新編21世紀心理學系列教材高級心理統(tǒng)計（第2版）劉紅云

編著第二章

多元方差分析

MultivariateAnalysisofVariance核心要點了解多元方差分析的零假設與一元方差分析的零假設的差異知道多元方差分析與一元方差分析的主要類型及其差異了解多元方差分析的假設知道多元方差分析的顯著性檢驗標準描述多元方差分析與一元方差分析的事后檢驗方法多元方差分析中交互作用的解釋多元協(xié)方差分析的目的提綱1多元方差分析的一般目的和描述2多元方差分析主要回答的問題3多元方差分析主要類型4多元方差分析的過程5多元方差分析應用案例及SPSS操作1.多元方差分析的一般目的和描述多元方差分析是在一元方差分析的基礎上發(fā)展起來的。一元方差分析只能處理一個因變量的情況，用來檢驗單一的因變量在不同組之間的差異。當研究者需要同時考察多個因變量在不同組間是否有差異時，就需要運用到多元方差分析的方法與多元回歸分析相比，多元回歸的“元”指的是自變量的數(shù)目，而多元方差分析的“元”指的是因變量的數(shù)目1.1多元方差分析的優(yōu)勢可控制犯一類錯誤的概率可對多個因變量的線性組合進行差異檢驗2.多元方差分析主要回答的問題多個單變量問題：是指在研究中有多個因變量，每個因變量是被獨立分析的MANOVA是用來檢驗多變量在不同組之間的整體差異的，而獨立的單變量檢驗則是用來分析單個因變量的組間差異的。結構上的多變量問題：是指研究中的兩個或多個因變量之間有某種特殊的關系。MANOVA提供了一種結構化的方法，可以在保證統(tǒng)計效力的情況下對一系列因變量進行組間差異的檢驗。本質上的多變量問題：是指研究最關心的問題就是這些因變量在整體上有沒有組間差異，而對于單個因變量本身的差異檢驗就顯得不那么重要。MANOVA最重要的功能就是分析這類問題，不僅是因變量整體上的組間差異，還包括多個因變量線性組合的組間差異。3.多元方差分析主要類型在單個因變量的差異檢驗中，零假設是單一因變量的均值在不同自變量組間相等，此時檢驗組間差異的方法是t檢驗（兩個水平）和ANOVA（兩水平及以上）。而在多個因變量的差異檢驗中，零假設則為多因變量組合的均值向量在不同自變量組間相等，檢驗組間差異的方法有Hotelling’sT2（兩個水平）和MANOVA（兩水平及以上）?？偨Y如下：3.1自變量有兩個水平：Hotelling’sT2如果研究者想比較自變量的兩個水平在多個因變量上的差異是否顯著，則需要用到Hotelling’sT2檢驗。Hotelling’sT2檢驗是t檢驗的擴展（多個因變量），是MANOVA的特例（自變量兩個水平）。

3.2自變量有多個水平：多元方差分析類似t檢驗到ANOVA的擴展，MANOVA也是Hotelling’sT2檢驗的一種擴展。MANOVA零假設的數(shù)學表達式如下：其中，p表示因變量個數(shù)，k表示水平個數(shù)，μpk表示變量p在第k個水平上的均值。MANOVA的零假設即為各水平的均值向量相等4.多元方差分析的過程研究設計多元方差分析的假設估計模型及模型的整體性檢驗結果解釋4.1研究設計（1）因變量的選擇（2）樣本量（3）因素設計（4）協(xié)方差分析4.11因變量的選擇MANOVA可以處理多個因變量的問題，但在研究中所選用的因變量個數(shù)也不宜過多，一般在5個及以下為好。因變量的選擇要有理可依，不能將一些沒有意義的變量選入進去。所選用的因變量之間的相關不宜過高，否則就會出現(xiàn)多重共線性的問題。4.12樣本量

遵循的基本原則是：（1）每個單元格內的人數(shù)最少應大于因變量的個數(shù)。（2）作為一個實踐指導，每個單元格里至少有20個人。（3）為了維持應有的檢驗力，當因變量個數(shù)增多時，所需要的樣本量會隨之增大。4.13因素分析自變量的類型：在方差分析中，自變量是分類變量，分成幾類即有幾個處理水平，每個水平代表影響因變量的一種條件。在實驗設計時，由研究者根據研究目的來確定自變量及其處理水平。4.13因素分析自變量的個數(shù)（1）單元格的個數(shù)：單元格的個數(shù)由每個自變量的處理水平數(shù)決定。（2）交互作用：交互作用是兩個或更多自變量的聯(lián)合效應是指一個變量在不同組間的差異取決于其他變量的取值。4.14協(xié)方差分析

