2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的實(shí)踐考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題1.設(shè)事件A和B相互獨(dú)立，且P(A)>0,P(B)>0，則下列結(jié)論中正確的是（）A.事件A與事件B互斥B.事件A與事件C互斥（C為任意事件）C.P(A|B)=P(A)D.P(A∪B)=P(A)+P(B)2.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)，則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）A.F(x)是單調(diào)不減函數(shù)B.0≤F(x)≤1C.F(x)是右連續(xù)的D.P(a≤X≤b)=F(b)-F(a-)3.設(shè)隨機(jī)變量X的期望E(X)=2，方差D(X)=4，則隨機(jī)變量Y=3X-5的期望E(Y)和方差D(Y)分別為（）A.E(Y)=1,D(Y)=12B.E(Y)=1,D(Y)=4C.E(Y)=6,D(Y)=12D.E(Y)=6,D(Y)=44.設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且均服從參數(shù)為λ的泊松分布，則隨機(jī)變量Z=X+Y的分布是（）A.參數(shù)為λ的泊松分布B.參數(shù)為2λ的泊松分布C.參數(shù)為λ2的泊松分布D.參數(shù)為2λ2的泊松分布5.設(shè)X?,X?,...,X?是來(lái)自正態(tài)總體N(μ,σ2)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則統(tǒng)計(jì)量T=(X?-μ)/(S/√n)（其中X?為樣本均值，S為樣本標(biāo)準(zhǔn)差）服從的分布是（）A.N(0,1)B.t(n-1)C.χ2(n-1)D.F(n,1)二、填空題1.從一副撲克牌（52張，不含大小王）中有放回地抽取3次，每次抽取1張，則抽到3張紅桃的概率為_(kāi)______。2.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)={cx2,0≤x≤2;0,其他}，則常數(shù)c=_______，P(1≤X≤1.5)=_______。3.設(shè)隨機(jī)變量X和Y的協(xié)方差Cov(X,Y)=3，X的方差D(X)=4，Y的方差D(Y)=9，則X和Y的相關(guān)系數(shù)ρ(X,Y)=_______。4.設(shè)總體X服從參數(shù)為p的0-1分布，X?,X?,...,X?是來(lái)自X的樣本，則樣本均值X?的無(wú)偏估計(jì)量是_______，參數(shù)p的極大似然估計(jì)量是_______。三、計(jì)算題1.一個(gè)袋中有5個(gè)紅球和3個(gè)白球，從中不放回地依次抽取2個(gè)球，求第二次抽取到紅球的概率。2.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)={1/2,-1≤x≤1;0,其他}，求隨機(jī)變量Y=X2的分布函數(shù)F_Y(y)。3.從一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取30件，檢驗(yàn)其重量（單位：克），得到樣本均值X?=500.2，樣本標(biāo)準(zhǔn)差S=1.5。假設(shè)產(chǎn)品重量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，求總體均值μ的90%置信區(qū)間。四、應(yīng)用題1.某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品合格率為0.95，進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)時(shí)，每次隨機(jī)抽取5件產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)。如果檢測(cè)出至少有一件不合格，就認(rèn)為該批次產(chǎn)品不合格。求一批產(chǎn)品被判定為不合格的概率。2.研究某藥物的療效，隨機(jī)抽取10名患者服用該藥物后，記錄下他們的血壓變化量（單位：mmHg），數(shù)據(jù)如下：3,5,2,4,1,6,8,3,5,2。假設(shè)血壓變化量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，檢驗(yàn)該藥物是否顯著提高了患者血壓（α=0.05）。---試卷答案一、選擇題1.C2.D3.C4.B5.B二、填空題1.2744/163842.3/8,27/1283.1/34.X?,X?三、計(jì)算題1.解：方法一（利用古典概型）：樣本空間Ω包含的基本事件數(shù)為C(8,2)=28。事件“第二次抽取到紅球”包含的基本事件數(shù)為C(5,1)*C(5,1)+C(5,1)*C(3,1)=5*5+5*3=40。但更準(zhǔn)確的方法是直接計(jì)算概率：P(第二次抽紅)=P(第一次抽紅,第二次抽紅)+P(第一次抽白,第二次抽紅)=(5/8)*(4/7)+(3/8)*(5/7)=20/56+15/56=35/56=5/8。方法二（利用條件概率）：P(第二次抽紅)=P(第一次抽紅)*P(第二次抽紅|第一次抽紅)+P(第一次抽白)*P(第二次抽紅|第一次抽白)=(5/8)*(4/7)+(3/8)*(5/7)=20/56+15/56=35/56=5/8。答：P(第二次抽取到紅球)=5/8。2.解：Y=X2的取值范圍是[0,1]。當(dāng)y<0時(shí)，F(xiàn)_Y(y)=P(Y≤y)=P(X2≤y)=P(X2<y)=0。當(dāng)0≤y<1時(shí)，F(xiàn)_Y(y)=P(Y≤y)=P(X2≤y)=P(-√y≤X≤√y)=∫_{-√y}^{√y}f(x)dx=∫_{-√y}^{√y}(1/2)dx=(1/2)*[x]_{-√y}^{√y}=(1/2)*(√y-(-√y))=√y。當(dāng)y≥1時(shí)，F(xiàn)_Y(y)=P(Y≤y)=P(X2≤y)=P(-√y≤X≤√y)=P(-1≤X≤1)=1。故Y的分布函數(shù)為：F_Y(y)={0,y<0;√y,0≤y<1;1,y≥1}。3.解：由于樣本量n=30較大（n>30），且總體方差σ2未知，但樣本標(biāo)準(zhǔn)差S已知，可使用Z分布構(gòu)建置信區(qū)間。對(duì)于90%置信水平，α=1-0.90=0.10，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得Z_(α/2)=Z_0.05=1.645。置信區(qū)間為：X?±Z_(α/2)*(S/√n)=500.2±1.645*(1.5/√30)=500.2±1.645*(1.5/5.477)=500.2±1.645*0.273=500.2±0.449。故置信區(qū)間為(499.751,500.649)克。四、應(yīng)用題1.解：設(shè)X為5件產(chǎn)品中合格品的件數(shù)，X~B(5,0.95)。一批產(chǎn)品合格的概率即為X=5的概率。P(產(chǎn)品合格)=P(X=5)=C(5,5)*(0.95)?*(1-0.95)?=1*(0.95)?*1=0.95?。P(產(chǎn)品不合格)=1-P(產(chǎn)品合格)=1-0.95?。P(至少一件不合格)=1-P(產(chǎn)品合格)=1-0.95?=1-0.7738=0.2262。答：一批產(chǎn)品被判定為不合格的概率為0.2262。2.解：檢驗(yàn)假設(shè)H?:μ≤0(認(rèn)為藥物未顯著提高血壓)vsH?:μ>0(認(rèn)為藥物顯著提高血壓)。檢驗(yàn)水平α=0.05。由于X~N(μ,σ2)，未知σ2，用t檢驗(yàn)。計(jì)算樣本均值X?=(3+5+2+4+1+6+8+3+5+2)/10=40/10=4。計(jì)算樣本標(biāo)準(zhǔn)差S=√[Σ(X?-X?)2/(n-1)]=√[((3-4)2+(5-4)2+(2-4)2+(4-4)2+(1-4)2+(6-4)2+(8-4)2+(3-4)2+(5-4)2+(2-4)2)/9]=√[(1+1+4+0+9+4+16+1+1+4)/9]=√(41/9)=√4.555...≈2.133。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t=(X?-μ?)/(S/√n)=(4-0)/(2.133/√10)=