OEB和∠OFB，∠AEG和∠AFH，∠GEB和∠HFB，∠EGH和∠OHD，∠OGC和∠OHC，∠O與∠EFH，∠O與∠GEF，∠O和∠IGH，∠O和∠GHJ，∠CGI和∠CHJ，∠HGI和∠DHJ，共20對(duì)；內(nèi)錯(cuò)角：∠O和∠OEA，∠O和∠OFB，∠O和∠OGC，∠O和∠OHD，∠AEG和∠EGH，∠BEG和∠EGC，∠BFH和∠FHC，∠AFH和∠FHD，∠OEF和∠EFH，∠GEF和∠OFE，∠OGH和∠GHJ，∠OHG和∠IGH，共12對(duì)；同旁?xún)?nèi)角：∠OEF和∠O，∠OFE和∠O，∠O和∠OGH，∠O和∠OHC，∠OEF和∠OFE，∠OGH和∠OHG，∠GEF和∠EFH，∠IGH和∠GHJ，∠AEG和∠CGE，∠BFH和∠FHD，∠FEG和∠EGH，∠EFH和∠GHF，共12對(duì)，故答案為：20；12；12．【點(diǎn)睛】此題主要考查了同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角，關(guān)鍵是掌握同位角的邊構(gòu)成“F”形，內(nèi)錯(cuò)角的邊構(gòu)成“Z”形，同旁?xún)?nèi)角的邊構(gòu)成“U”形．4．（20-21七年級(jí)下·上海寶山·期中）如圖，直線AC和FD相交于點(diǎn)B，下列判斷：①∠GBD和∠HCE是同位角；②∠ABD和∠ACH是同位角；③∠FBC和∠ACE是內(nèi)錯(cuò)角；④∠FBC和∠HCE是內(nèi)錯(cuò)角；⑤∠GBC和∠BCE是同旁?xún)?nèi)角．其中正確的是．（填序號(hào)）【答案】②③⑤【分析】根據(jù)同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角的定義判斷即可.【詳解】①中∠GBD和∠HCE沒(méi)有任何關(guān)系，故①錯(cuò)；②中∠ABD和∠ACH是直線FD與直線CH被直線AC所截形成的同位角，故②對(duì)；③中∠FBC和∠ACE是直線FD與直線CE被直線AC所截形成的內(nèi)錯(cuò)角，故③對(duì)；④中∠FBC和∠HCE沒(méi)有任何關(guān)系，故④錯(cuò)；⑤中∠GBC和∠BCE是直線BG與直線CE被直線AC所截形成的同旁?xún)?nèi)角，故⑤對(duì)；綜上正確的有：②③⑤.【點(diǎn)睛】本題主要考查同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角的定義，解題的關(guān)鍵是能夠熟練地掌握同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角的定義即可.【考點(diǎn)題型二】鉛筆頭模型已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）證明方法AB∥DE∠B+∠C+∠E=360°遇拐點(diǎn)做平行線（方法不唯一）AB∥DE∠B+∠M+∠N+∠E=540°a∥b∠A1+∠A2+...+∠An-1+∠An=180°×（n-1）=180°×（拐點(diǎn)數(shù)+1）5．（20-21七年級(jí)下·廣東東莞·期中）如圖，已知AB∥CD．（1）如圖1所示，∠1+∠2＝；（2）如圖2所示，∠1+∠2+∠3＝；并寫(xiě)出求解過(guò)程．（3）如圖3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝；（4）如圖4所示，試探究∠1+∠2+∠3+∠4+?+∠n＝．【答案】（1）180°；（2）360°；（3）540°；（4）（n-1）×180°【分析】（1）由兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，可得答案；（2）過(guò)點(diǎn)E作AB的平行線，轉(zhuǎn)化成兩個(gè)圖1，同理可得答案；（3）過(guò)點(diǎn)E，點(diǎn)F分別作AB的平行線，轉(zhuǎn)化成3個(gè)圖1，可得答案；（4）由（2）（3）類(lèi)比可得答案．【詳解】解：（1）如圖1，∵AB∥CD，∴∠1+∠2=180°（兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)）．故答案為：180°；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)E作AB的平行線EF，∵AB∥CD，∴AB∥EF，CD∥EF，∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°，∴∠1+∠2+∠3=360°；（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)E，點(diǎn)F分別作AB的平行線，類(lèi)比（2）可知∠1+∠2+∠3+∠4=180°×3=540°，故答案為：540°；（4）如圖4由（2）和（3）的解法可知∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=（n-1）×180°，故答案為：（n-1）×180°．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)．注意掌握輔助線的作法是解此題的關(guān)鍵．6．（19-20七年級(jí)下·天津?yàn)I海新·期末）如圖①所示，四邊形MNBD為一張長(zhǎng)方形紙片．如圖②所示，將長(zhǎng)方形紙片剪兩刀，剪出三個(gè)角（∠BAE、∠AEC、∠ECD），則

（1）如圖③所示，將長(zhǎng)方形紙片剪三刀，剪出四個(gè)角（∠BAE、∠AEF、∠EF、∠FCD（2）如圖④所示，將長(zhǎng)方形紙片剪四刀，剪出五個(gè)角（∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠（3）根據(jù)前面的探索規(guī)律，將本題按照上述剪法剪n刀，剪出n+1個(gè)角，那么這n+1個(gè)角的和是（度）．【答案】360540720180n【分析】過(guò)點(diǎn)E作EH∥AB，再根據(jù)兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)即可得到三個(gè)角的和等于180°的（1）分別過(guò)E、F分別作AB的平行線，根據(jù)兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)即可得到四個(gè)角的和等于180°的三倍；（2）分別過(guò)E、F、G分別作AB的平行線，根據(jù)兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)即可得到四個(gè)角的和等于180°的四倍；（3）根據(jù)前三問(wèn)個(gè)的剪法，剪n刀，剪出n+1個(gè)角，那么這n+1個(gè)角的和是180n度．【詳解】過(guò)E作EH∥∵原四邊形是長(zhǎng)方形，∴AB∥又∵EH∥∴CD∥∵EH∥∴∠BAE+∵CD∥∴∠2+∴∠BAE+又∵∠1+∴∠BAE+

