專題06平面向量

目錄

明晰學考要求................................................................................................................................................................1

基礎知識梳理................................................................................................................................................................2

考點精講講練................................................................................................................................................................5

考點一：平面向量的概念....................................................................................................................................5

考點二：平面向量的線性運算............................................................................................................................6

考點三：平面向量基本定理的應用....................................................................................................................8

考點四：平面向量的坐標運算............................................................................................................................9

考點五：平面向量的共線問題..........................................................................................................................10

考點六：平面向量數(shù)量積的基本運算.............................................................................................................11

考點七：平面向量的夾角..................................................................................................................................12

考點八：平面向量的模......................................................................................................................................13

考點九：平面向量的垂直..................................................................................................................................14

實戰(zhàn)能力訓練..............................................................................................................................................................15

明晰學考要求

1、了解向量的實際背景，理解平面向量的概念，理解兩個向量相等的含義；

2、理解向量的幾何表示；

3、掌握向量加法、減法的運算，并理解其幾何意義；

4、掌握向量數(shù)乘的運算及其意義，理解兩個向量共線的含義；

5、了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義；

6、了解平面向量的基本定理及其意義，掌握平面向量的正交分解及其坐標表示；

7、會用坐標表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算；

8、理解用坐標表示的平面向量共線的條件；

9、理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義；

10、了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系；

11、掌握數(shù)量積的坐標表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算；

12、能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系；

13、會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題；

14、會用向量方法解決簡單的力學問題與其他一些實際問題.

基礎知識梳理

一、向量的有關(guān)概念

名稱定義表示方法注意事項

既有大小又有方向的量叫做向

向量AB或a；

向量量；向量的大小叫做向量的長平面向量是自由向量

模|AB|或|a|

度(或模)

長度等于0的向量，方向是任

零向量記作0零向量的方向是任意的

意的

a

單位向量長度等于1個單位的向量常用e表示非零向量a的單位向量是

|a|

方向相同或相反的非零向量與共線可記為

ab

平行向量0與任一向量平行或共線

平行向量又叫共線向量

ab

兩向量只有相等或不等，不能比

相等向量長度相等且方向相同的向量ab

較大小

相反向量長度相等且方向相反的向量ab0的相反向量為0

二、向量的線性運算

向量運算定義法則（或幾何意義）運算律

（1）交換律：abba

加法求兩個向量和的運算

（2）結(jié)合律：abcabc

減去一個向量相當于

減法加上這個向量的相反abab

向量

數(shù)乘求實數(shù)與向量a的（1）a=a；a＝a；

積的運算

（2）當0時，a的＋aaa；

方向與a的方向相同；當abab

0時，a的方向與a

的方向相反；當＝0時，

a0

三、共線向量定理及平面向量基本定理

共線向量定理：向量aa0與b共線的充要條件是存在唯一一個實數(shù)，使得ba.

平面向量的基本定理：如果,是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量，有

e1e2a

且只有一對實數(shù),，使

12a1e12e2.

其中，不共線的向量,叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底

e1e2.

把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.

五、平面向量的坐標運算

1.向量加法、減法、數(shù)乘運算及

設=，，=，，則

a(x1y1)b(x2y2)

，，，，，，

ab(x1x2y1y2)ab(x1x2y1y2)a(x1y1)

2.向量坐標的求法

①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標.

②設，，，，則

A(x1y1)B(x2y2)AB(x2x1,y2y1),

3.平面向量共線的坐標表示

設=，,=，則

a(x1y1)b(x2y2)a//bx1y2x2y10

六、平面向量數(shù)量積的概念

（1）數(shù)量積的概念

已知兩個非零向量a,b，我們把數(shù)量abcos叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作ab,即

ababcos，其中是a與b的夾角.

【注】零向量與任一向量的數(shù)量積為0.

