2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫——數(shù)學(xué)在企業(yè)形象研究中的應(yīng)用考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題3分，共15分。請(qǐng)將正確選項(xiàng)的字母填在括號(hào)內(nèi)）1.在企業(yè)形象研究中，若需評(píng)估多個(gè)品牌在不同維度上的相對(duì)優(yōu)劣，并且各維度權(quán)重未知，以下哪種數(shù)學(xué)方法或模型可能最為適用？A.線性回歸分析B.主成分分析C.數(shù)據(jù)包絡(luò)分析（DEA）D.因子分析2.某公司通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，其品牌形象得分（Y）與廣告投入（X1）和社會(huì)責(zé)任行為得分（X2）可能存在線性關(guān)系。為建立預(yù)測模型，收集了樣本數(shù)據(jù)。在應(yīng)用最小二乘法估計(jì)模型參數(shù)前，需要假設(shè)誤差項(xiàng)滿足以下哪個(gè)條件？A.誤差項(xiàng)具有負(fù)二項(xiàng)分布B.誤差項(xiàng)之間存在高度自相關(guān)C.誤差項(xiàng)的方差與自變量X1的值成正比D.誤差項(xiàng)的期望值為零且獨(dú)立同分布3.在分析社交媒體上關(guān)于某產(chǎn)品的用戶評(píng)論，以判斷其品牌形象傾向（正面/負(fù)面/中性），以下哪種數(shù)學(xué)或統(tǒng)計(jì)方法較為合適？A.時(shí)間序列分析預(yù)測未來股價(jià)B.聚類分析對(duì)用戶進(jìn)行分組C.邏輯回歸模型預(yù)測評(píng)論傾向D.卡方檢驗(yàn)比較不同產(chǎn)品線的用戶滿意度差異4.利用網(wǎng)絡(luò)分析法評(píng)估品牌聲譽(yù)時(shí)，節(jié)點(diǎn)中心性指標(biāo)（如度中心性、中介中心性）主要用于衡量什么？A.品牌形象的總體平均水平B.品牌在信息傳播網(wǎng)絡(luò)中的影響力C.消費(fèi)者對(duì)品牌特定屬性的滿意度D.品牌形象隨時(shí)間變化的趨勢5.某企業(yè)希望優(yōu)化其營銷資源分配，以在多個(gè)目標(biāo)市場中最大化品牌形象的提升。若各市場對(duì)品牌形象的影響不同，且營銷投入存在成本約束，該企業(yè)面臨的問題最接近于以下哪種數(shù)學(xué)規(guī)劃問題？A.整數(shù)規(guī)劃B.非線性規(guī)劃C.線性規(guī)劃D.動(dòng)態(tài)規(guī)劃二、填空題（每小題4分，共20分。請(qǐng)將答案填在橫線上）1.在層次分析法（AHP）中，用于確定不同判斷矩陣一致性程度的指標(biāo)是________。2.若通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)消費(fèi)者對(duì)“產(chǎn)品質(zhì)量”和“企業(yè)社會(huì)責(zé)任”兩個(gè)維度賦予的品牌形象權(quán)重分別為0.6和0.4，采用簡單的線性加權(quán)法計(jì)算某品牌在這兩個(gè)維度上的綜合得分，若該品牌在“產(chǎn)品質(zhì)量”維度上的得分為80分，在“企業(yè)社會(huì)責(zé)任”維度上的得分為70分，則其綜合形象得分為________分。3.在進(jìn)行品牌形象數(shù)據(jù)的因子分析時(shí)，常用的因子旋轉(zhuǎn)方法有正交旋轉(zhuǎn)（如________）和斜交旋轉(zhuǎn)（如________）。4.