2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——數(shù)值代數(shù)與計(jì)算幾何的理論研究考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題：本大題共10小題，每小題2分，共20分。下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。請(qǐng)將正確選項(xiàng)的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)。1.在數(shù)值分析中，求解線性方程組\(Ax=b\)的直接方法是指經(jīng)過有限次運(yùn)算后能保證得到精確解的方法，下列方法中屬于直接方法的是（）。A.高斯消元法B.迭代法C.插值法D.曲線擬合2.對(duì)于線性方程組\(Ax=b\)，若系數(shù)矩陣\(A\)的條件數(shù)\(\kappa(A)\)很大，則該方程組（）。A.一定有唯一解B.一定有無窮多解C.解對(duì)初始數(shù)據(jù)的改變很敏感D.解對(duì)初始數(shù)據(jù)的改變不敏感3.在矩陣分解中，將矩陣\(A\)分解為一個(gè)下三角矩陣\(L\)和一個(gè)上三角矩陣\(U\)的乘積，稱為（）。A.QR分解B.Cholesky分解C.LU分解D.奇異值分解4.若矩陣\(A\)是對(duì)稱正定矩陣，則其Cholesky分解形式為\(A=LL^T\)，其中\(zhòng)(L\)是（）。A.下三角矩陣B.上三角矩陣C.對(duì)角矩陣D.對(duì)稱矩陣5.在插值理論中，插值節(jié)點(diǎn)數(shù)增加時(shí)，插值多項(xiàng)式的階數(shù)（）。A.增加B.減少C.不變D.可能增加也可能減少6.Lagrange插值和Newton插值在計(jì)算插值余項(xiàng)時(shí)，其表達(dá)形式（）。A.完全相同B.完全不同C.部分相同D.無法比較7.在計(jì)算幾何中，Bézier曲線是由一組控制頂點(diǎn)和（）定義的。A.曲率B.扭率C.權(quán)重D.導(dǎo)數(shù)8.在計(jì)算幾何中，B樣條曲線與Bézier曲線相比，其優(yōu)點(diǎn)之一是（）。A.計(jì)算更簡(jiǎn)單B.具有局部修改性C.曲線連續(xù)性較差D.控制頂點(diǎn)數(shù)較少9.在數(shù)值求解微分方程邊值問題的有限元方法中，將求解區(qū)域劃分為有限個(gè)單元，并在每個(gè)單元上使用（）近似求解。A.插值函數(shù)B.拉格朗日多項(xiàng)式C.特征值D.小波變換10.對(duì)于計(jì)算幾何中的凸包問題，格雷厄姆掃描算法的時(shí)間復(fù)雜度為（）。A.\(O(n)\)B.\(O(n\logn)\)C.\(O(n^2)\)D.\(O(n^3)\)二、填空題：本大題共10小題，每小題2分，共20分。請(qǐng)將答案填在題后的橫線上。1.數(shù)值線性代數(shù)中，矩陣范數(shù)的定義是\(\|\cdot\|\)滿足的四個(gè)性質(zhì)：非負(fù)性，絕對(duì)標(biāo)量齊次性，三角不等式和（）。2.在求解線性方程組\(Ax=b\)時(shí)，若系數(shù)矩陣\(A\)的行數(shù)和列數(shù)相等，且為正定矩陣，則可以使用（）方法直接求解。3.插值法的基本思想是在插值區(qū)間內(nèi)，構(gòu)造一個(gè)函數(shù)\(P(x)\)滿足在插值節(jié)點(diǎn)處\(P(x_i)=y_i\)，其中\(zhòng)(x_i\)是插值節(jié)點(diǎn)，\(y_i\)是對(duì)應(yīng)的插值點(diǎn)。4.根據(jù)Lagrange插值公式，若給定n個(gè)插值節(jié)點(diǎn)，則可以構(gòu)造出（）個(gè)線性無關(guān)的Lagrange插值基函數(shù)。5.在計(jì)算幾何中，Bézier曲線的度數(shù)是指控制頂點(diǎn)的（）。6.B樣條曲線具有優(yōu)良的幾何性質(zhì)，如光順性、局部修改性和（）。7.在有限元方法中，加權(quán)余量法的基本思想是將求解區(qū)域的余量在加權(quán)函數(shù)下積分并使其（）。8.計(jì)算幾何中，Delaunay三角剖分是一種特殊的三角剖分，其特點(diǎn)是每個(gè)三角形的（）最小。9.在計(jì)算幾何中，凸包是平面上一個(gè)點(diǎn)集的（）子集，其中包含該點(diǎn)集的所有凸多邊形。10.對(duì)于計(jì)算幾何中的Voronoi圖問題，其定義為平面上每個(gè)點(diǎn)與其最近（）點(diǎn)的距離最短。三、計(jì)算題：本大題共3小題，每小題10分，共30分。請(qǐng)寫出詳細(xì)的計(jì)算過程。1.已知線性方程組\(\begin{cases}x+2y-z=1\\2x-y+z=0\\-x+y+2z=-1\end{cases}\)，試用高斯消元法求解該方程組的解。2.給定插值節(jié)點(diǎn)\((x_0,y_0)\),\((x_1,y_1)\),\((x_2,y_2)\)，其中\(zhòng)(x_0\neqx_1\neqx_2\)，試用Lagrange插值公式構(gòu)造二次插值多項(xiàng)式\(P_2(x)\)并計(jì)算\(P_2(x_0)\)。3.