專題7.4空間直線、平面的垂直（舉一反三講義）【全國通用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1垂直關(guān)系的有關(guān)命題的判斷】 5【題型2證明線線垂直】 5【題型3線面垂直的判定】 7【題型4線面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用】 8【題型5面面垂直的判定】 10【題型6面面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用】 12【題型7平行、垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用】 14【題型8垂直關(guān)系的探索性問題】 161、空間直線、平面的垂直考點要求真題統(tǒng)計考情分析(1)理解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系(2)掌握直線與平面、平面與平面垂直的判定與性質(zhì)，并會簡單應(yīng)用2023年新高考Ⅱ卷：第20題，12分2024年新高考Ⅱ卷：第17題，15分2025年全國一卷：第9題，6分、第17題，15分2025年北京卷：第14題，5分2025年天津卷：第17題，15分空間直線、平面的垂直是高考的重點、熱點內(nèi)容.從近幾年的高考情況來看，主要分三方面進行考查，一是空間中線面垂直關(guān)系的命題的真假判斷，常以選擇題、填空題的形式考查，難度較易；二是空間線線、線面、面面垂直的證明以及垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，一般以解答題的第一小問的形式考查，難度中等；三是線面平行、垂直關(guān)系的存在性問題，難度中等；解題時要靈活運用直線、平面的垂直的判定與性質(zhì)，復習備考時要強化定理條件的嚴謹性，避免忽略定理核心條件導致失誤.知識點1線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理1．直線與平面垂直(1)定義如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直，記作l⊥α.直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面.直線與平面垂直時，它們唯一的公共點P叫做垂足.(2)點到平面的距離過一點作垂直于已知平面的直線，則該點與垂足間的線段，叫做這個點到該平面的垂線段，垂線段的長度叫做這個點到該平面的距離.2．直線與平面垂直的判定定理(1)自然語言：如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直．(2)圖形語言：如圖所示．(3)符號語言：a?α，b?α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b?l⊥α.該定理可簡記為“若線線垂直，則線面垂直”.3．直線與平面垂直的性質(zhì)定理(1)直線與平面垂直的性質(zhì)定理①自然語言：垂直于同一個平面的兩條直線平行．②圖形語言：如圖所示．③符號語言：a⊥α，b⊥α?a∥b.

(2)性質(zhì)定理的作用

①由線面垂直證明線線平行.

②構(gòu)造平行線.知識點2面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理1．面面垂直的定義及判定定理(1)平面與平面垂直的定義一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.平面α與β垂直，記作α⊥β.(2)兩個平面互相垂直的畫法

如圖，畫兩個互相垂直的平面時，通常把表示平面的兩個平行四邊形的一組邊畫成垂直.(3)平面與平面垂直的判定定理①自然語言如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直.②圖形語言③符號語言.該定理可簡記為“若線面垂直，則面面垂直”.2．平面與平面垂直的性質(zhì)定理(1)平面與平面垂直的性質(zhì)定理①自然語言兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直.②圖形語言③符號語言.(2)性質(zhì)定理的作用①證明線面垂直、線線垂直；②構(gòu)造面的垂線.知識點3空間中的垂直關(guān)系的判定方法1．直線與直線垂直的判定方法(1)定義法：如果兩條異面直線所成的角是直角，那么我們就說這兩條異面直線互相垂直.直線a與直線b垂直，記作a⊥b；(2)利用線面垂直的性質(zhì)定理；(3)利用面面垂直的性質(zhì)定理；2．直線與平面垂直的判定方法(1)定義法：利用定義：若一條直線垂直于一個平面內(nèi)的任意一條直線，則這條直線垂直于這個平面(不常用)；(2)利用線面垂直的判定定理：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么這條直線就和這個平面垂直(常用方法);(3)可作定理用的正確命題：如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面(選擇、填空題常用)；(4)面面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于這兩個平面的交線的直線垂直于另一個平面(常用方法)；(5)面面平行的性質(zhì)：如果一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，則這條直線也垂直于另一個平面；(6)面面垂直的性質(zhì)：若兩相交平面同時垂直于第三個平面，則這兩個平面的交線垂直于第三個平面.3．面面垂直判定的兩種方法與一個轉(zhuǎn)化(1)兩種方法：①面面垂直的定義；②面面垂直的判定定理.(2)一個轉(zhuǎn)化：在已知兩個平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理進行轉(zhuǎn)化.在一個平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.4．平面與平面垂直的其他性質(zhì)與結(jié)論