投影向量：①定義：如圖，設a,b是兩個非零向量，ABa,CDb，作如下的變換：過AB的起點A和

終點，分別作所在直線的垂線，垂足分別為得到，則稱上述變換為向量向向量投影，

BCDA1,B1A1B1ab

叫做向量在向量上的投影向量

A1B1ab.

②計算：設與b方向相同的單位向量為e，a與b的夾角為，則向量a在向量b上的投影向量是acose.

七、平面向量數(shù)量積的運算律

已知向量a,b,c和實數(shù),則

交換律

abba；

數(shù)乘結(jié)合律

(a)b(ab)a(b)；

分配律

(ab)cacbc.

八、平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角及性質(zhì)

設非零向量a,b，是a與b的夾角，

（1）數(shù)量積：ababcos；（2）模：|a|aa.

ab

（3）夾角：cos

ab

（4）垂直與平行：abab0；a//babab

（）設向量=，,=，，為向量的夾角

5a(x1y1)b(x2y2)θa,b.

數(shù)量積

ababcosx1x2y1y2

模22

|a|aax1y1

夾角abxxyy

cos1212

2222

abx1y1x1y1

兩非零向量的充要條件

abababx1x2y1y20

考點精講講練

考點一：平面向量的概念

解決與向量概念有關(guān)題目的關(guān)鍵是突出向量的核心——方向和長度,只有緊緊抓住概念的核心才能順利解

決與向量概念有關(guān)的問題.

【典型例題】

例1．（2020高一下·天津靜?！W業(yè)考試）下列關(guān)于向量的結(jié)論：（1）任一向量與它的相反向量不相等；（2）

向量a與b平行，則a與b的方向相同或相反；（3）起點不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；（4）

若向量a與b同向，且|a||b|，則ab.其中正確的序號為

A．（1）（2）B．（2）（3）C．（4）D．（3）

例2．（2023高三上·廣西·學業(yè)考試）如圖，O是正六邊形ABCDEF的中心，下列向量中，與AB是平行向

量的為（）

A．ODB．OAC．OFD．OE

例3．（2023高二上·黑龍江·學業(yè)考試）下列量中是向量的為（）

A．頻率B．拉力C．體積D．距離

例4．（2023高三·北京·學業(yè)考試）如圖，點O為正六邊形ABCDEF的中心，下列向量中，與OA相等的是

（）

A．DOB．EOC．FOD．CO

【即時演練】

1．給出下列命題：①任一非零向量都可以平行移動，零向量的長度為零，方向是任意的；②若a，b都是

單位向量，則ab；③向量AB與BA相等.其中正確命題的序號為（）

A．①B．③C．①③D．①②

2．如圖，在圓O中，向量OB，OC，AO是（）

A．有相同起點的向量B．相反向量

C．模相等的向量D．相等向量

3．如圖，四邊形ABCD中，ABDC，則必有（）

A．ADCBB．DOOBC．ACDBD．OAOC

4．已知點O是平行四邊形ABCD的對角線的交點，則（）

A．OAOCB．ABCD

uuuruuur

C．OD//BOD．|AC||BD|

考點二：平面向量的線性運算

向量的線性運算形式上類似于實數(shù)加減法與乘法滿足的運算法則,實數(shù)運算中去括號、移項、合并同類項等

變形手段在向量的線性運算中均可使用.

