生物醫(yī)學(xué)工程專升本2025年生物醫(yī)學(xué)信號處理真題試卷（含答案）考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題2分，共10分）1.對于一個實偶函數(shù)信號x(t)，其傅里葉變換X(jΩ)必定是（）。A.奇函數(shù)且實部為0B.偶函數(shù)且虛部為0C.奇函數(shù)且實部為0，虛部為偶函數(shù)D.偶函數(shù)且實部為偶函數(shù)，虛部為02.根據(jù)奈奎斯特采樣定理，為了無失真地恢復(fù)一個頻帶限制在f_mHz內(nèi)的連續(xù)信號，所需的最低采樣頻率fs應(yīng)滿足（）。A.fs≤f_mHzB.fs≥2f_mHzC.fs<f_mHzD.fs≥f_m/2Hz3.一階IIR數(shù)字濾波器的差分方程為y[n]=0.8y[n-1]+x[n]，其系統(tǒng)函數(shù)H(z)在z=1處的值H(1)為（）。A.0.8B.1C.0.2D.1.84.在生物醫(yī)學(xué)信號處理中，對心率信號（ECG）進(jìn)行帶通濾波，通常是為了（）。A.濾除極低頻的基線漂移B.保留心電信號的主要頻率成分（如QRS波群）C.濾除高頻的肌電干擾D.提取心音信號5.如果一個信號的自相關(guān)函數(shù)是δ(τ)，那么該信號是（）。A.功率信號B.能量信號C.確定信號D.隨機信號二、填空題（每空2分，共20分）6.連續(xù)時間信號x(t)通過理想低通濾波器后，其輸出信號在時域上產(chǎn)生______效應(yīng)。7.數(shù)字濾波器的設(shè)計方法主要分為______法和______法兩大類。8.傅里葉變換的時域卷積定理表明，兩個信號在時域的卷積等效于它們在頻域的______。9.對于一個線性時不變（LTI）系統(tǒng)，如果輸入是單位沖激信號δ(t)，其零狀態(tài)響應(yīng)稱為______。10.在生物電信號（如ECG）的功率譜分析中，______頻率通常對應(yīng)心室收縮。11.對連續(xù)時間信號x(t)進(jìn)行理想采樣后，為了避免頻譜混疊，采樣頻率fs必須大于信號最高頻率f_m的兩倍，即fs>2f_m，這是______的體現(xiàn)。三、名詞解釋（每小題3分，共12分）12.帶寬13.頻域14.系統(tǒng)函數(shù)H(z)15.維納濾波四、簡答題（每小題5分，共15分）16.簡述周期信號與非周期信號在傅里葉分析上的主要區(qū)別。17.解釋什么是數(shù)字濾波器的脈沖響應(yīng)，并說明它與系統(tǒng)函數(shù)H(z)的關(guān)系。18.在生物醫(yī)學(xué)信號處理中，為什么通常需要對信號進(jìn)行濾波處理？請列舉至少兩種不同的濾波目的。五、計算題（每小題8分，共32分）19.已知連續(xù)時間信號x(t)=e^{-at}u(t)(a>0，u(t)為單位階躍函數(shù))。求其傅里葉變換X(jΩ)。20.已知離散時間信號x[n]={1,2,3,0,0,0,...}(n=0,1,2,3)。求其離散時間傅里葉變換X(e^(jω))。21.一個數(shù)字濾波器的差分方程為y[n]-0.5y[n-1]=x[n]。求該濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)，并判斷其是否為穩(wěn)定系統(tǒng)。22.設(shè)某生物醫(yī)學(xué)信號經(jīng)過帶通濾波器后，其輸出信號的頻率范圍變?yōu)?0Hz至500Hz。如果采樣頻率fs=1000Hz，請判斷該信號是否滿足奈奎斯特準(zhǔn)則？若不滿足，應(yīng)如何調(diào)整采樣頻率？