設(shè)企業(yè)品牌形象得分Y與廣告投入X1、產(chǎn)品質(zhì)量X2之間存在多元線性回歸模型Y=β0+β1X1+β2X2+ε。若β1的估計(jì)值為正且顯著，這通常意味著在其他條件不變的情況下，增加廣告投入________（填“會(huì)”或“不會(huì)”）對(duì)品牌形象得分產(chǎn)生積極影響。5.利用概率統(tǒng)計(jì)中的________檢驗(yàn)，可以判斷一個(gè)樣本的均值是否顯著不同于某個(gè)已知的總體均值，這在比較新舊廣告策略對(duì)品牌認(rèn)知影響的假設(shè)檢驗(yàn)中很有用。三、名詞解釋（每小題5分，共15分）1.品牌資產(chǎn)2.網(wǎng)絡(luò)嵌入3.最小二乘法四、簡答題（每小題8分，共24分）1.簡述將數(shù)學(xué)模型應(yīng)用于企業(yè)形象研究的必要性和主要優(yōu)勢。2.簡要說明在進(jìn)行企業(yè)形象定量分析時(shí)，數(shù)據(jù)收集可能涉及哪些方面以及需要注意的問題。3.解釋什么是“品牌形象模糊性”，并簡述如何運(yùn)用數(shù)學(xué)工具（如聚類分析或主成分分析）來識(shí)別或分析品牌形象的模糊性。五、計(jì)算題（共18分）假設(shè)某公司收集了其三個(gè)主要產(chǎn)品線（A、B、C）在三個(gè)形象維度（創(chuàng)新性X1、可靠性X2、親和力X3）上的得分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示（原始數(shù)據(jù)未提供，此處假設(shè)已計(jì)算得到樣本均值向量和樣本協(xié)方差矩陣Σ）：已知該公司的目標(biāo)是在保持各維度相對(duì)表現(xiàn)均衡的前提下，盡可能提高在“創(chuàng)新性”維度上的得分。假設(shè)產(chǎn)品線的整體形象得分由三個(gè)維度得分線性加權(quán)組合而成，且權(quán)重向量為w=(w1,w2,w3)。請(qǐng)簡述如何建立數(shù)學(xué)模型來近似解決這個(gè)問題，并說明模型中可能涉及的關(guān)鍵數(shù)學(xué)概念或方法。（無需求解具體數(shù)值）六、應(yīng)用題（共13分）某研究者希望評(píng)估不同類型的社交媒體帖子（信息型、促銷型、互動(dòng)型）對(duì)品牌形象感知（高/中/低）的影響。他隨機(jī)收集了100條帖子和對(duì)應(yīng)的品牌形象感知數(shù)據(jù)。請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)合適的數(shù)學(xué)模型或分析方法，用來探究社交媒體帖子類型與品牌形象感知之間是否存在顯著關(guān)聯(lián)，并簡述分析步驟中可能用到的關(guān)鍵統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)或模型構(gòu)建思路。試卷答案一、選擇題1.B2.D3.C4.B5.C二、填空題1.一致性比率（CR）或隨機(jī)一致性指數(shù)（CI）2.743.Varimax（或方差最大化）或Promax（或斜交旋轉(zhuǎn)最大正交化）4.會(huì)5.單樣本t檢驗(yàn)三、名詞解釋1.品牌資產(chǎn)：指與品牌、名稱和標(biāo)記相聯(lián)系，能夠增加或減少企業(yè)所銷售產(chǎn)品或服務(wù)的價(jià)值的一系列資產(chǎn)。數(shù)學(xué)上常通過品牌知名度、品牌聯(lián)想、感知質(zhì)量、品牌忠誠度等可測量的維度來量化其部分價(jià)值。2.網(wǎng)絡(luò)嵌入：指行動(dòng)者（如企業(yè)品牌）嵌入在更廣泛的社會(huì)關(guān)系網(wǎng)絡(luò)中，其行為和機(jī)會(huì)受到網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的影響。