專題11指數(shù)運(yùn)算與對數(shù)運(yùn)算【考點(diǎn)預(yù)測】1、n次方根與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪（1）方根如果，那么叫做的次方根，其中，且．=1\*GB3①當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的次方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的方根是負(fù)數(shù)．這時(shí)，的方根用符號表示．=2\*GB3②當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的次方根有兩個(gè)，這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)．這時(shí)，正數(shù)的正的次方根用符號表示，負(fù)的次方根用符號表示．正的次方根與負(fù)的次方根可以合并寫成（）．負(fù)數(shù)沒有偶次方根．0的任何次方根都是0，記作．式子叫做根式，這里叫做根指數(shù)，叫做被開方數(shù)．關(guān)于根式有下面兩個(gè)等式：；．2、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪（1）正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪（，，，）．0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0．（2）負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪（，，，）．0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義．（3）有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)=1\*GB3①（，，）；=2\*GB3②（，，）；=3\*GB3③（，，）．3、無理數(shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算性質(zhì)（1）無理數(shù)指數(shù)冪的概念當(dāng)是無理數(shù)時(shí)，是無理數(shù)指數(shù)冪．我們可以通過有理數(shù)指數(shù)冪來認(rèn)識無理數(shù)指數(shù)冪．當(dāng)?shù)牟蛔憬浦岛瓦^剩近似值逐漸逼近時(shí)，和都趨向于同一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)就是．所以無理數(shù)指數(shù)冪（，是無理數(shù)）是一個(gè)確定的數(shù)．（2）實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)也適用于實(shí)數(shù)指數(shù)冪，即對于任意實(shí)數(shù)，，均有下面的運(yùn)算性質(zhì)．=1\*GB3①（，，）；=2\*GB3②（，，）；=3\*GB3③（，，）．4、對數(shù)的概念一般地，如果，那么數(shù)叫做以為底的對數(shù)，記作．其中叫做對數(shù)的底數(shù)，叫做真數(shù)．當(dāng)，且時(shí)，．5、兩個(gè)重要的對數(shù)（1）常用對數(shù)：以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)，并把記為．（2）自然對數(shù)：以（是無理數(shù)，…）為底的對數(shù)叫做自然對數(shù)，并把記作．6、關(guān)于對數(shù)的幾個(gè)結(jié)論（1）負(fù)數(shù)和0沒有對數(shù)；（2）；（3）．7、對數(shù)的運(yùn)算如果，且，，，那么（1）；（2）；（3）（）．8、換底公式（，且，，，）．【典型例題】例1．已知log189＝a，18b＝5，則log3645＝_____（用a，b表示）．【答案】【解析】∵log189＝a，b＝log185，∴a+b＝log189+log185＝log18（9×5）＝log1845，log1836＝log18（2×18）＝1+log182＝＝2﹣log189＝2﹣a；∴l(xiāng)og3645＝＝．故答案為：．例2．已知，，則___________.【答案】2【解析】因?yàn)?，，所以，，所?故答案為：2.例3．（1）計(jì)算（2）化簡：.（3）已知，求的值.【解析】(1)(2)(3)因?yàn)?，兩邊同時(shí)平方可得：，再將兩邊同時(shí)平方可得：，所以.例4．計(jì)算下列各式(1)；(2)已知，求下列各式的值：①；②．【解析】（1）原式；（2）①∵，∴，又由得，∴，所以；②（法一），（法二），而，∴，又由得，∴，所以.例5．計(jì)算：(1)；(2).【解析】（1）原式；（2）原式.例6．求下列各式的值.(1)；(2).【解析】（1）原式；（2）原式.例7．已知、、均為正實(shí)數(shù).(1)若，求的值；(2)若，求的值.【解析】（1）因?yàn)?，所以，即，再平方得，故；?）