2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫——數(shù)論中的素?cái)?shù)分布與同余數(shù)理論考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、填空題（每空4分，共20分）1.若整數(shù)a除以整數(shù)b（b≠0）的余數(shù)為3，則a除以2b的余數(shù)是______。2.同余式5x≡7(mod12)的一個(gè)解是x=______(mod12)。3.歐拉函數(shù)φ(30)的值等于______。4.根據(jù)素?cái)?shù)定理，當(dāng)n趨于無窮大時(shí)，小于n的素?cái)?shù)π(n)與n除以ln(n)的比值π(n)/[n/ln(n)]趨近于______。5.滿足同余式x2≡1(mod13)的整數(shù)x共有______個(gè)。二、選擇題（每小題5分，共20分。請將正確選項(xiàng)的字母填在題后括號(hào)內(nèi)）1.下列哪個(gè)整數(shù)一定是素?cái)?shù)？(A)101(B)111(C)121(D)1312.同余式3x≡5(mod8)與同余式x≡3(mod8)是否有相同的解？(A)有(B)沒有(C)可能有，可能沒有(D)無法確定3.如果a與b互素，且a|c，b|c，那么ab一定______。(A)|c(B)不一定|c(C)|c2(D)不一定|c24.設(shè)p是素?cái)?shù)，則(p-1)!+1≡______(modp)。(A)0(B)1(C)p-1(D)p三、計(jì)算題（每小題8分，共32分）1.解同余方程組：3x+5y≡1(mod11)2x-y≡4(mod11)2.計(jì)算21??(mod13)。3.求滿足x≡3(mod5)且x≡2(mod7)的最小正整數(shù)x。4.計(jì)算歐拉函數(shù)φ(105)。四、證明題（每小題10分，共20分）1.設(shè)a≡b(modm)，證明a2≡b2(modm)。2.若p是素?cái)?shù)，證明對于任意整數(shù)a，有a2≡1(modp)當(dāng)且僅當(dāng)a≡1(modp)或a≡-1(modp)。---試卷答案一、填空題1.32.53.84.15.4二、選擇題1.D2.A3.A4.B三、計(jì)算題1.解：由2x-y≡4(mod11)得y≡2x-4(mod11)。代入3x+5y≡1(mod11)得3x+5(2x-4)≡1(mod11)。即13x-20≡1(mod11)，即2x-9≡1(mod11)。即2x≡10(mod11)，即x≡5(mod11)。代回y≡2x-4(mod11)得y≡2*5-4(mod11)，即y≡6(mod11)。所以方程組的解為x≡5(mod11),y≡6(mod11)。2.解：由于2?≡1(mod13)（由費(fèi)馬小定理，212≡1(mod13)，且100=25*4），所以21??=(2?)2?≡12?≡1(mod13)。3.解：方法一：用迭代法或擴(kuò)展歐幾里得算法求乘法逆元。7*3=21≡1(mod5)，所以3的逆元是7(mod5)。x≡2(mod7)兩邊乘以7得7x≡14(mod7)。所以x≡14*7*3(mod35)≡294(mod35)≡29(mod35)。方法二：由x≡3(mod5)得x=5k+3。代入x≡2(mod7)得5k+3≡2(mod7)，即5k≡-1(mod7)≡6(mod7)。3*5≡15≡1(mod7)，所以k≡3*6(mod7)≡18(mod7)≡4(mod7)。k=7m+4，所以x=5(7m+4)+3=35m+23。最小正整數(shù)x為23。4.解：105=3*5*7。φ(105)=φ(3)*φ(5)*φ(7)=(3-1)*(5-1)*(7-1)=2*4*6=48。四、證明題1.證明：由a≡b(modm)知，存在整數(shù)k使得a=b+km。兩邊平方得a2=(b+km)2=b2+2bkm+(km)2。因?yàn)?km)2是m的倍數(shù)，所以a2-b2=b2+2bkm+(km)2-b2=2bkm+(km)2是m的倍數(shù)。即a2≡b2(modm)。2.證明：必要性：若a2≡1(modp)，則a2-1≡0(modp)，即p|(a2-1)。a2-1=(a-1)(a+1)。因?yàn)閜是素?cái)?shù)，所以p|(a-1)或p|(a+1)。若p|(a-1)，則a≡1(modp)。若p|(a+1)，則a≡-1(modp)。故a≡1(modp)或a≡-1(modp)。