（1）分別過(guò)E、F分別作AB的平行線，如圖③所示，

用上面的方法可得∠BAE+（2）分別過(guò)E、F、G分別作AB的平行線，如圖④所示，

用上面的方法可得∠BAE+（3）由此可得一般規(guī)律：剪n刀，剪出n+1個(gè)角，那么這n+1個(gè)角的和是180n度．故答案為：360；540；720；180n．【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和，作平行線并利用兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)是解本題的關(guān)鍵，總結(jié)規(guī)律求解是本題的難點(diǎn)．7．（19-20七年級(jí)下·江蘇淮安·期末）問(wèn)題情境：如圖1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求思路點(diǎn)撥：小明的思路是：如圖2，過(guò)P作PE∥AB，通過(guò)平行線性質(zhì)，可分別求出∠APE、∠CPE的度數(shù)，從而可求出∠APC的度數(shù)；小麗的思路是：如圖3，連接AC，通過(guò)平行線性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和的知識(shí)可求出∠APC的度數(shù)；小芳的思路是：如圖4，延長(zhǎng)AP交DC的延長(zhǎng)線于E，通過(guò)平行線性質(zhì)以及三角形外角的相關(guān)知識(shí)可求出∠APC的度數(shù)．問(wèn)題解決：請(qǐng)從小明、小麗、小芳的思路中任選一種思路進(jìn)行推理計(jì)算，你求得的∠APC的度數(shù)為°；問(wèn)題遷移：（1）如圖5，AD∥BC，點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．∠CPD、∠α、（2）在（1）的條件下，如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、O三點(diǎn)不重合），請(qǐng)你直接寫(xiě)出∠CPD、∠α、∠β間的數(shù)量關(guān)系．【答案】110；（1）∠CPD=∠α+∠β，理由見(jiàn)解析；（2）∠CPD=∠β?∠α或∠CPD=∠a?∠β，理由見(jiàn)解析【分析】小明的思路是：過(guò)P作PE∥AB，構(gòu)造同旁?xún)?nèi)角，利用平行線性質(zhì)，可得∠APC=110°．（1）過(guò)P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥（2）畫(huà)出圖形（分兩種情況：①點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線上，②點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上），根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案．【詳解】解：小明的思路：如圖2，過(guò)P作PE∥AB，∵AB∥∴PE∥AB∥CD，∴∠APE=180°?∠A=50°，∠CPE=180°?∠C=60°，∴∠APC=50°+60°=110°，故答案為：110；（1）∠CPD=∠α+∠β，理由如下：如圖5，過(guò)P作PE∥AD交CD于∵AD∥∴AD∥∴∠a=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠a+∠β；（2）當(dāng)P在BA延長(zhǎng)線時(shí)，∠CPD=∠β?∠α；理由：如圖6，過(guò)P作PE∥AD交CD于∵AD∥∴AD∥∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠CPE?∠DPE=∠β?∠α；當(dāng)P在BO之間時(shí)，∠CPD=∠a?∠β．理由：如圖7，過(guò)P作PE∥AD交CD于∵AD∥∴AD∥∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠DPE?∠CPE=∠α?∠β．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，平行線的判定和性質(zhì)，主要考查學(xué)生的推理能力，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角以及同旁?xún)?nèi)角．8．（20-21七年級(jí)下·浙江寧波·期中）如圖，AB//CD，定點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線AB，CD上，在平行線AB，CD之間有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，滿(mǎn)足（1）試問(wèn)：∠AEP，∠EPF，∠PFC滿(mǎn)足怎樣的數(shù)量關(guān)系？解：由于點(diǎn)P是平行線AB，CD之間一動(dòng)點(diǎn)，因此需對(duì)點(diǎn)P的位置進(jìn)行分類(lèi)討論．如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在EF的左側(cè)時(shí)，易得∠AEP，∠EPF，∠PFC滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系為∠AEP+∠PFC=∠EPF；如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在EF的右側(cè)時(shí)，寫(xiě)出∠AEP，∠EPF，∠PFC滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系_________．（2）如圖3，QE，QF分別平分∠PEB和∠PFD，且點(diǎn)P在EF左側(cè)．①若∠EPF=100°，則∠EQF的度數(shù)為_(kāi)_____；②猜想∠EPF與∠EQF的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；③如圖4，若∠BEQ與∠DFQ的角平分線交于點(diǎn)Q1，∠BEQ1與∠DFQ1的角平分線交于點(diǎn)Q2，∠BEQ2與【答案】（1）∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°；（2）①130°；②∠EPF+2∠EQF=360°，見(jiàn)解析；③∠EPF+22021∠EQ2020F＝360°【分析】（1）過(guò)點(diǎn)P作PH//AB，利用平行線的性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論結(jié)合角平分線的定義，平角的定義，運(yùn)用整體思想即可求解．【詳解】解：（1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在EF的右側(cè)時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PM//AB，則PM//CD，∴∠AEP+∠EPM＝180°，∠PFC+∠MPF＝180°，∴∠AEP+∠EPM+∠PFC+∠MPF＝360°，即：∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°；故答案為：∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°；（2）①由（1）得：∠DFQ+∠BEQ＝∠EQF，∠PEA+∠PFC＝∠EPF，∵∠EPF＝100°，∴∠PEA+∠PFC＝100°，∵QE，QF分別平分∠PEB和∠PFD，∴∠DFP＝2∠DFQ，∠BEP＝2∠BEQ，∵∠PFC+∠DFP＝180°，∠PEA+∠BEP＝180°，∴∠PFC+2∠DFQ＝180°，∠PEA+2∠BEQ＝180°，∴∠PFC+2∠DFQ＋∠PEA+2∠BEQ＝360°，∴100°+2∠DFQ＋2∠BEQ＝360°，∴∠DFQ+∠BEQ＝130°，∴∠EQF＝∠DFQ+∠BEQ＝130°，故答案為：130°；②∠EPF+2∠EQF＝360°，理由如下：∵QE，QF分別平分∠PEB和∠PFD，∴∠DFP＝2∠DFQ，∠BEP＝2∠BEQ，∵∠PFC+∠DFP＝180°，∠PEA+∠BEP＝180°，∴∠PFC+2∠DFQ＝180°，∠PEA+2∠BEQ＝180°，∴∠PFC+2∠DFQ＋∠PEA+2∠BEQ＝360°，∴∠PFC＋∠PEA+2(∠DFQ+∠BEQ)＝360°，∵由（1）得：∠DFQ+∠BEQ＝∠EQF，∠PEA+∠PFC＝∠EPF，∴∠EPF+2∠EQF＝360°；③∵Q1E，Q1F分別平分∠QEB和∠QFD，∴∠DFP＝2∠DFQ＝22∠DFQ1，∠BEP＝2∠BEQ＝22∠BEQ1，∵∠PFC+∠DFP＝180°，∠PEA+∠BEP＝180°，∴∠PFC+22∠DFQ1＝180°，∠PEA+22∠BEQ1＝180°，∴∠PFC+22∠DFQ1＋∠PEA+22∠BEQ1＝360°，∴∠PFC＋∠PEA+22(∠DFQ1+∠BEQ1)＝360°，∵由（1）得：∠DFQ1+∠BEQ1＝∠EQ1F，∠PEA+∠PFC＝∠EPF，∴∠EPF+22∠EQ1F＝360°；同理可得：∠EPF+23∠EQ2F＝360°，∠EPF+24∠EQ3F＝360°，……∴∠EPF+22021∠EQ2020F＝360°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，平行公理及推論，角平分線的定義等知識(shí)點(diǎn)，作輔助線后能求出各個(gè)角的度數(shù)，利用整體思想解決第（2）問(wèn)是解此題的關(guān)鍵．9．（21-22七年級(jí)下·江蘇常州·期中）問(wèn)題情境：如圖①，直線AB∥CD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線AB，(1)猜想：若∠1=130°，∠2=150°，試猜想∠P=______°；(2)探究：在圖①中探究∠1，∠2，∠P之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)拓展：將圖①變?yōu)閳D②，若∠1+∠2=325°，∠EPG=75°，求∠PGF的度數(shù)．【答案】(1)80°(2)∠P=360°?∠1?∠2；證明見(jiàn)詳解(3)140°【分析】（1）過(guò)點(diǎn)P作MN∥（2）利用平行線的性質(zhì)求位置角的數(shù)量關(guān)系，就可以解決此問(wèn)；（3）分別過(guò)點(diǎn)P、點(diǎn)G作MN∥AB、【詳解】（1）解：如圖過(guò)點(diǎn)P作MN∥∵AB∥∴AB∥∴∠1+∠EPN=180°，∠2+∠FPN=180°．∵∠1=130°，∠2=150°，∴∠1+∠2+∠EPN+∠FPN=360°∴∠EPN+FPN=360°?130°?150°=80°．∵∠P=∠EPN+∠FPN，∴∠P=80°．故答案為：80°；（2）解：∠P=360°?∠1?∠2，理由如下：如圖過(guò)點(diǎn)P作MN∥∵AB∥∴AB∥∴∠1+∠EPN=180°，∠2+∠FPN=180°．∴∠1+∠2+∠EPN+∠FPN=360°∵∠EPN+∠FPN=∠P，∠P=360°?∠1?∠2．（3）如圖分別過(guò)點(diǎn)P、點(diǎn)G作MN∥AB∵AB∥∴AB∥∴∠1+∠EPN=180°，∠NPG+∠PGR=180°，∠RGF+∠2=180°．∴∠1+∠EPN+∠NPG+∠PGR+RGF+∠2=540°∵∠EPG=∠EPN+∠NPG=75°，∠PGR+∠RGF=∠PGF，∠1+∠2=325°，∴∠PGF+∠1+∠2+∠EPG=540°∴∠PGF=540°?325°?75°=140°故答案為：140°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)定理，準(zhǔn)確的作出輔助線和正確的計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)題型三】鋸齒型模型已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）證明方法AB∥DE∠B+∠E=∠C遇拐點(diǎn)做平行線（方法不唯一）AB∥DE∠B+∠M+∠E=∠C+∠Na∥b所有朝左角之和等于所有朝右角的和10．（22-23七年級(jí)下·山東聊城·階段練習(xí)）如圖，已知直線l1∥l2，l3、l4和l1、l2分別交于點(diǎn)A、B、C、D，點(diǎn)P在直線l3或l4上且不與點(diǎn)A、B、