已知控制頂點(diǎn)\(P_0(0,0)\),\(P_1(1,2)\),\(P_2(3,3)\),\(P_3(4,0)\)，試用Bézier曲線的定義公式計(jì)算Bézier曲線在參數(shù)\(t=0.5\)處的點(diǎn)的坐標(biāo)。四、論述題：本大題共2小題，每小題15分，共30分。請(qǐng)根據(jù)要求進(jìn)行論述。1.論述LU分解在數(shù)值求解線性方程組中的應(yīng)用及其優(yōu)缺點(diǎn)。2.結(jié)合具體例子，論述B樣條曲線在計(jì)算幾何中的優(yōu)勢(shì)及其應(yīng)用場(chǎng)景。試卷答案一、選擇題1.A解析：高斯消元法是一種直接方法，通過行變換將系數(shù)矩陣化為上三角矩陣，然后回代求解。迭代法如雅可比法、高斯-賽德爾法等屬于迭代方法。插值法和曲線擬合不屬于求解線性方程組的直接方法。2.C解析：矩陣的條件數(shù)\(\kappa(A)\)反映了方程組解對(duì)初始數(shù)據(jù)變化的敏感程度。條件數(shù)越大，解對(duì)初始數(shù)據(jù)的改變?cè)矫舾小?.C解析：將矩陣\(A\)分解為下三角矩陣\(L\)和上三角矩陣\(U\)的乘積\(A=LU\)稱為L(zhǎng)U分解。QR分解是將矩陣分解為正交矩陣\(Q\)和上三角矩陣\(R\)的乘積。Cholesky分解是針對(duì)對(duì)稱正定矩陣的分解形式\(A=LL^T\)。奇異值分解是將矩陣分解為\(A=U\SigmaV^T\)。4.A解析：根據(jù)Cholesky分解的定義，對(duì)于對(duì)稱正定矩陣\(A\)，存在唯一的下三角矩陣\(L\)（對(duì)角元素為正）使得\(A=LL^T\)。5.A解析：插值多項(xiàng)式的階數(shù)等于插值節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)減一。當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)數(shù)增加時(shí)，插值多項(xiàng)式的階數(shù)也隨之增加。6.A解析：Lagrange插值和Newton插值的插值余項(xiàng)表達(dá)式形式相同，均為\(R(x)=f(x)-P(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\prod_{i=0}^n(x-x_i)\)，其中\(zhòng)(\xi\)在插值節(jié)點(diǎn)之間。7.C解析：Bézier曲線是由一組控制頂點(diǎn)\(P_i\)和對(duì)應(yīng)的權(quán)重\(w_i\)定義的。權(quán)重決定了控制頂點(diǎn)對(duì)曲線形狀的影響程度。8.B解析：B樣條曲線相比Bézier曲線具有局部修改性，即改變一個(gè)控制頂點(diǎn)只會(huì)影響曲線的一部分，而Bézier曲線改變?nèi)我豢刂祈旤c(diǎn)都會(huì)影響整個(gè)曲線。9.A解析：有限元方法的基本思想是在每個(gè)單元上使用插值函數(shù)近似求解區(qū)域內(nèi)的待求函數(shù)，從而將連續(xù)的偏微分方程離散化為一系列代數(shù)方程。10.B解析：格雷厄姆掃描算法的時(shí)間復(fù)雜度為\(O(n\logn)\)，其中\(zhòng)(n\)是點(diǎn)的數(shù)量。該算法通過排序和掃描來確定凸包的頂點(diǎn)。二、填空題1.擬合性解析：矩陣范數(shù)的四個(gè)性質(zhì)是非負(fù)性，絕對(duì)標(biāo)量齊次性，三角不等式和擬合性。2.Cholesky分解解析：對(duì)于線性方程組\(Ax=b\)，若系數(shù)矩陣\(A\)為對(duì)稱正定矩陣，則可以使用Cholesky分解方法直接求解。3.插值節(jié)點(diǎn)解析：插值法的基本思想是在插值區(qū)間內(nèi)，構(gòu)造一個(gè)函數(shù)\(P(x)\)滿足在插值節(jié)點(diǎn)處\(P(x_i)=y_i\)。4.n解析：根據(jù)Lagrange插值公式，若給定\(n+1\)個(gè)插值節(jié)點(diǎn)，則可以構(gòu)造出\(n\)個(gè)線性無關(guān)的Lagrange插值基函數(shù)。5.數(shù)量解析：在計(jì)算幾何中，Bézier曲線的度數(shù)是指控制頂點(diǎn)的數(shù)量減一。6.多樣性解析：B樣條曲線具有優(yōu)良的幾何性質(zhì)，如光順性、局部修改性和多樣性。7.最小解析：在有限元方法中，加權(quán)余量法的基本思想是將求解區(qū)域的余量在加權(quán)函數(shù)下積分并使其最小。8.對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)集解析：在計(jì)算幾何中，Delaunay三角剖分是一種特殊的三角剖分，其特點(diǎn)是每個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)集構(gòu)成的圓內(nèi)不包含其他插值點(diǎn)。9.凸解析：在計(jì)算幾何中，凸包是平面上一個(gè)點(diǎn)集的凸子集，其中包含該點(diǎn)集的所有凸多邊形。10.插值解析：對(duì)于計(jì)算幾何中的Voronoi圖問題，其定義為平面上每個(gè)點(diǎn)與其最近插值點(diǎn)的距離最短。三、計(jì)算題1.