2025年高等數(shù)學無窮級數(shù)測試題一、單項選擇題（每題4分，共20分）下列級數(shù)中，收斂的是（）A.(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n})B.(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2})C.(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}})D.(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\logn})若級數(shù)(\sum_{n=1}^{\infty}a_n)收斂，則下列結論正確的是（）A.(\lim_{n\to\infty}a_n=0)B.(\lim_{n\to\infty}a_n>0)C.(\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|)必收斂D.(\sum_{n=1}^{\infty}a_n^2)必收斂等比級數(shù)(\sum_{n=0}^{\infty}ar^n)（(a\neq0)）的收斂條件是（）A.(|r|>1)B.(|r|<1)C.(|r|=1)D.(r>0)級數(shù)(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}})的收斂性為（）A.絕對收斂B.條件收斂C.發(fā)散D.無法判斷冪級數(shù)(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n})的收斂半徑是（）A.0B.1C.2D.(\infty)二、填空題（每題5分，共25分）級數(shù)(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)})的前(n)項和(S_n=)__________，該級數(shù)的和(S=)__________。若級數(shù)(\sum_{n=1}^{\infty}u_n)收斂，且(u_n>0)，則(\lim_{n\to\infty}u_n=)________；若(\lim{n\to\infty}u_n=0)，則級數(shù)(\sum{n=1}^{\infty}u_n)__________（填“一定收斂”“一定發(fā)散”或“不一定收斂”）。冪級數(shù)(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x-2)^n}{3^n})的收斂區(qū)間是__________。函數(shù)(f(x)=e^x)的麥克勞林級數(shù)展開式為__________，其收斂域為__________。傅里葉級數(shù)(\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cosnx+b_n\sinnx))中，系數(shù)(a_n)的計算公式為(a_n=)__________（周期為(2\pi)的函數(shù)(f(x))）。三、解答題（每題10分，共50分）1.判定下列級數(shù)的收斂性（每題5分）（1）(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n})（2）(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n(n+1)}})解析：（1）使用比值判別法：設(u_n=\frac{n}{2^n})，則(\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2^{n+1}}\cdot\frac{2^n}{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2n}=\frac{1}{2}<1)，故級數(shù)收斂。（2）使用比較判別法：由于(\frac{1}{\sqrt{n(n+1)}}>\frac{1}{n+1})，而(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+1})發(fā)散，故原級數(shù)發(fā)散。2.求冪級數(shù)(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n\cdot2^n})的收斂半徑、收斂區(qū)間及和函數(shù)。解析：（1）收斂半徑：設(u_n=\frac{1}{n\cdot2^n})，則(R=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{u_n}{u_{n+1}}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)\cdot2^{n+1}}{n\cdot2^n}=2)。（2）收斂區(qū)間：當(x=2)時，級數(shù)為(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n})（發(fā)散）；當(x=-2)時，級數(shù)為(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n})（收斂），故收斂區(qū)間為([-2,2))。（3）和函數(shù)：設(S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n\cdot2^n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x/2)^n}{n}=-\ln\left(1-\frac{x}{2}\right))（(-2\leqx<2)）。3.將函數(shù)(f(x)=\frac{1}{1+x})展開為(x)的冪級數(shù)，并寫出收斂域。解析：已知(\frac{1}{1-t}=\sum_{n=0}^{\infty}t^n)（(|t|<1)），令(t=-x)，則：[f(x)=\frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-x)^n=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^n]收斂域為(|x|<1)，即((-1,1))。4.判定級數(shù)(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^nn}{n+1})的收斂性，若收斂，說明是絕對收斂還是條件收斂。解析：（1）先判斷絕對收斂：(\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^nn}{n+1}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n+1})，由于(\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}=1\neq0)，故絕對收斂不成立。（2）再判斷條件收斂：原級數(shù)為交錯級數(shù)，(\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}=1\neq0)，不滿足萊布尼茨判別法的條件，故級數(shù)發(fā)散。5.設函數(shù)(f(x))是周期為(2\pi)的周期函數(shù)，且在([-\pi,\pi))上的表達式為(f(x)=x)，求其傅里葉級數(shù)的系數(shù)(a_0)、(a_n)和(b_n)（(n\geq1)）。解析：（1）(a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}xdx=0)（奇函數(shù)在對稱區(qū)間積分值為0）。（2）(a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x\cosnxdx=0)（奇函數(shù)乘偶函數(shù)為奇函數(shù)，積分值為0）。（3）(b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x\sinnxdx=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x\sinnxdx=\frac{2(-1)^{n+1}}{n})（分部積分法計算）。四、證明題（每題15分，共30分）1.證明：級數(shù)(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2})收斂，且其和(S=\frac{\pi^2}{6})。證明：（1）收斂性：由(p)-級數(shù)判別法，(p=2>1)，故(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2})收斂。（2）和的計算：利用傅里葉級數(shù)展開。設(f(x)=x^2)（(-\pi\leqx\leq\pi)），其傅里葉級數(shù)為：[x^2=\frac{\pi^2}{3}+4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}\cosnx]令(x=\pi)，得(\pi^2=\frac{\pi^2}{3}+4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2})，解得(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6})。2.設正項級數(shù)(\sum_{n=1}^{\infty}a_n)收斂，證明級數(shù)(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{a_n}}{n})也收斂。證明：由基本不等式(\frac{\sqrt{a_n}}{n}\leq\frac{1}{2}\left(a_n+\frac{1}{n^2}\right))，已知(\sum_{n=1}^{\infty}a_n)收斂，且(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2})收斂，故由比較判別法的極限形式，級數(shù)(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{a_n}}{n})收斂。五、綜合應用題（每題10分，共20分）1.某公司計劃投資一個項目，預計第(n)年的收益為(a_n=\frac{100}{n(n+1)})萬元（(n=1,2,3,\cdots)），求該項目的總收益現(xiàn)值（假設年利率為(r=0)，即不考慮時間價值）。解析：總收益(S=\sum_{n=1}^{\infty}a_n=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{100}{n(n+1)}=100\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=100\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)=100)萬元。2.利用冪級數(shù)展開式近似計算積分(\int_0^1e^{-x^2}dx)，要求誤差不超過(10^{-4})。解析：已知(e^t=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^n}{n!})，令(t=-x^2)，則：[e^{-x^2}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^{2n}}{n!}]逐項積分得：[\int_0^1e^{-x^2}dx=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}\int_0^1x^{2n}dx=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!(2n+1)}]取前4項：(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{10}-\frac{1}{42}\approx0.7475)，誤差(R_4<\frac{1}{9!\cdot17}<10^{-4})，故近似值為(0.7475)。六、附加題（10分）設級數(shù)