(1)若點(diǎn)P在圖（1）位置時(shí)，求證：∠3=∠1+∠2；(2)若點(diǎn)P在圖（2）位置時(shí)，寫(xiě)出∠1、∠2、∠3之間的關(guān)系并給予證明．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)∠3+∠1+∠2=360°，證明見(jiàn)解析【分析】此題兩個(gè)小題的解題思路是一致的，過(guò)P作直線l1、l2的平行線，利用平行線的性質(zhì)得到和∠1、∠2相等的角，然后結(jié)合這些等角和∠3的位置關(guān)系，來(lái)得出∠1、∠2、【詳解】（1）過(guò)P作PQ∥l

∵l1∴PQ∥l由兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，可得：∠1=∠QPE、∠2=∠QPF；∵∠3=∠QPE+∠QPF，∴∠3=∠1+∠2．（2）關(guān)系：∠3+∠1+∠2=360°．過(guò)P作PQ∥l

∵l1∴PQ∥l同（1）可證得：∠3=∠CEP+∠DFP；∵∠CEP+∠1=180°，∴∠CEP+∠DFP+∠1+∠2=360°，即∠3+∠1+∠2=360°．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，能夠正確多出輔助線是解題關(guān)鍵．11．（19-20七年級(jí)下·浙江紹興·期末）問(wèn)題情境：如圖1，已知AB∥CD，∠APC=108°．求∠PAB+∠PCD的度數(shù)．