六、綜合應(yīng)用題（每小題10分，共20分）23.簡述使用窗函數(shù)法設(shè)計FIR數(shù)字濾波器的基本步驟，并說明其中選擇窗函數(shù)時需要考慮的因素。24.在進(jìn)行腦電圖（EEG）信號分析時，常需要估計信號的功率譜密度。試簡述自相關(guān)函數(shù)法估計功率譜密度的原理，并說明其優(yōu)缺點。試卷答案一、選擇題1.B2.B3.A4.B5.B二、填空題6.折疊7.巴特沃斯（或模擬），窗函數(shù)（或數(shù)字）8.乘積9.單位沖激響應(yīng)（或階躍響應(yīng)）10.QRS波群11.奈奎斯特采樣定理三、名詞解釋12.帶寬：指信號所包含的頻率范圍，通常指信號功率譜密度顯著部分對應(yīng)的頻率區(qū)間。13.頻域：描述信號在頻率上分布特性的域，與時域相對，常通過傅里葉變換得到。14.系統(tǒng)函數(shù)H(z)：對于離散時間線性時不變（LTI）系統(tǒng)，其輸入x[n]與輸出y[n]在Z域的關(guān)系可以表示為Y(z)=H(z)X(z)，其中H(z)稱為系統(tǒng)函數(shù)，是脈沖響應(yīng)h[n]的Z變換。15.維納濾波：一種最優(yōu)線性濾波方法，旨在最小化輸出信號與期望信號之間的均方誤差，常用于信號降噪。四、簡答題16.解析思路：*周期信號：可以表示為無限傅里葉級數(shù)，頻域由離散的諧波分量組成，其頻率是基頻的整數(shù)倍。*非周期信號：無法表示為傅里葉級數(shù)，頻域由連續(xù)的頻譜分量組成。*主要區(qū)別在于頻域表示形式（離散vs連續(xù)）和對應(yīng)的時域特性（有限長度重復(fù)vs非重復(fù)）。17.解析思路：*脈沖響應(yīng)h[n]定義為一個系統(tǒng)的輸入為單位脈沖δ[n]時產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)。*系統(tǒng)函數(shù)H(z)是脈沖響應(yīng)h[n]的Z變換，H(z)=Z{h[n]}。*兩者都是描述離散時間LTI系統(tǒng)特性的重要方式，H(z)在Z域表示系統(tǒng)，而h[n]在時域表示系統(tǒng)。18.解析思路：*生物醫(yī)學(xué)信號（如ECG、EEG、EMG）通常包含有效信息和各種噪聲（如工頻干擾、肌電干擾、基線漂移等）。*濾波可以去除或減弱噪聲，保留或增強有效信號成分，提高信號質(zhì)量和分析準(zhǔn)確性。*濾波目的示例：*濾除工頻干擾（50Hz或60Hz）。*濾除肌電干擾（通常在較高頻段）。*濾除ECG信號中的基線漂移（低頻）。*提取特定生理信號成分（如ECG的QRS波群，頻帶約0.05-100Hz）。五、計算題19.解析思路：*利用傅里葉變換的基本定義：X(jΩ)=∫[-∞,+∞]x(t)e^(-jΩt)dt。*代入x(t)=e^{-at}u(t)，積分區(qū)間變?yōu)閇0,+∞]。*X(jΩ)=∫[0,+∞]e^{-at}e^(-jΩt)dt=∫[0,+∞]e^{-(a+jΩ)t}dt。*計算這個指數(shù)函數(shù)的定積分。20.解析思路：*利用離散時間傅里葉變換（DTFT）的定義：X(e^(jω))=Σ[-∞,+∞]x[n]e^(-jnω)。*代入x[n]={1,2,3,0,0,0,...}，求和從n=0到n=3。*X(e^(jω))=1*1+2*ω^0+3*ω^(-1)+0*ω^(-2)+0*ω^(-3)+...*計算具體的和。21.解析思路：*將差分方程y[n]-0.5y[n-1]=x[n]兩邊進(jìn)行Z變換（假設(shè)初始狀態(tài)為零，即y[-1]=0）。*Y(z)-0.5Z{y[n-1]}=X(z)。