(1)如果兩個平面互相垂直，那么經(jīng)過第一個平面內(nèi)一點垂直于第二個平面的直線在第一個平面內(nèi).(2)如果兩個平面互相垂直，那么與其中一個平面平行的平面垂直于另一個平面.(3)如果兩個平面互相垂直，那么其中一個平面的垂線平行于另一個平面或在另一個平面內(nèi).(4)如果兩個相交平面都垂直于第三個平面，那么它們的交線垂直于第三個平面.(5)三個兩兩垂直的平面的交線也兩兩垂直.知識點4空間中位置關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化1．線、面垂直位置關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化2．平行關(guān)系與垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化【方法技巧與總結(jié)】1．三垂線定理平面內(nèi)的一條直線如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.2．三垂線定理的逆定理平面內(nèi)的一條直線如果和穿過該平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在該平面內(nèi)的射影垂直.3．兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線也垂直于第三個平面.【題型1垂直關(guān)系的有關(guān)命題的判斷】【例1】（2025·重慶·二模）已知m,n,a,b是兩條不重合的直線，α，β是兩個不重合的平面，則下列說法正確的是（

）A．若m⊥α,n//β,α⊥β，則m⊥nB．若m⊥n，m⊥α，n//β，則α⊥βC．若m//n，m//α，n//β，則α//βD．若a//α，a?β，α∩β=b，則a//b【變式1-1】（2025·重慶·三模）已知直線m，n和平面α，其中m?α，則“m⊥n”是“n⊥α”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【變式1-2】（2025·天津濱海新·三模）已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（

）A．若m//α，n?α，則m//n B．若m//α，m//n，則n//αC．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β D．若α⊥β，α∩β=l，m⊥l，則m⊥α【變式1-3】（2025·天津和平·二模）已知a，b是空間兩條不同的直線，α，β，γ為三個不同的平面，則下列命題正確的為（

）A．若α∥β，a?α，b?β，則a∥b B．若a∥αC．若α∩β=a，γ∩β=b，a∥b，則α∥γ D．若α⊥β【題型2證明線線垂直】【例2】（2025高二下·湖南株洲·學業(yè)考試）在正方體ABCD?A1B1C1D1中，連接AC，A．異面且垂直 B．異面但不垂直C．相交且垂直 D．平行【變式2-1】（24-25高二上·貴州·階段練習）如圖，在長方體ABCD?A′B′C′D

A．平行 B．相交 C．異面且垂直 D．異面但不垂直【變式2-2】（24-25高二上·云南昭通·期中）如圖所示，在正方體ABCD?A1B

(1)AD(2)AD1與【變式2-3】（24-25高一下·吉林長春·期末）如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB⊥AC(1)求證：AB⊥(2)若AA1=3，AB【題型3線面垂直的判定】【例3】（2025·上海青浦·模擬預測）如圖，已知四棱錐S?ABCD的底面為菱形，∠BAD=π(1)求證：AC⊥平面BDS；(2)若AB=2,BS=3,DS=1，求四棱錐【變式3-1】（2025·山西·三模）如圖所示，在三棱錐A?BCD中，AB=CD，AC=AD=BC=BD，BC=2AB，點E，F(xiàn)，G分別在棱BC，AC，AD上運動，且AB//平面EFG，CD//平面EFG，M，N分別是線段CD和AB的中點．(1)證明：直線MN⊥平面EFG；(2)當三角形EFG面積的最大值為12時，求三棱錐A?BCD【變式3-2】（2024·陜西安康·模擬預測）如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，且CB⊥BP，CD⊥DP，PA=2，點E，