經(jīng)過(guò)思考，小敏的思路是：如圖2，過(guò)P作PE∥AB，根據(jù)平行線有關(guān)性質(zhì)，可得∠PAB+∠PCD=360°?∠APC=252°．問(wèn)題遷移：如圖3，AD∥BC，點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動(dòng)，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．(1)當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠CPD、∠α、∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、O三點(diǎn)不重合），請(qǐng)你直接寫(xiě)出∠CPD、∠α、∠β之間的數(shù)量關(guān)系．(3)問(wèn)題拓展：如圖4，MA1∥NAn，【答案】(1)∠CPD=∠α+∠β，理由見(jiàn)解析(2)∠CPD=∠β-∠α或∠CPD=∠α-∠β(3)∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠【分析】（1）過(guò)P作PE∥AD，根據(jù)平行線的判定可得PE∥AD∥BC，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解；（2）過(guò)P作PE∥AD，根據(jù)平行線的判定可得PE∥AD∥BC，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解；（3）問(wèn)題拓展：分別過(guò)A2，A3…，An-1作直線∥A1M，過(guò)B1，B2，…，Bn-1作直線∥A1M，根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）∠CPD=∠α+∠β，理由如下：如圖，過(guò)P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；（2）當(dāng)P在BA延長(zhǎng)線時(shí)，∠CPD=∠β-∠α；理由：如圖，過(guò)P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠CPE-∠DPE=∠β-∠α；當(dāng)P在BO之間時(shí)，∠CPD=∠α-∠β．理由：如圖，過(guò)P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠DPE-∠CPE=∠α-∠β．（3）問(wèn)題拓展：分別過(guò)A2，A3…，An-1作直線∥A1M，過(guò)B1，B2，…，Bn-1作直線∥A1M，由平行線的性質(zhì)和角的和差關(guān)系得∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠B故答案為：∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠B【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，第（2）問(wèn)在解題時(shí)注意分類(lèi)思想的運(yùn)用．12．（2023七年級(jí)下·江蘇·專(zhuān)題練習(xí)）已知AB∥CD，連接A，(1)如圖1，∠CAB與∠ACD的平分線交于點(diǎn)E，則∠AEC等于度；(2)如圖2，點(diǎn)M在射線AB反向延長(zhǎng)線上，點(diǎn)N在射線CD上．∠AMN與∠ACN的平分線交于點(diǎn)E．若∠AMN=45°，∠ACN=70°，求(3)如圖3，圖4，M，N分別為射線AB，射線CD上的點(diǎn)，∠AMN與∠ACN的平分線交于點(diǎn)E．設(shè)∠AMN=α，∠ACN=βα≠β【答案】(1)90(2)57.5°(3)180°?12【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BAC+∠ACD=180°，利用角平分線的定義求出∠CAE+∠ACE=90°，即可求出答案；（2）過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，得到EF∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到（3）由平行線的性質(zhì)：兩直線平行同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，即可求解．【詳解】（1）解：如圖1，∵AB∥∴∠BAC+∠ACD=180°，∵AE,CE分別平分∠BAC，∴∠CAE=1∴∠CAE+∠ACE=1∴∠AEC=180°?1故答案為：90．（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EF∥∵AB∥∴EF∥∴∠BME=∠MEF，∵M(jìn)E,CE分別平分∠BMN，∴∠BME=1∴∠MEC=∠MEF+∠CEF=22.5°+35°=57.5°；（3）①如圖3，過(guò)點(diǎn)E作EF∥∵AB∥∴EF∥∴∠AME+∠MEF=180°，∵∠AME=1∴∠MEF=180°?1∵∠ECD=1∴∠FEC=∠ECD=1∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=180°?1②如圖4，過(guò)點(diǎn)E作EF∥∵AB∥∴EF∥∴∠AME=12∠MEF=∵∠ECD=1∴∠FEC=180°?1∴∠MEC=∠MEF+∠CEF=180°?1【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)及角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是正確掌握平行線的性質(zhì)：兩直線平行同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等．13．（20-21七年級(jí)下·四川成都·期中）已知AB∥CD，∠ABE的角分線與∠CDE的角分線相交于點(diǎn)F．（1）如圖1，若BM、DM分別是∠ABF和∠CDF的角平分線，且∠BED＝100°，求∠M的度數(shù)；（2）如圖2，若∠ABM＝13∠ABF，∠CDM＝13∠CDF，∠BED＝α°，求∠（3）若∠ABM＝1n∠ABF，∠CDM＝1n∠CDF，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠M與∠【答案】（1）65°（2）360°?α°6（3）2n∠M+∠BED【分析】（1）首先作EG∥AB，F(xiàn)H∥AB，利用平行線的性質(zhì)可得∠ABE+∠CDE=260°，再利用角平分線的定義得到∠ABF+∠CDF=130°，從而得到∠BFD的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義可求∠M的度數(shù)；（2）先由已知得到∠ABE=6∠ABM，∠CDE=6∠CDM，由（1）得∠ABE+∠CDE=360°-∠BED，∠M=∠ABM+∠CDM，等量代換即可求解；（3）先由已知得到∠ABF=n∠ABM，∠CDF=n∠CDM，由（2）的方法可得到2n∠M+∠BED=360°．