2025年大學(xué)《物理學(xué)》專業(yè)題庫——電磁學(xué)中的安培環(huán)路定律考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題3分，共15分。請將正確選項的字母填在括號內(nèi)。）1.安培環(huán)路定律∮B·dl=μ?I_enc的適用條件主要是（）。A.任何電場和磁場B.僅適用于靜止電荷產(chǎn)生的磁場C.僅適用于穩(wěn)恒電流產(chǎn)生的磁場D.僅適用于均勻磁場2.對于無限長、通有穩(wěn)恒電流I的直導(dǎo)線，為利用安培環(huán)路定律最方便地計算磁場，應(yīng)選擇的安培環(huán)路是（）。A.以導(dǎo)線為中心的任意半徑的圓形路徑B.包含導(dǎo)線的任意矩形路徑C.不包含導(dǎo)線的任意閉合路徑D.以上路徑均不能方便地應(yīng)用安培環(huán)路定律3.一無限大均勻載流平面，其面電流密度為J_s（沿垂直紙面向外的方向）。在平面附近選擇一個矩形安培環(huán)路，一邊平行于電流方向，長度為L，且靠近平面。該環(huán)路上的磁場積分∮B·dl的值等于（）。A.0B.μ?J_sLC.-μ?J_sLD.μ?J_s/(2πL)4.一密繞長直螺線管，單位長度匝數(shù)為n，通有穩(wěn)恒電流I。若管內(nèi)介質(zhì)磁導(dǎo)率為μ，則管內(nèi)靠近中心處的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B等于（）。A.μ?nIB.μnIC.μ?nI/2D.μnI/25.在應(yīng)用安培環(huán)路定律求解磁場時，以下說法正確的是（）。A.環(huán)路上各點磁感應(yīng)強(qiáng)度B必須處處相等B.環(huán)路必須圍繞電流C.安培環(huán)路定律可以用來計算任何形狀電流的磁場D.選擇合適的環(huán)路可以大大簡化磁場計算二、填空題（每小題4分，共20分。請將答案填在橫線上。）6.安培環(huán)路定律的微分形式為________，它揭示了磁場強(qiáng)度與電流密度之間的聯(lián)系。7.若安培環(huán)路定律寫成∮B·dl=μ?(I_enc+ε?dΦ_E/dt)，則它適用于________電流，其中新增項ε?(dΦ_E/dt)與________相關(guān)。8.對于一個通有電流I的細(xì)環(huán)，在環(huán)心處的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B=________（假設(shè)環(huán)半徑為R，且電流為恒定電流）。9.在一個通有穩(wěn)恒電流的無限長圓柱導(dǎo)體內(nèi)部（假設(shè)電流沿軸線流動且分布均勻），距離軸線r處的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B=________。10.若一個閉合環(huán)路不圍繞任何凈電流，則應(yīng)用安培環(huán)路定律計算該環(huán)路上的磁場積分∮B·dl的值等于________。三、計算題（共65分。請寫出詳細(xì)的解題步驟。）11.（15分）一半徑為R的無限長圓柱形導(dǎo)體，通有沿軸線方向的穩(wěn)恒電流I，電流在其橫截面內(nèi)均勻分布。求：（1）圓柱體內(nèi)（r<R）距離軸線r處的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B；（2）圓柱體外部（r≥R）距離軸線r處的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B。12.（20分）一無限大平面載流薄板，沿垂直于板面的方向通有均勻的面電流密度J_s（單位面積上的電流）。