協(xié)方差分析的目的協(xié)方差分析的目的是為了消除兩方面的影響：(1)協(xié)變量只對部分被試有影響；(2)協(xié)變量對不同被試的影響不同。與區(qū)組變量類似，協(xié)變量可以實現(xiàn)如下兩個目的：(1)消除一些研究者無法控制且又會影響結果的系統(tǒng)誤差;

(2)用來解釋不同特征的被試在作答反應上的差異。4.14協(xié)方差分析協(xié)方差分析的假設(1)協(xié)變量與因變量相關(2)在不同組上，協(xié)變量對因變量有相等的效應，即協(xié)變量與自變量之間沒有交互作用。以上兩個假設只要有一個不滿足，就不適合使用協(xié)方差分析。4.14協(xié)方差分析協(xié)變量的選擇一個有效的協(xié)變量應與因變量有較高相關而與自變量不相關。為什么呢？（1）如果協(xié)變量與因變量相關，那么協(xié)變量就可以用來解釋一部分的因變量的變異，這樣會使得殘差變小，進而統(tǒng)計檢驗更加顯著。而與自變量無關，則因變量中被協(xié)變量解釋的那部分變異不會被自變量解釋，這樣對自變量的檢驗就更加敏感而有力了。4.14協(xié)方差分析（2）如果協(xié)變量與自變量有相關，那么協(xié)變量將會解釋一部分可以被自變量解釋的變異，進而降低自變量的作用。因為在分析中首先是協(xié)變量抽取可解釋的那部分變異，這樣這部分變異就不能再被自變量抽取了

4.14協(xié)方差分析協(xié)變量的個數(shù)雖然在研究中加入協(xié)變量可以控制一些變異，但如果加了過多的協(xié)變量，也會減少統(tǒng)計效率的。最大協(xié)變量個數(shù)可遵循下面這個法則：最大協(xié)變量的個數(shù)=（0.10*樣本量）-（組數(shù)-1）4.14協(xié)方差分析特殊的方差分析——重復測量設計我們有時會對同一個被試被多次測量，例如，在一段時間內讓學生做幾次測驗，我們希望通過分析找出這幾次測驗學生的分數(shù)變化趨勢。如果沒有特殊的處理，這種設計就違背了一個重要假設——獨立性。這時，就需要運用重復測量方差分析4.2多元方差分析的假設多元方差分析中，因變量必須為連續(xù)型變量，自變量為分類變量。為了保證多元方差分析的有效性，必須滿足三個基本假設：（1）不同觀測之間必須相互獨立。（2）各組的方差-協(xié)方差矩陣必須相等。（3）因變量服從多元正態(tài)分布（因變量的任意線性組合都服從正態(tài)分布4.2.1獨立性多元方差分析中最基本最重要的假設就是獨立性假設，即使是稍微違背這一假設，也會對檢驗的第一類錯誤和統(tǒng)計檢驗力帶來較大的影響。而且任何無關的非測量的因素都可能通過在組間產生依賴性而影響結果，其中兩種最普遍的破壞獨立性的情況是：（1）當存在時間順序效應時（2）當在相同的條件下收集信息的時候，被試的作答可能會有一定的相關4.2.2方差-協(xié)方差矩陣齊性MANOVA的第二個基本假設就是各組的方差-協(xié)方差矩陣相等。在MANOVA中可以用Box’sM檢驗來檢驗協(xié)方差矩陣的齊性，并能夠提供檢驗結果的顯著性水平。4.2.3正態(tài)性MANOVA的第三個基本假設是因變量的正態(tài)性假設。嚴格意義上講，這個假設是指所有變量的組合服從多元正態(tài)，如果一組變量聯(lián)合起來服從多元正態(tài)分布，那么其中每一個變量一定都服從一元正態(tài)分布，所有的變量子集也服從多元正態(tài)分布，所有可能的線性組合也服從單元正態(tài)分布。4.2.4其他基本假設在MANOVA中，除了以上的基本假設，還應該關注因變量之間的關系是否為線性關系、因變量之間是否存在共線性，以及數(shù)據中是否有極端數(shù)據。另外，因變量之間不能有很高的相關，因為那樣會使測量變得冗余，還會減低統(tǒng)計效率。4.3估計模型及模型的整體性檢驗當假設條件都滿足時，就可以進行MANOVA分析了?；趶V義線性模型（generallinearmodel,GLM）的估計模型被廣泛使用4.3.1廣義線性模型（GLM）的估計GLM是一個模型家族，每個模型都包含三部分元素：（1）變量（variate）：自變量的線性組合。每個自變量都有一個估計權重用來表示對預測值的貢獻程度（2）隨機部分（randomcomponent）：因變量的概率分布。典型的分布有正態(tài)分布、泊松分布、二項分布和多項分布等。（3）連接函數(shù)（linkfunction）：根據不同的模型公式為變量和隨機部分提供理論連接。三種最常用的連接函數(shù)是恒等