【詳解】解：（1）如圖1，作EG//AB，F(xiàn)H//AB，∵AB∥∴EG∥∴∠ABF=∠BFH，∠CDF=∠DFH，∠ABE+∠BEG=180°，∠GED+∠CDE=180°，∴∠ABE+∠BEG+∠GED+∠CDE=360°，∵∠BED=∠BEG+∠DEG=100°，∴∠ABE+∠CDE=260°，∵∠ABE的角平分線和∠CDE的角平分線相交于F，∴∠ABF+∠CDF=130°，∴∠BFD=∠BFH+∠DFH=130°，∵BM、DM分別是∠ABF和∠CDF的角平分線，∴∠MBF=12∠ABF∴∠MBF+∠MDF=65°，∴∠BMD=130°?65°=65°；（2）如圖2，∵∠ABM=13∠ABF∴∠ABF=3∠ABM，∠CDF=3∠CDM，∵∠ABE與∠CDE兩個(gè)角的角平分線相交于點(diǎn)F，∴∠ABE=6∠ABM，∠CDE=6∠CDM，∴6∠ABM+6∠CDM+∠BED=360°，∵∠BMD=∠ABM+∠CDM，∴6∠BMD+∠BED=360°，∴∠BMD=360°?α°（3）∵∠ABM＝1n∠ABF，∠CDM＝1n∠∴∠ABF=n∠ABM，∠CDF=n∠CDM，∵∠ABE與∠CDE兩個(gè)角的角平分線相交于點(diǎn)F，∴∠ABE=2n∠ABM，∠CDE=2n∠CDM，∴2n∠ABM+2n∠CDM+∠BED=360°，∵∠M=∠ABM+∠CDM，∴2n∠M+∠BED=360°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和角平分線的計(jì)算，關(guān)鍵在于掌握兩直線平行同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)的性質(zhì)．14．（21-22七年級(jí)下·廣東東莞·期中）閱讀下面內(nèi)容，并解答問(wèn)題．已知：如圖1，AB∥CD，直線EF分別交AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)．∠BEF的平分線與∠DFE的平分線交于點(diǎn)(1)求證：EG⊥FG；(2)填空，并從下列①、②兩題中任選一題說(shuō)明理由．我選擇題．①在圖1的基礎(chǔ)上，分別作∠BEG的平分線與∠DFG的平分線交于點(diǎn)M，得到圖2，則∠EMF的度數(shù)為．②如圖3，AB∥CD，直線EF分別交AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)．點(diǎn)O在直線AB，CD之間，且在直線EF右側(cè)，∠BEO的平分線與∠DFO的平分線交于點(diǎn)P，則∠EOF與∠EPF滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系為【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①45°；②結(jié)論：∠EOF=2∠EPF【分析】（1）利用平行線的性質(zhì)解決問(wèn)題即可；（2）①利用基本結(jié)論∠EMF=∠BEM+∠MFD求解即可；②利用基本結(jié)論∠EOF=∠BEO+∠DFO，∠EPF=∠BEP+∠DFP，求解即可．【詳解】（1）證明：如圖，過(guò)G作GH∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥∴∠BEG=∠EGH，∵AB//CD,∴∠BEF+∠DFE=180°，∵EG平分∠BEF，F(xiàn)G平分∠DFE，∴∠GEB=12∠BEF∴∠GEB+∠GFD=1∴∠EGF=∠GEB+∠GFD=90°，∴EG⊥FG；（2）解：①如圖2中，由題意，∠BEG+∠DFG=90°，∵EM平分∠BEG，MF平分∠DFG，∴∠BEM+∠MFD=1∴∠EMF=∠BEM+∠MFD=45°，故答案為：45°；②結(jié)論：∠EOF=2∠EPF．理由：如圖3中，由題意，∠EOF=∠BEO+∠DFO，∠EPF=∠BEP+∠DFP，∵PE平分∠BEO，PF平分∠DFO，∴∠BEO=2∠BEP，∠DFO=2∠DFP，∴∠EOF=2∠EPF，故答案為：∠EOF=2∠EPF．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)和判定，角平分線的定義，垂直的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)．【考點(diǎn)題型四】翹腳模型已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）AB∥DE∠1=∠2+∠3AB∥DE∠1+∠3-∠2=180°15．（20-21七年級(jí)下·湖南株洲·期末）①如圖1，AB∥CD，則∠A+∠E+∠C=360°；②如圖2，AB∥CD，則∠P=∠A?∠C；③如圖3，AB∥CD，則∠E=∠A+∠1；④如圖4，直線AB∥CD∥EF，點(diǎn)O在直線EF上，則∠α?∠β+∠γ=180°．以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】①過(guò)點(diǎn)E作直線EF∥AB，由平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，即可得出結(jié)論；②如圖2，先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠1＝∠C+∠P，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等即可作出判斷；③如圖3，過(guò)點(diǎn)E作直線EF∥AB，由平行線的性質(zhì)可得出∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即得∠AEC＝180°+∠1﹣∠A；④如圖4，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α＝∠BOF，∠γ+∠COF＝180°，再利用角的關(guān)系解答即可．【詳解】解：①如圖1，過(guò)點(diǎn)E作直線EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A+∠1＝180°，∠2+∠C＝180°，∴∠A+∠1+∠2+∠C＝360°，∴∠A+∠AEC+∠C=360°，故①正確；②如圖2，∵∠1是△CEP的外角，∴∠1＝∠C+∠P，∵AB∥CD，∴∠A＝∠1，即∠P＝∠A﹣∠C，故②正確；③如圖3，過(guò)點(diǎn)E作直線EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A+∠3＝180°，∠1＝∠2，∴∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即∠AEC＝180°+∠1﹣∠A，故③錯(cuò)誤；④如圖4，∵AB∥EF，∴∠α＝∠BOF，∵CD∥EF，∴∠γ+∠COF＝180°，∵∠BOF＝∠COF+∠β，∴∠COF＝∠α﹣∠β，∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°，故④正確；綜上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為3，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．16．（20-21七年級(jí)下·廣東東莞·期中）（1）如圖（1）AB∥CD，猜想∠BPD與∠B、∠D的關(guān)系，說(shuō)出理由．（2）觀察圖（2），已知AB∥CD，猜想圖中的∠BPD與∠B、∠D的關(guān)系，并說(shuō)明理由．（3）觀察圖（3）和（4），已知AB∥CD，猜想圖中的∠BPD與∠B、∠D的關(guān)系，不需要說(shuō)明理由．