求：（1）板兩側(cè)靠近板的區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小和方向；（2）若以該平面為邊界，取一個閉合的矩形安培環(huán)路，其中一邊平行于電流方向，長度為L，且位于板的一側(cè)，計算此環(huán)路上的磁場積分∮B·dl。13.（30分）一個密繞的螺線管，長度為L（L遠(yuǎn)大于其直徑），共繞N匝線圈，通有穩(wěn)恒電流I。假設(shè)螺線管內(nèi)部磁場是均勻的，且方向沿螺線管軸線。求：（1）螺線管內(nèi)部軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度B；（2）若該螺線管的一小部分（長度為l<L）發(fā)生局部變形，導(dǎo)致其內(nèi)部的磁場不再是均勻的，但在軸線上的磁場仍然可以近似看作均勻，只是大小略有改變。試討論此時螺線管軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B'與原均勻磁場大小B之間的關(guān)系（定性分析即可，無需具體計算公式）。試卷答案一、選擇題1.C2.A3.B4.B5.D二、填空題6.?×B=μ?J7.動態(tài)（非穩(wěn)恒），位移電流8.μ?I/(2πR)9.μ?rJ(其中J=I/πR2為電流密度)10.0三、計算題11.解析思路：（1）圓柱體內(nèi)r<R：由于電流分布和幾何形狀具有軸對稱性，磁場B也必然具有軸對稱性，即空間各點B的大小僅與該點到軸線的距離r有關(guān)，方向沿徑向。選擇以軸線為圓心、半徑為r的圓形路徑作為安培環(huán)路。由安培環(huán)路定律：∮B·dl=B∮dl=B(2πr)=μ?I_enc。穿過此環(huán)路所包圍截面的電流I_enc=(πr2/πR2)*I=Ir2/R2。代入得B*2πr=μ?*Ir2/R2。解得B(r)=μ?Ir2/(2πR2)。（2）圓柱體外r≥R：同樣由于對稱性，選擇以軸線為圓心、半徑為r的圓形路徑作為安培環(huán)路。穿過此環(huán)路所包圍截面的電流I_enc=I（整個導(dǎo)體的電流）。代入安培環(huán)路定律：B*2πr=μ?I。解得B(r)=μ?I/(2πr)。12.解析思路：（1）根據(jù)右手定則，無限大平面電流兩側(cè)的磁場方向垂直于平面，且指向相反。選擇一個矩形安培環(huán)路，一邊平行于電流方向（長度為L），位于板的一側(cè)，另三邊垂直于電流方向。由對稱性可知，垂直于電流方向的兩邊上的磁場B大小相等，方向相反，其線積分貢獻(xiàn)相消（B*L-0=0）。平行于電流方向的兩邊位于不同側(cè)，磁場大小相等，方向相反。設(shè)板一側(cè)的磁場大小為B，則另一側(cè)為-B。其線積分貢獻(xiàn)為-B*L+B*L=0。似乎結(jié)果為零，但這是錯誤的，必須重新審視環(huán)路選擇或定律應(yīng)用。更準(zhǔn)確的分析是：考慮一個矩形環(huán)路，一邊長L平行于電流，位于板上方，另一邊長L平行于電流，位于板下方，中間兩邊垂直于電流?！覤·dl=(B上*L)+(B下*L)=B上L+B下L。由高斯磁定律知，穿過此環(huán)路的凈電流為零（一半流入，一半流出），但安培環(huán)路定律在此處不直接給出結(jié)果為零，需更細(xì)致分析。實際上，對于無限大均勻電流，應(yīng)理解為B上=B下=B，且方向相反?！覤·dl=BL+(-B)L=0是錯誤理解。正確理解是，對于無限大平面電流，其產(chǎn)生的磁場是恒定的，方向垂直于平面。選擇穿過平面的矩形環(huán)路，長L，寬L?！覤·dl=B*L+(-B)*L=0是錯誤。應(yīng)理解為磁場在兩側(cè)大小相等，方向相反，環(huán)路積分是兩邊之和。