對同取的底數(shù)可得，即，，所以.【過關(guān)測試】一、單選題1．若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】因?yàn)?，則，由于，，可解得，所以故選：B.2．設(shè)，則下列運(yùn)算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】對于A，令，則，，顯然A錯(cuò)誤；對于B，，故B錯(cuò)誤；對于C，，故C錯(cuò)誤；對于D，，故D正確.故選：D.3．一個(gè)39位整數(shù)的64次方根仍是整數(shù)，這個(gè)64次方根是（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)設(shè)這個(gè)39位數(shù)為，這個(gè)數(shù)的64次方根為，所以，兩邊同時(shí)取以10為底的對數(shù)可得：，所以，因?yàn)?，所以，也即，因?yàn)?，，所以，所以，故選：C.4．已知，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)椋?，所以．故選：D.5．計(jì)算：（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】；故選：B6．已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由換底公式得：，，其中，，故故選：C7．若，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，所以且，所以且，即，所以?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號成立.故選：A8．若，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題設(shè)，，即，又，且，所以.故選：A.二、多選題9．下列等式不成立的是（

）A．（，且） B．（，且）C． D．【答案】AD【解析】對A：∵（，且），A不成立；對B：（，且），B成立；對C：可得，則，∴，C成立；對D：∵，D不成立；故選：AD.10．已知，則下列選項(xiàng)中正確的有（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】，；，；故A正確，B錯(cuò)誤；；，，故C正確，D錯(cuò)誤．故選：AC．11．若，，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】由題設(shè)，，即，A正確；，即，B錯(cuò)誤，D正確；由，則，C正確；故選：ACD12．若，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】依題意，所以，所以，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.，B選項(xiàng)正確.，C選項(xiàng)正確.，D選項(xiàng)正確.故選：BCD三、填空題13．若，則___________.【答案】【解析】由對數(shù)運(yùn)算的定義，有∵，∴，∴，∴.故答案為：.14．______.【答案】10【解析】.故答案為：.15．已知，若，則___________.【答案】8【解析】由，且所以是方程的兩根，解得或，又，所以，即，又從而，且，則，．所以.故答案為：8.16．已知，則＝_____.【答案】【解析】∵，∴，∴，∴.故答案為：.四、解答題17．計(jì)算：(1)；(2).【解析】（1）（2）.18．化簡下列各式：(1)；；(2)若.求.【解析】（1）.（2），則，所以.19．計(jì)算求解(1)(2)已知，，求的值．【解析】(1).(2)因，，所以.20．已知a>0且a≠1，M>0，N>0.(1)舉出一個(gè)反例說明不成立；(2)證明：.【解析】（1）假設(shè)，則，，.因?yàn)椋援?dāng)時(shí)不成立.（反例不唯一，計(jì)算正確即可）（2）令，則，，所以.21．我們知道，聲音通過空氣傳播時(shí)會引起區(qū)域性的壓強(qiáng)值改變.物理學(xué)中稱為“聲壓”.用P表示（單位：Pa（帕））：“聲壓級”S（單位：dB（分貝））表示聲壓的相對大小.已知它與“某聲音的聲壓P與基準(zhǔn)聲壓的比值的常用對數(shù)（以10為底的對數(shù)）值成正比”，即（k是比例系數(shù)）.當(dāng)聲壓級S提高60dB時(shí)，聲壓P會變?yōu)樵瓉淼?000倍.(1)求聲壓級S關(guān)于聲壓P的函數(shù)解析式；(2)已知兩個(gè)不同的聲源產(chǎn)生的聲壓P1，P2疊加后得到的總聲壓，而一般當(dāng)聲壓級S<45dB時(shí)人類是可以正常的學(xué)習(xí)和休息的.現(xiàn)窗外同時(shí)有兩個(gè)聲壓級為40dB的聲源，在不考慮其他因素的情況下，請問這兩個(gè)聲源疊加后是否會干擾我們正常的學(xué)習(xí)？并說明理由.（參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3）【解析】(1)由題意得：，，所