【答案】（1）∠B+∠BPD+∠D=360°，理由見(jiàn)解析；（2）∠BPD=∠B+∠D，理由見(jiàn)解析；（3）圖（3）∠BPD=∠D?∠B，圖（4）∠BPD=∠B?∠D【分析】（1）過(guò)點(diǎn)P作EF∥AB，得到∠B+∠BPE=180°，由AB∥CD，EF∥AB，得到EF∥CD，得到∠EPD+∠D=180°，由此得到∠B+∠BPD+∠D=360°；（2）過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB，由PE∥AB∥CD，得到∠1=∠B，∠2=∠D，從而得到結(jié)論（3）由AB∥CD，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等與三角形外角的性質(zhì)，即可求得∠BPD與∠B、【詳解】（1）解：猜想∠B+∠BPD+∠D=360°．理由：過(guò)點(diǎn)P作EF∥AB，∴∠B+∠BPE=180°，∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD，∴∠EPD+∠D=180°，∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D=360°，∴∠B+∠BPD+∠D=360°；（2）∠BPD=∠B+∠D．理由：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB，

∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠1=∠B，∴∠BPD=∠1+∠2=∠B+∠D；（3）如圖（3）：∠BPD=∠D?∠B．理由：∵AB∥CD，

∴∠1=∠D，∵∠1=∠B+∠P，∴∠D=∠B+∠P，即∠BPD=∠D?∠B；如圖（4）：∠BPD=∠B?∠D．理由：∵AB∥CD，

∴∠1=∠B，∵∠1=∠D+∠P，∴∠B=∠D+∠P，即∠BPD=∠B?∠D．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，平行公理的推論，三角形的外角的性質(zhì)定理，熟記平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．（20-21七年級(jí)下·浙江·期末）已知AM//CN，點(diǎn)B為平面內(nèi)一點(diǎn)，AB⊥BC于B．（1）如圖1，點(diǎn)B在兩條平行線外，則∠A與∠C之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____；（2）點(diǎn)B在兩條平行線之間，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AM于點(diǎn)D．①如圖2，說(shuō)明∠ABD=∠C成立的理由；②如圖3，BF平分∠DBC交DM于點(diǎn)F,BE平分∠ABD交DM于點(diǎn)E．若∠FCB+∠NCF=180°,∠BFC=3∠DBE，求∠EBC的度數(shù)．【答案】（1）∠A+∠C=90°；（2）①見(jiàn)解析；②105°【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明即可；（2）①過(guò)點(diǎn)B作BG∥DM，根據(jù)平行線找角的聯(lián)系即可求解；②先過(guò)點(diǎn)B作BG∥DM，根據(jù)角平分線的定義，得出∠ABF=∠GBF，再設(shè)∠DBE=α，∠ABF=β，根據(jù)∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得2α+β+3α+3α+β=180°，根據(jù)AB⊥BC，可得β+β+2α=90°，最后解方程組即可得到∠ABE=15°，進(jìn)而得出∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．【詳解】解：（1）如圖1，AM與BC的交點(diǎn)記作點(diǎn)O，∵AM∥CN，∴∠C=∠AOB，∵AB⊥BC，∴∠A+∠AOB=90°，∴∠A+∠C=90°；（2）①如圖2，過(guò)點(diǎn)B作BG∥DM，∵BD⊥AM，∴DB⊥BG，∴∠DBG=90°，∴∠ABD+∠ABG=90°，∵AB⊥BC，∴∠CBG+∠ABG=90°，∴∠ABD=∠CBG，∵AM∥CN，BG∥DM，∴BG//∴∠C=∠CBG，∠ABD=∠C；②如圖3，過(guò)點(diǎn)B作BG∥DM，∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，由（2）知∠ABD=∠CBG，∴∠ABF=∠GBF，設(shè)∠DBE=α，∠ABF=β，則∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，∠GBF=∠AFB=β，∠BFC=3∠DBE=3α，∴∠AFC=3α+β，∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°，∴∠FCB=∠AFC=3α+β，△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°得：2α+β+3α+3α+β=180°，∵AB⊥BC，∴β+β+2α=90°，∴α=15°，∴∠ABE=15°，∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)的運(yùn)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作平行線構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角，運(yùn)用等角的余角（補(bǔ)角）相等進(jìn)行推導(dǎo)．余角和補(bǔ)角計(jì)算的應(yīng)用，常常與等式的性質(zhì)、等量代換相關(guān)聯(lián)．解題時(shí)注意方程思想的運(yùn)用．18．（18-19七年級(jí)下·廣東中山·期中）（1）如圖，AB//CD，CF平分∠DCE，若∠DCF=30°，∠E=20°，求∠ABE的度數(shù)；（2）如圖，AB//CD，∠EBF=2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍與∠E的補(bǔ)角的和為190°，求∠ABE的度數(shù)．（3）如圖，P為（2）中射線BE上一點(diǎn)，G是CD上任一點(diǎn)，PQ平分∠BPG，GN//PQ，GM平分∠DGP，若∠B＝30°，求∠MGN的度數(shù)．【答案】（1）∠ABE=40°；（2）∠ABE=30°；（3）∠MGN=15°．【分析】（1）過(guò)E作EM∥AB，根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)和角平分線的定義解答即可；（2）過(guò)E作EM∥AB，過(guò)F作FN∥AB，根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的定義以及解一元一次方程解答即可；（3）過(guò)P作PL∥AB，根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，角平分線的定義解答即可．【詳解】解：（1）過(guò)E作EM∥AB，∵AB∥CD，∴CD∥EM∥AB，∴∠ABE＝∠BEM，∠DCE＝∠CEM，∵CF平分∠DCE，∴∠DCE＝2∠DCF，∵∠DCF＝30°，∴∠DCE＝60°，∴∠CEM＝60°，又∵∠CEB＝20°，∴∠BEM＝∠CEM﹣∠CEB＝40°，∴∠ABE＝40°；（2）過(guò)E作EM∥AB，過(guò)F作FN∥AB，∵∠EBF＝2∠ABF，∴設(shè)∠ABF＝x，∠EBF＝2x，則∠ABE＝3x，∵CF平分∠DCE，∴設(shè)∠DCF＝∠ECF＝y(tǒng)，則∠DCE＝2y，∵AB∥CD，∴EM∥AB∥CD，∴∠DCE＝∠CEM＝2y，∠BEM＝∠ABE＝3x，∴∠CEB＝∠CEM﹣∠BEM＝2y﹣3x，同理∠CFB＝y(tǒng)﹣x，∵2∠CFB+（180°﹣∠CEB）＝190°，∴2（y﹣x）+180°﹣（2y﹣3x）＝190°，

∴x＝10°，∴∠ABE＝3x＝30°；（3）過(guò)P作PL∥AB，∵GM平分∠DGP，∴設(shè)∠DGM＝∠PGM＝y(tǒng)，則∠DGP＝2y，∵PQ平分∠BPG，∴設(shè)∠BPQ＝∠GPQ＝x，則∠BPG＝2x，∵PQ∥GN，∴∠PGN＝∠GPQ＝x，∵AB∥CD，∴PL∥AB∥CD，

∴∠GPL＝∠DGP＝2y，∠BPL＝∠ABP＝30°，∵∠BPL＝∠GPL﹣∠BPG，∴30°＝2y﹣2x，∴y﹣x＝15°，∵∠MGN＝∠PGM﹣∠PGN＝y(tǒng)﹣x，∴∠MGN＝15°．【點(diǎn)睛】此題考查平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理，解題關(guān)鍵在于作輔助線和掌握判定定理．【考點(diǎn)題型五】骨折模型【解題方法】遇拐點(diǎn)做平行線19．（22-23七年級(jí)下·全國(guó)·假期作業(yè)）如圖，已知AB∥DE，∠B=20°，∠D=130°，那么A．60° B．70° C．80° D．90°【答案】B【分析】過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB，根據(jù)CF∥AB，得出AB∥【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作CF∥∵AB∥∴AB∥∴∠BCF=∠B=20°，∠DCF=180°?∠D=180°?130°=50°，∴∠BCD=∠BCF+∠DCF=20°+50°=70°，故B正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)．20．（15-16七年級(jí)·浙江杭州·期中）如圖所示，若AB∥EF，用含α、β、γ的式子表示x，應(yīng)為（