（identity）、logit和log。

4.3.2顯著性檢驗的標準在進行多元方差分析時，常采用Roy’s最大特征（gcr）、Wilks’lambda（又稱為Ustatistic）、Pillai’scriterion和Hotelling’sT2這4種統(tǒng)計檢驗來評價各自變量組之間在多個因變量的線性組合上是否存在顯著差異4.3.3多元分析的統(tǒng)計檢驗力

統(tǒng)計檢驗力的影響顯著性水平（α）（1）提高α水平（如α從0.05變?yōu)?.01，即變得更保守）會減小犯第一類錯誤的概率，但此時需要更多來自研究結果的證據來證明差異的存在，因此會造成檢驗力的降低。（2）降低α水平（如α從0.05變?yōu)?.10）意味著研究者認為更小的組間差異是顯著的，因此被認為是“更不統(tǒng)計的”。然而，在效應量或樣本量較小時，我們應該考慮降低α水平以提高檢驗力。4.3.3多元分析的統(tǒng)計檢驗力

效應值(EffectSize)效應值是對組間差異的標準化測量，可以通過計算組間差異比標準差得到。樣本量(SampleSize)如果組樣本量少于30，那么很難得到理想的檢驗力。如果效應值很小，可以通過增大α水平（如，從.05到.10）以便得到理想的檢驗力。在設計和分析中應用檢驗力在設計分析和評價結果時都要用到統(tǒng)計檢驗力的估計。在設計階段，研究者要通過估計效應值來確定所需樣本量。一般情況下，效應值可以根據前人研究或合理的判斷來估計，又或者直接設定為實際顯著性最小的水平。無論如何樣本量都要達到在給定水平的檢驗力和α水平下的要求4.3.3多元分析的統(tǒng)計檢驗力

因變量的多重共線性對檢驗力的影響隨著因變量的效應量大小不同，檢驗力也各不相同。會產生如下幾種模式：（1）如果相關的變量對由強-強或者弱-弱的變量構成，那么在變量之間存在強的負相關時，檢驗力最大。這一結果表明，在MANOVA中，可以通過使用高度負相的因變量來提高檢驗力4.3.3多元分析的統(tǒng)計檢驗力

(2)如果相關的變量對由強-弱的變量構成，那么變量之間為強相關時，檢驗力最大，與相關的方向無關。(3)此外，有研究發(fā)現(xiàn)，當通過增加項目數(shù)量來提高信度時，會導致檢驗力的升高，即使變量對的相關較弱或是方向為正4.3.3多元分析的統(tǒng)計檢驗力

4.4結果解釋當評價完處理的統(tǒng)計顯著性之后，下一步就要開始對結果進行解釋了。結果的解釋一般包括三個步驟：（1）如果有協(xié)變量，則要首先解釋協(xié)變量的效應（2）評價不同因變量在不同處理上表現(xiàn)出的差異大?。?）評價組間差異是在單個因變量上還是在整體因變量組合上4.4.1評價協(xié)變量評價整體效應協(xié)變量最重要的作用就是統(tǒng)計檢驗中的整體效應問題。而最直接的評價整體效應的方法就是分別對含有協(xié)變量和不含協(xié)變量的模型進行分析，然后再比較。解釋協(xié)變量在ANOVA和MANOVA中解釋協(xié)變量類似于對回歸方程進行解釋的過程。如果整體效應是顯著的，之后就可以檢驗協(xié)變量對因變量的作用大小了。4.4.2評價因變量的效應——主效應和交互作用主效應主效應是指自變量對因變量的作用。如果在不同組間因變量存在顯著差異，那么就稱主效應顯著。在檢驗主效應時，還需要做另外兩種分析：（1）如果自變量的個數(shù)大于1，那么研究者就必須要檢驗交互作用是否顯著，如果顯著了，就要考慮交互作用對主效應解釋的影響。（2）如果一個自變量多于兩個水平，那么研究者就要對這個自變量做多重比較，看具體是自變量的哪幾個水平間差異顯著4.4.2評價因變量的效應——主效應和交互作用交互作用評價交互作用的統(tǒng)計顯著性交互作用的類型根據對處理效應的檢驗，交互作用可以分為兩種類型：一致的交互作用和不一致的交互作用4.4.2評價因變量的效應——主效應和交互作用例如，對不同形狀（球形、立方形、星形）不同顏色（紅、藍、綠）的麥片進行評價。不同交互作用情況下結果如圖2-2所示：4.4.3評價組間差異多個單變量檢驗(1)兩組檢驗(2)K組檢驗結構化的多組檢驗(1)事后檢驗(2)事先檢驗5.