(1)求證：PA⊥平面ABCD；(2)求點P到平面AEF的距離.【變式3-3】（2025·四川雅安·三模）四棱錐P?ABCD中，AP=AC，底面ABCD為等腰梯形，CD∥AB，AB=2CD=2BC=2，E為線段PC的中點，PC⊥CB.(1)證明：AE⊥平面PCB；(2)若PB=2，求直線PD與平面ABCD所成角的正弦值.【題型4線面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用】【例4】（2025·上海楊浦·模擬預測）如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為直角梯形，∠BAD=90°，AD//BC，AB=2，AD=1,PA=BC=4,PA⊥平面(1)求證:直線BD⊥PC；(2)求直線PC與平面PAB所成角的大小.【變式4-1】（2025·湖南長沙·一模）在多面體ABCDE中，已知AB=BC=2,AC=22,DA=DB=EB=EC=5，且平面BCE與平面DAB均垂直于平面ABC,F(1)證明：DE∥AC；(2)求直線BF與平面ACE所成角的正弦值.【變式4-2】（2025·全國·模擬預測）如圖所示，平面四邊形ABCD中，AB=8，CD=33，ED=9，∠ADC=90°，∠BAD=30°，點E,F滿足AE=23ED,AF=3(1)證明：EF⊥PD；(2)求直線CD與平面PBF所成角的余弦值．【變式4-3】（2025·全國·模擬預測）如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AB//CD，∠BAD=90°，2AB=AD=DC=DP=2，PA=22(1)若M，F(xiàn)分別是PA，BC的中點，證明：MF⊥AD；(2)求二面角P?BC?D的余弦值.【題型5面面垂直的判定】【例5】（2025·江西南昌·二模）在三棱柱ABC?A1B1C1中，側(cè)面

(1)求證：平面ACC1A(2)求二面角B?AC【變式5-1】（2025·廣東廣州·模擬預測）如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為矩形，AB=2，BC=4，側(cè)面PAD為等邊三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E為PB中點．(1)證明：平面PAD⊥平面PAB；(2)求平面EAC與平面ACD夾角的余弦值．【變式5-2】（2025·海南三亞·一模）在多面體A1B1?ABC中，ABB1A1為平行四邊形，(1)證明：平面B1BC⊥平面(2)已知多面體A1B1?ABC的體積為23【變式5-3】（2025·安徽馬鞍山·模擬預測）如圖，四棱錐P?ABCD的底面為正方形，AB=AP=2,PA⊥平面ABCD，E，F(xiàn)分別是線段PB，PD的中點，G是線段PC上的一點．(1)求證：平面EFG⊥平面PAC；(2)若直線AG與平面AEF所成角的正弦值為13，求CG【題型6面面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用】【例6】（2025·全國·模擬預測）如圖，四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD//BC，CD⊥AD，AD=CD=2BC=2，平面PAD⊥平面ABCD.且△PAD是以P為直角頂點的等腰直角三角形.(1)證明：CD⊥平面PAD；(2)求二面角A?PB?C的正弦值.【變式6-1】（2025·福建廈門·三模）在三棱錐P?ABC中，AC⊥BC，AP⊥CP，AP=CP=2，D是AB的中點，且平面PAC⊥平面ABC.(1)證明：AP⊥平面BCP；(2)已知平面α經(jīng)過直線PC，且AB//α，直線PD與平面α所成角的正弦值為63，求三棱錐P?ABC【變式6-2】（2025·湖北武漢·三模）如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，平面A1AC⊥平面A(1)證明：A1B⊥平面(2)求BC(3)求平面AA1B【變式6-3】（2025·海南·模擬預測）如圖，在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD為矩形，平面ABCD⊥平面CDD1C1，(1)證明：D1O⊥平面(2)求平面AB1E【題型7平行、垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用】【例7】（24-25高二下·貴州畢節(jié)·期末）如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，CA=CB，P，Q，M分別是A1B，A．PM與QC1是異面直線 B．PQ//C．PQ⊥A1B【變式7-1】（2025高三·全國·專題練習）如圖，四面體P?ABC的棱長均相等，D，F(xiàn)分別為BC,PB的中點，點E滿足AE=12A．EF⊥BC B．PE⊥BCC．EF//平面PAC D．平面DEF⊥平面ABC【變式7-2】（24-25高二上·上海靜安·階段練習）如圖，已知四邊形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，且PA=2，M、N是線段PB、DC上的點，滿足BMMP(1)若λ=1，求證：直線MN//平面PDA；(2)是否存在實數(shù)λ，使直線MN同時垂直于直線PB，直線DC？如果有請求出λ的值，否則請說明理由.【變式7-3】（2025·甘肅蘭州·模擬預測）如圖，在四棱錐A?BCDE中，底面BCDE為矩形，側(cè)面ABC⊥底面BCDE，BC=2，CD=2，(1)求證：BE⊥平面ABC；(2)若F，G分別為棱CD，AE的中點，求證：GF∥平面ABC；(3)設(shè)△ABC為等邊三角形，求直線CE與平面ABE所成角的大?。绢}型8垂直關(guān)系的探索性問題】【例8】（24-25高一下·云南昭通·期末）如圖，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，(1)求點A到平面MBC(2)在棱BB1上是否存在點Q，使得AQ⊥平面BC【變式8-1】（24-25高一下·遼寧大連·期末）如圖，在四棱錐S?ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD,SA=SD=AD=2，四邊形ABCD為正方形，E,M分別為AD、BC的中點.(1)直接寫出圖中與EM平行的平面；(2)求證：平面SAD⊥平面SAB；(3)在棱SC上是否存在點N，使得平面DMN⊥平面ABCD?若存在，求三棱錐C?DMN體積；若不存在，說明理由.【變式8-2】（24-25高一下·遼寧沈陽·期末）如圖，四棱錐P?ABCD的底ABCD是正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，M是PD的中點．