）A．α+β+γ B．β+γ?α C．180°?α?γ+β D．180°+α+β?γ【答案】C【分析】過(guò)C作CD∥AB，過(guò)M作MN∥EF，推出AB∥CD∥MN∥EF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出α+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=γ，求出∠BCD=180°-α，∠DCM=∠CMN=β-γ，即可得出答案．【詳解】過(guò)C作CD∥AB，過(guò)M作MN∥EF，∵AB∥EF，∴AB∥CD∥MN∥EF，∴α+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=γ，∴∠BCD=180°-α，∠DCM=∠CMN=β-γ，∴x=∠BCD+∠DCM=180°?α?γ+β，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查了學(xué)生的推理能力．21．（21-22七年級(jí)下·重慶銅梁·期中）如圖，已知AB∥DE，且∠C=110°，則∠1與∠2的數(shù)量關(guān)系為【答案】∠2=∠1+70°【分析】過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB，則CF∥AB∥【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作CF∥則CF∥∴∠BCF=∠1，∠DCF+∠2=180°，∵∠BCD=110°，∴∠DCF=110°?∠BCF=110°?∠1，∴110°?∠1+∠2=180°，∴∠2=∠1+70°.故答案為：∠2=∠1+70°.【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出平行線，利用平行線的性質(zhì)得出角之間的關(guān)系.22．（21-22七年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·期中）已知直線AB∥CD，P為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接PA、

(1)如圖1，已知∠A=50°，∠D=150°，求∠APD的度數(shù)；(2)如圖2，判斷∠PAB、∠CDP、∠APD之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程．(3)如圖3，在（2）的條件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+12∠PAB=∠APD【答案】(1)80°(2)∠CDP+∠PAB?∠APD=180°，證明見(jiàn)解析(3)45°【分析】（1）過(guò)點(diǎn)P作EF∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠APE=∠A=50°，∠EPD=180°?150°=30°，即可求出∠APD的度數(shù)；（2）過(guò)點(diǎn)P作EF∥AB，則AB∥EF∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠CDP=∠DPF，∠FPA+∠PAB=180°，又∠FPA=∠DPF?∠APD，即可得出∠CDP+∠PAB?∠APD=180°；（3）PD交AN于點(diǎn)O，由AP⊥PD，得出∠APO=90°，由∠PAN+12∠PAB=∠APD得出∠PAN+12∠PAB=90°，由∠POA+∠PAN=90°，得出∠POA=12∠PAB，由對(duì)頂角相等得出∠NOD=12【詳解】（1）解：如圖1，過(guò)點(diǎn)P作EF∥AB，

∵∠A=50°，∴∠APE=∠A=50°，∵AB∥∴EF∥CD，∴∠CDP+∠EPD=180°，∵∠D=150°，∴∠EPD=180°?150°=30°，∴∠APD=∠APE+∠EPD=50°+30°=80°；（2）關(guān)系：∠CDP+∠PAB?∠APD=180°證明：如圖2，過(guò)點(diǎn)P作EF∥AB，則AB∥EF∥CD，

∴∠CDP=∠DPF，∠FPA+∠PAB=180°，∵∠FPA=∠DPF?∠APD，∴∠DPF?∠APD+∠PAB=180°，∴∠CDP+∠PAB?∠APD=180°，故答案為：∠CDP+∠PAB?∠APD=180°；（3）如圖3，PD交AN于點(diǎn)O，