數(shù)學(xué)上可通過網(wǎng)絡(luò)圖論中的節(jié)點(diǎn)度、中心性、社群結(jié)構(gòu)等指標(biāo)來分析和量化嵌入關(guān)系。3.最小二乘法：一種常用的線性回歸參數(shù)估計(jì)方法，其核心思想是通過尋找使得因變量觀測值與模型預(yù)測值之間平方差之和最小的參數(shù)估計(jì)值，從而確定最佳擬合直線的斜率和截距。四、簡答題1.必要性和優(yōu)勢：必要性在于企業(yè)形象是多維度、復(fù)雜的抽象概念，需要量化工具進(jìn)行客觀評(píng)估和管理。優(yōu)勢在于數(shù)學(xué)模型能提供系統(tǒng)化、客觀化、可量化的分析框架，精確衡量各因素影響，支持?jǐn)?shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的決策，進(jìn)行預(yù)測和優(yōu)化，并便于跨時(shí)間和跨企業(yè)比較。2.數(shù)據(jù)收集方面：可能包括品牌知名度數(shù)據(jù)（如回憶率、認(rèn)知度）、品牌聯(lián)想數(shù)據(jù)（如聯(lián)想卡片、語義差異法）、品牌形象維度得分（如通過問卷調(diào)查獲取創(chuàng)新性、可靠性、親和力等評(píng)分）、消費(fèi)者態(tài)度和情感數(shù)據(jù)、市場份額數(shù)據(jù)、財(cái)務(wù)數(shù)據(jù)（如品牌溢價(jià)）、社交媒體數(shù)據(jù)（如提及量、情感傾向）、網(wǎng)絡(luò)分析數(shù)據(jù)（如用戶關(guān)系網(wǎng)絡(luò)）等。需要注意的問題包括：樣本代表性和數(shù)量、測量工具的信度和效度、數(shù)據(jù)收集過程的客觀性、處理缺失值和異常值、確保數(shù)據(jù)的保密性和隱私保護(hù)。3.品牌形象模糊性：指品牌在消費(fèi)者心中缺乏清晰、獨(dú)特、差異化的定位，與其他品牌界限模糊，導(dǎo)致品牌識(shí)別度和忠誠度下降。運(yùn)用數(shù)學(xué)工具分析：可使用聚類分析，若分析結(jié)果顯示消費(fèi)者群體在品牌形象維度上的分布呈模糊重疊狀態(tài)，而非清晰的分離，則表明形象模糊性較高；或使用主成分分析，若提取出的主成分解釋了大部分方差，但主要反映的是多個(gè)原始形象維度的混合，而非某個(gè)單一、獨(dú)特的形象維度，也暗示形象模糊。五、計(jì)算題模型建立思路：可以將此問題視為一個(gè)受約束的最優(yōu)化問題。目標(biāo)函數(shù)是“創(chuàng)新性”維度的得分（可設(shè)為X1的一個(gè)線性組合或直接用X1代表其貢獻(xiàn)）的期望值或最大化，約束條件包括所有維度的得分（或綜合得分）滿足一定的均衡性要求（例如，各維度得分與均值之差的平方和最小，或各維度權(quán)重之和為1且權(quán)重非負(fù)等），并考慮成本約束（若廣告投入等成本是相關(guān)聯(lián)的）?？赡苌婕暗年P(guān)鍵數(shù)學(xué)概念或方法包括：線性規(guī)劃（若約束和目標(biāo)函數(shù)均為線性）、目標(biāo)規(guī)劃（若有多重或沖突的目標(biāo)）、約束優(yōu)化、加權(quán)求和、協(xié)方差矩陣分析等。六、應(yīng)用題模型設(shè)計(jì)思路：可采用列聯(lián)表分析或卡方檢驗(yàn)。首先，將收集到的100條帖子和對(duì)應(yīng)的品牌形象感知數(shù)據(jù)整理成二維交叉分類頻數(shù)表（行表示帖子類型，列表示品牌形象感知）。分析步驟：1）計(jì)算各單元格的期望頻數(shù)；2）計(jì)算卡方統(tǒng)計(jì)量χ2，公式為χ