(1)求證：AM⊥平面PCD；(2)求二面角M?AC?D的余弦值；(3)在棱PC上是否存在點Q，使平面BDQ⊥平面MAC成立？如果存在，求出PQQC【變式8-3】（24-25高一下·湖南衡陽·階段練習）如圖所示，在四棱錐E?ABCD，底面ABCD是正方形，AC與BD交于點O，EC⊥平面ABCD，AB=2(1)求證：BD⊥平面ACE；(2)求BE與平面ACE所成角的正弦值；(3)G是線段EO上一點，且滿足EGEO=μ，是否存在實數(shù)μ使CG⊥平面BDE？若存在求出一、單選題1．（2025·山東臨沂·模擬預測）已知l、m、n是直線，α是平面，且m?α，n//α，則“l(fā)⊥m，l⊥n”是“l(fā)⊥α”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件2．（2025·天津·二模）已知m,n為兩條不同的直線，α,β為兩個不同的平面，則下列命題中正確的是（

）A．m?α，n?α，m∥β，n∥β?α∥β C．m⊥α，m⊥n?n∥α D．n3．（2025·福建廈門·三模）在正方體ABCD?A1B1C1D1中，M為AB的中點，A．l//AC1 B．l⊥AC1 C．4．（2025·天津·二模）已知a，b是兩條直線，α，β是兩個平面．下列命題正確的是（

）A．若a⊥α，b⊥α，則a⊥b B．若a//α，a//β，α∩β=b，則a//bC．若a⊥α，a⊥β，則α⊥β D．若α⊥β，a//α，則a⊥β5．（2025·廣東·一模）已知α，β是兩個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，給出了下列命題：①若m⊥α，m?β，則α⊥β；②若m⊥n，m⊥α，則n//α；③若m//α，α⊥β，則m⊥β，④若α∩β=m，n//m，且n?α，n?β，則n//α，n//β（

）A．②④ B．①②④ C．①④ D．①③6．（2024·內(nèi)蒙古包頭·三模）如圖，已知正方形ABCD為圓柱的軸截面，AB=BC=2，E，F(xiàn)為上底面圓周上的兩個動點，且EF過上底面的圓心G，若AB⊥EF，則三棱錐A?BEF的體積為（

）

A．23 B．43 C．227．（2024·全國·模擬預測）如圖，四棱錐A?BCDE是棱長均為2的正四棱錐，三棱錐A?CDF是正四面體，G為BE的中點，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．點A,B,C,F共面 B．平面ABE//平面CDFC．FG⊥CD D．FG⊥平面ACD8．（2025·上海長寧·二模）如圖，等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，點E是邊AC的中點，點D是邊BC上一點（不與C重合），將三角形DCE沿DE逆時針翻折，點C的對應(yīng)點是C1，連接CC1，設(shè)θ為二面角C1?DE?CA．存在點D和θ，使得DC1⊥AC B．存在點D和C．存在點D和θ，使得BC1⊥DE D．存在點D和二、多選題9．（2025·湖北·模擬預測）設(shè)α，β是兩個平面，l是一條直線，則（

）A．若α//β，l⊥α，則l⊥β B．若α⊥β，l⊥α，則lC．若l//α，l⊥β，則α⊥β D．若l//α，l//β10．（2025·福建廈門·三模）如圖，一個漏斗的上面部分可視為長方體ABCD?A′B′C′D′，下面部分可視為正四棱錐A．A′O⊥AB B．AC．平面AA′P⊥平面BDP D．C11．（2025·甘肅白銀·模擬預測）在正三棱臺ABC?A1B1C1中，D，E，D1，E1分別是AB，BC，A．AC⊥BB1 B．AC//C．AB⊥平面D1E1ED D．若D三、填空題12．（2025·北京·高考真題）某科技興趣小組用3D打印機制作的一個零