∵AP⊥PD，∴∠APO=90°，∵∠PAN+1∴∠PAN+1∵∠POA+∠PAN=90°，∴∠POA=1∵∠POA=∠NOD，∴∠NOD=1∵DN平分∠PDC，∴∠ODN=1∴∠AND=180°?∠NOD?∠ODN=180°?1由（2）得：∠CDP+∠PAB?∠APD=180°，∴∠CDP+∠PAB=180°+∠APD，∴∠AND=180°?=180°?=180°?=45°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)及角平分線的定義，掌握平行線的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．23．（19-20七年級(jí)下·北京西城·階段練習(xí)）請(qǐng)閱讀小明同學(xué)在學(xué)習(xí)平行線這章知識(shí)點(diǎn)時(shí)的一段筆記，然后解決問(wèn)題．小明：老師說(shuō)在解決有關(guān)平行線的問(wèn)題時(shí)，如果無(wú)法直接得到角的關(guān)系，就需要借助輔助線來(lái)幫助解答，今天老師介紹了一個(gè)“美味”的模型“豬蹄模型”．即已知：如圖1，AB∥CD，E為AB、CD之間一點(diǎn)，連接AE，CE得到求證：∠AEC=∠A+∠C小明筆記上寫(xiě)出的證明過(guò)程如下:證明：過(guò)點(diǎn)E作EF∵∠1=∠A∵AB∥CD∴EF∴∠2=∠C∴∠AEC=∠1+∠2∴∠AEC=∠A+∠C請(qǐng)你利用“豬蹄模型”得到的結(jié)論或解題方法，完成下面的兩個(gè)問(wèn)題．(1)如圖，若AB∥CD，∠E=60(2)如圖，AB∥CD，BE平分∠ABG，CF平分∠DCG，∠G=∠H+27【答案】(1)240(2)51【分析】（1）作EM∥AB，F(xiàn)N∥CD，如圖，根據(jù)平行線的性質(zhì)得EM∥AB∥FN∥（2）分別過(guò)G、H作AB的平行線MN和RS，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可用∠ABG和∠DCG分別表示出∠H和∠G，從而可找到∠H和∠G的關(guān)系，結(jié)合條件可求得∠H=51【詳解】（1）作EM∥AB，F(xiàn)N∴EM∴∠B=∠1，∠2=∠3，∠4+∠C=∴∠B+∠CFE+∠C=∠1+∠3+∠4+∠C=∠BEF+∠4+∠C=∠BEF+180∵∠BEF=60∴∠B+∠CFE+∠C=60（2）如圖，分別過(guò)G、H作AB的平行線MN和RS，∵BE平分∠ABG，CF平分∠DCG，∴∠ABE=12∠ABG∵AB∴AB∴∠RHB=∠ABE=12∠ABG∴∠NGB+∠ABG=∠MGC+∠DCG=180∴∠BHC=180∠BGC=∴∠BGC=360∵∠BGC=∠BHC+27∴180°∴∠BHC=51【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能運(yùn)用平行線的性質(zhì)和判定進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，注意：①兩直線平行，同位角相等，②兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，③兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，反之亦然．24．（16-17七年級(jí)下·湖北武漢·期中）如圖1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°；(1)若∠E＝60°，則∠F＝；(2)請(qǐng)?zhí)剿鳌螮與∠F之間滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系？說(shuō)明理由；(3)如圖2，已知EP平分∠BEF，F(xiàn)G平分∠EFD，反向延長(zhǎng)FG交EP于點(diǎn)P，求∠P的度數(shù)．【答案】(1)90°(2)∠F=∠E+30°，理由見(jiàn)解析(3)15°【分析】（1）如圖1，分別過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)作EM//AB，F(xiàn)N//AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN，∠D+∠DFN=180°，代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)論；（2）如圖1，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN，由AB//CD，AB//FN，得到CD//FN，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠D+∠DFN=180°，于是得到結(jié)論；（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)F作FH//EP，設(shè)∠BEF=2x°，則∠EFD=(2x+30)°，根據(jù)角平分線的定義得到∠PEF=12∠BEF=x°，∠EFG=12【詳解】（1）解：如圖1，分別過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)作EM//AB，F(xiàn)N//AB，∴EM//AB//FN，∴∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN，又∵AB//CD，AB//FN，∴CD//FN，∴∠D+∠DFN=180°，又∵∠D=120°，∴∠DFN=60°，∴∠BEF=∠MEF+30°，∠EFD=∠EFN+60°，∴∠EFD=∠MEF+60°∴∠EFD=∠BEF+30°=90°；故答案為：90°；（2）解：如圖1，分別過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)作EM//AB，F(xiàn)N//AB，∴EM//AB//FN，∴∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN，又∵AB//CD，AB//FN，∴CD//FN，∴∠D+∠DFN=180°，又∵∠D=120°，∴∠DFN=60°，∴∠BEF=∠MEF+30°，∠EFD=∠EFN+60°，∴∠EFD=∠MEF+60°，∴∠EFD=∠BEF+30°；（3）解：如圖2，過(guò)點(diǎn)F作FH//EP，由（2）知，∠EFD=∠BEF+30°，設(shè)∠BEF=2x°，則∠EFD=(2x+30)°，∵EP平分∠BEF，GF平分∠EFD，∴∠PEF=12∠BEF=x°∵FH//EP，∴∠PEF=∠EFH=x°，∠P=∠HFG，∵∠HFG=∠EFG?∠EFH=15°，∴∠P=15°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)題型六】三角板拼接模型【解題方法】通過(guò)一副三角板我們能拼出以下特殊角，如：60°、75°、90°，依據(jù)平行線的性質(zhì)，我們可以得到同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角之間的關(guān)系，從而求出對(duì)應(yīng)角度數(shù)..25．（22-23七年級(jí)下·云南昆明·期末）直角三角板ABC與直角三角板DEF如圖擺放，其中∠BAC=∠EDF=90°，∠E=45°，∠C=30°，AC與DE相交于點(diǎn)M，若BC∥EF，則A．45° B．55° C．65° D．75°【答案】D【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，由“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”，可求出∠CDE度數(shù)，在△CDM中，利用三角形外角性質(zhì)可求出∠CME的度數(shù)．【詳解】解：∵BC∥EF，∴∠CDE=∠E=45°，∵∠CME是△CDM的一個(gè)外角，∠C=30°，∴∠CME=∠CDE+∠C=45°+30°=75°，故D正確．故選：D．26．（22-23七年級(jí)下·遼寧沈陽(yáng)·期中）如圖，將一副三角板按如圖放置，則下列結(jié)論：①∠1=∠2=∠3；②∠CAD與∠2互為補(bǔ)角；③若∠2=45°，則BC∥AD；④∠1?∠4=15°．其中一定正確的序號(hào)是（

）

A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．②④【答案】B【分析】由題意知，∠1+∠2=90°=∠2+∠3，則∠1=∠3，進(jìn)而可判斷①的正誤；由∠CAD=∠1+∠2+∠3，可得∠CAD+∠2=∠1+∠2+∠3+∠2=180°，則∠CAD與∠2互為補(bǔ)角，進(jìn)而可判斷②的正誤；由∠2=45°，可得∠1=∠2=∠3=45°，則∠B=45°=∠3，BC∥AD，進(jìn)而可判斷③的正誤；由題意知，∠4+∠CBA=∠3+∠EDA，即∠4+45°=∠3+30°，由∠1=∠3，可得∠4+45°=∠1+30°，則∠1?∠4=15°，進(jìn)而可判斷④的正誤．【詳解】解：由題意知，∠1+∠2=90°=∠2+∠3，∴∠1=∠3，①不一定正確，故不符合要求；∵∠CAD=∠1+∠2+∠3，∴∠CAD+∠2=∠1+∠2+∠3+∠2=180°，∴∠CAD與∠2互為補(bǔ)角，②一定正確，故符合要求；∵∠2=45°，∴∠1=∠2=∠3=45°，∵∠B=45°=∠3，∴BC∥AD，③一定正確，故符合要求；由題意知，∠4+∠CBA=∠3+∠EDA，即∠4+45°=∠3+30°，∵∠1=∠3，∴∠4+45°=∠1+30°，∴∠1?∠4=15°，④一定正確，故符合要求；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角板中角度計(jì)算，平行線的判定，三角形內(nèi)角和定理．解題的關(guān)鍵在于明確角度之間的數(shù)量關(guān)系．27．（22-23七年級(jí)下·四川成都·期中）我們知道，角可以看成是由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成的．如圖1，∠AOA'可以看作將OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)如圖2，P，Q是直線l上不同的兩點(diǎn)，將直線l繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)70°得到直線l1，再將直線l1繞點(diǎn)Q順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a°(0<α<180)得到直線l2，要使l1∥一副三角板