更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奶幚硎强紤]微分形式?×B=μ?J。對于無限大平面電流J_s，有?×B=μ?J_sk?（或-k?，取決于電流方向）。在兩側(cè)，B=Bi?。?×B=(?Bz/?y-?By/?z)i?+(?Bx/?z-?Bz/?x)j?+(?By/?x-?Bx/?y)k?=0i?+0j?+(?By/?x-?Bx/?y)k?=μ?J_sk?。由于B只有z分量，且對稱性，?By/?x=0,?Bx/?y=0。所以?Bz/?x=μ?J_s。在板上方，x>0，Bz=B。?B/?x=μ?J_s。B=μ?J_sx+C1。由于x=0時B=0，得C1=0。B=μ?J_sx。在板下方，x<0，Bz=B。?B/?x=μ?J_s。B=μ?J_sx+C2。由于x=0時B=0，得C2=0。B=μ?J_sx。所以，板上方磁場B=μ?J_sx，方向垂直紙面向里；板下方磁場B=μ?J_sx，方向垂直紙面向外。大小均為μ?J_sx。取x為L，B=μ?J_sL。方向上、下相反。所以，計算平行于電流的兩邊積分時，應(yīng)分別考慮。若環(huán)路一邊在上方B=μ?J_sL，一邊在下方B=-μ?J_sL，積分∮B·dl=(μ?J_sL)+(-μ?J_sL)=0。這看似矛盾，但說明在無限大平面電流模型下，用安培環(huán)路定律直接求兩側(cè)有限長度L的積分結(jié)果為零，這揭示了安培環(huán)路定律在此模型的局限性，它主要用于計算無限大電流產(chǎn)生的均勻磁場。更常用的表述是兩側(cè)磁場大小為μ?J_s/2，方向相反。（2）計算矩形環(huán)路上的積分。環(huán)路：上邊（x=L,0≤y≤L），B=μ?J_sL，dl=dy，方向沿y正。積分貢獻(xiàn)B*L=μ?J_sL2。下邊（x=-L,0≤y≤L），B=-μ?J_sL，dl=dy，方向沿y負(fù)。積分貢獻(xiàn)-B*L=-(-μ?J_sL)*L=μ?J_sL2。兩側(cè)貢獻(xiàn)相加為2*μ?J_sL2。左右兩邊（y=0或y=L,-L≤x≤L），B=0（因為對稱性或積分沿x方向，B與dl垂直）。積分貢獻(xiàn)為0。所以，矩形環(huán)路上的總積分∮B·dl=2*μ?J_sL2。13.解析思路：（1）對于理想密繞長直螺線管（L>>直徑），假設(shè)電流均勻分布，管內(nèi)磁場近似為均勻，且只存在于管內(nèi)，方向沿軸線。選擇一條沿軸線方向的直線作為安培環(huán)路，其長度為l。由于管內(nèi)磁場B沿軸線方向且大小處處相等，B=B?z。環(huán)路上的線元dl也沿z方向。所以∮B·dl=∫Bdl=∫B?zdz=B?z*∫dz=B?z*l。根據(jù)安培環(huán)路定律：∮B·dl=μ?I_enc。穿過環(huán)路所包圍截面的總電流I_enc=n*l*I（n為單位長度匝數(shù)，l為環(huán)路長度，I為總電流）。代入得B?z*l=μ?*n*l*I。解得B?z=μ?nI。即螺線管內(nèi)部軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B=μ?nI。（2）若螺線管局部變形，內(nèi)部磁場不再是均勻的。但題目假設(shè)軸線上的磁場仍然可以近似看作均勻，只是大小改變。這意味著軸線上各點的磁場分量（沿軸線方向）平均值保持不變。安培環(huán)路定律∮B·dl=μ?I_enc是基于環(huán)流與穿過環(huán)路的凈電流的關(guān)系。只要穿過環(huán)路所包圍體積的凈電流I_enc不變，環(huán)路上的積分值∮B·dl也就不變。因此，即使內(nèi)部磁場分布發(fā)生擾動，只要總匝數(shù)n和總電流I（以及因此的凈電流I_enc）不變，沿軸線的總環(huán)流∮B_along_axisdl仍然等