*由于Z{y[n-1]}=z^-1Y(z)，代入得Y(z)-0.5z^-1Y(z)=X(z)。*提取Y(z)，得到Y(jié)(z)(1-0.5z^-1)=X(z)。*H(z)=Y(z)/X(z)=1/(1-0.5z^-1)。*判斷穩(wěn)定性：根據(jù)IIR濾波器穩(wěn)定性判據(jù)，若H(z)的極點都在單位圓內(nèi)，則系統(tǒng)穩(wěn)定。H(z)的極點為1-0.5z^-1=0，解得z=0.5。由于|0.5|<1，極點在單位圓內(nèi)，系統(tǒng)穩(wěn)定。22.解析思路：*信號經(jīng)過濾波后的有效頻率范圍是20Hz至500Hz。*奈奎斯特準(zhǔn)則要求采樣頻率fs必須大于信號最高頻率f_m的兩倍，即fs>2f_m。*此處最高頻率f_m=500Hz。*按奈奎斯特準(zhǔn)則，所需最低采樣頻率為fs>2*500Hz=1000Hz。*題目給出的采樣頻率為fs=1000Hz。*比較：1000Hz等于2*500Hz。*結(jié)論：該信號剛好滿足奈奎斯特準(zhǔn)則，不存在頻譜混疊。如果要求更高的保真度或留有冗余，可以適當(dāng)提高采樣頻率，但1000Hz本身是滿足最低要求的。六、綜合應(yīng)用題23.解析思路：*使用窗函數(shù)法設(shè)計FIR濾波器的步驟：1.確定所需濾波器的類型（低通、高通、帶通、帶阻）、截止頻率ω_c（或f_c）和長度N（或濾波器階數(shù)M=N-1）。2.設(shè)計理想的線性相位FIR濾波器的脈沖響應(yīng)h_d[n]（通常利用矩形窗、漢寧窗、漢明窗等）。3.選擇一個合適的窗函數(shù)w[n]（如矩形窗、漢寧窗、漢明窗等），窗函數(shù)w[n]通常是非負(fù)的、對稱的，并且其頻譜中心為零。4.將理想的脈沖響應(yīng)h_d[n]與窗函數(shù)w[n]相乘，得到實際的FIR濾波器脈沖響應(yīng)h[n]：h[n]=h_d[n]*w[n]。5.選擇合適的起始點，將h[n]作為所求FIR濾波器的系數(shù)。*選擇窗函數(shù)時需要考慮的因素：*主瓣寬度：影響濾波器的過渡帶寬度，主瓣越寬，過渡帶越寬。*旁瓣幅度和衰減速度：影響濾波器的阻帶衰減。旁瓣越低，衰減越快，阻帶性能越好。*線性相位要求：窗函數(shù)應(yīng)保證其頻譜具有零相位或線性相位特性（如漢寧窗、漢明窗）。*計算復(fù)雜度：不同窗函數(shù)的計算量可能不同。*實際應(yīng)用需求：根據(jù)對過渡帶寬度和阻帶衰減的要求選擇合適的窗函數(shù)。例如，需要較窄過渡帶和較大阻帶衰減時，可能選擇凱撒窗等。24.解析思路：*自相關(guān)函數(shù)法估計功率譜密度的原理：1.對于一個隨機信號x[n]，其自相關(guān)函數(shù)R_xx[k]定義為R_xx[k]=E[x[n]x[n+k]]，其中E[]表示期望值。2.對于實信號，自相關(guān)函數(shù)是偶函數(shù)，即R_xx[k]=R_xx[-k]。3.如果信號是寬平穩(wěn)（WSS）的，理論上自相關(guān)函數(shù)只與時間差k有關(guān)，與時間起點無關(guān)。4.對自相關(guān)函數(shù)R_xx[k]進(jìn)行傅里葉變換，得到信號x[n]的功率譜密度S_xx(e^(jω))。5.即S_xx(e^(jω))=DTFT{R_xx[k]}=Σ[-∞,+∞]R_xx[k]e^(-jkω)。6.功率譜密度S_xx(e^(jω))表示信號在不同頻率上的功率分布。*優(yōu)缺點：*優(yōu)點：*基于自相關(guān)函數(shù)的定義，原理簡單直觀。*對于平穩(wěn)隨機信號，是理論上完善的功率譜估計方法。