解：首先將增廣矩陣化為行階梯形矩陣：\[\begin{pmatrix}1&2&-1&1\\2&-1&1&0\\-1&1&2&-1\end{pmatrix}\xrightarrow{r_2-2r_1}\begin{pmatrix}1&2&-1&1\\0&-5&3&-2\\-1&1&2&-1\end{pmatrix}\xrightarrow{r_3+r_1}\begin{pmatrix}1&2&-1&1\\0&-5&3&-2\\0&3&1&0\end{pmatrix}\xrightarrow{r_3+\frac{3}{5}r_2}\begin{pmatrix}1&2&-1&1\\0&-5&3&-2\\0&0&\frac{14}{5}&-\frac{6}{5}\end{pmatrix}\]化為行最簡(jiǎn)形矩陣：\[\begin{pmatrix}1&2&-1&1\\0&-5&3&-2\\0&0&\frac{14}{5}&-\frac{6}{5}\end{pmatrix}\xrightarrow{\frac{5}{14}r_3}\begin{pmatrix}1&2&-1&1\\0&-5&3&-2\\0&0&1&-\frac{3}{7}\end{pmatrix}\xrightarrow{r_2-3r_3}\begin{pmatrix}1&2&-1&1\\0&-5&0&-\frac{5}{7}\\0&0&1&-\frac{3}{7}\end{pmatrix}\xrightarrow{\frac{-1}{5}r_2}\begin{pmatrix}1&2&-1&1\\0&1&0&\frac{1}{7}\\0&0&1&-\frac{3}{7}\end{pmatrix}\xrightarrow{r_1-2r_2}\begin{pmatrix}1&0&-1&\frac{5}{7}\\0&1&0&\frac{1}{7}\\0&0&1&-\frac{3}{7}\end{pmatrix}\xrightarrow{r_1+r_3}\begin{pmatrix}1&0&0&\frac{2}{7}\\0&1&0&\frac{1}{7}\\0&0&1&-\frac{3}{7}\end{pmatrix}\]解得\(x=\frac{2}{7}\),\(y=\frac{1}{7}\),\(z=-\frac{3}{7}\)。2.解：Lagrange插值基函數(shù)：\[L_0(x)=\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}=\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}\]\[L_1(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}=\frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}\]\[L_2(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}=\frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}\]二次插值多項(xiàng)式：\[P_2(x)=y_0L_0(x)+y_1L_1(x)+y_2L_2(x)\]\[P_2(x)=y_0\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}+y_1\frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}+y_2\frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}\]計(jì)算\(P_2(x_0)\)：\[P_2(x_0)=y_0\frac{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}+y_1\frac{(x_0-x_0)(x_0-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}+y_2\frac{(x_0-x_0)(x_0-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}\]\[P_2(x_0)=y_0\]3.解：Bézier曲線的定義公式：\[B(t)=\sum_{i=0}^3\binom{3}{i}(1-t)^{3-i}t^iP_i\]當(dāng)\(t=0.5\)時(shí)：\[B(0.5)=\sum_{i=0}^3\binom{3}{i}(1-0.5)^{3-i}(0.5)^iP_i\]\[B(0.5)=\binom{3}{0}(0.5)^3P_0+\binom{3}{1}(0.5)^2(0.5)P_1+\binom{3}{2}(0.5)(0.5)^2P_2+\binom{3}{3}(0.5)^3P_3\]\[B(0.5)=P_0\cdot\frac{1}{8}+P_1\cdot\frac{3}{8}+P_2\cdot\frac{3}{8}+P_3\cdot\frac{1}{8}\]\[B(0.5)=\left(0,0\right)\cdot\frac{1}{8}+\left(1,2\right)\cdot\frac{3}{8}+\left(3,3\right)\cdot\frac{3}{8}+\left(4,0\right)\cdot\frac{1}{8}\]\[B(0.5)=\left(\frac{0}{8}+\frac{3}{8}+\frac{9}{8}+\frac{4}{8},\frac{0}{8}+\frac{6}{8}+\frac{9}{8}+\frac{0}{8}\right)\