【典型例題】

例1．如圖，在矩形ABCD中，AOOBAD（）

A．ABB．ACC．ADD．BD

例2．（2024高二上·北京·學業(yè)考試）如圖，四邊形ABCD是正方形，則ACAB（）

A．ABB．BCC．CDD．DA

例3．（2024高二下·湖北·學業(yè)考試）如圖，平行四邊形ABCD中，P是CD邊上的一點，則（）

A．DADPPAB．DAABBPDP

C．ABBCCPPAD．PAPBBA

例4．（2019高二下·廣西·學業(yè)考試）設a,b為非零向量，則3(2ab)（）．

A．6a3bB．6aC．3bD．4a3b

【即時演練】

1．在三棱錐OABC中，OAABCB等于（）

A．OAB．ABC．OCD．AC

1

2．a(chǎn)2b3c3a2bc（）

2

55

A．a(chǎn)4cB．a(chǎn)4b2c

22

5359

C．a(chǎn)7bcD．a(chǎn)5bc

2222

3．已知非零向量a，b滿足a4b，則（）

A．|a||b|B．4|a||b|

C．a(chǎn)與b的方向相同D．a(chǎn)與b的方向相反

4．已知正方形ABCD的邊長為2，則ABBCAC（）

A．2B．22C．42D．62

考點三：平面向量基本定理的應用

運用向量的線性運算法則對待求向量不斷進行轉(zhuǎn)化,直至用基底表示為止

【典型例題】

例1．（2024高二下·福建·學業(yè)考試）如圖，已知平行四邊形ABCD，ABa，ADb，E為CD中點，則AE

（）

r

r11

A．a(chǎn)bB．a(chǎn)bC．a(chǎn)+bD．a(chǎn)b

22

例2．（2023高二·安徽·學業(yè)考試）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是BC的中點，設ABa,ADb，

則AE等于（）

11

A．a(chǎn)bB．a(chǎn)b

22

r

1r1

C．a(chǎn)bD．a(chǎn)+b

22

例3．（2024高二上·福建·學業(yè)考試）如圖，在VABC中，M，N分別是AB，AC的中點，若ABa,ACb，

則向量MN可表示為（）

11111111

A．a(chǎn)bB．a(chǎn)bC．a(chǎn)bD．a(chǎn)b

22222222

例4．（2024高三·廣東·學業(yè)考試）在矩形ABCD中，AC與BD相交于點O，E是線段OD的中點，若

AEmABnAD，則mn的值為.

【即時演練】

1．在平行四邊形ABCD中，點E為線段CD的中點，記ABm，ADn，則AE（）

1111

A．mnB．mnC．mnD．mn

2222

uuuruuur

2．在△ABC中，D是BC上一點，滿足BD3DC，M是AD的中點，若BMBABC，則（）

575

A．B．1C．D．

488

．已知，是不共線的非零向量，則以下向量可以作為基底的是（）

3e1e2

．，．，

Aa0be1e2Ba3e13e2be1e2

C．a(chǎn)e12e2，be12e2D．a(chǎn)e12e2，b2e14e2

xy

4．已知向量e1,e2不共線，且3x4ye12x3ye23e1e2，則的值等于（）

A．3B．3C．0D．2

考點四：平面向量的坐標運算

（1）若已知向量的坐標,則直接應用兩個向量和、差及向量數(shù)乘的運算法則進行；

（2）若已知有向線段兩端點的坐標,則必須先求出向量的坐標,然后再進行向量的坐標運算；

（3）向量的線性坐標運算可類比數(shù)的運算進行.

【典型例題】

例1．（2024高二下·安徽·學業(yè)考試）點A1,0，B0,2,則向量AB＝（）

A．1,2B．1,2C．1,2D．1,0

rr

例2．（2024高二下·湖北·學業(yè)考試）已知向量a1,0,b0,1，則2a3b（）

A．2,3B．2,3C．2,3D．(2,3)

例3．（2020高二下·山東·學業(yè)考試）在平面直角坐標系中，O為坐標原點，向量OA0,2,OB4,2，則

線段AB中點的坐標為（）

A．2,0B．2,2C．4,0D．4,4

例4．（2023高二·云南·學業(yè)考試）AB0,2,BC1,1，則AC的坐標為.

【即時演練】

1．點A1,0，B0,2,則向量AB＝（）

A．1,2B．1,2C．1,2D．1,0

2．已知向量a0,4,b3,6,c1,6，若cab，則（）

7512

A．B．C．D．

3333

3．已知向量a1,3,b2,4，若4a3b2ac0，則向量c的坐標為（）

A．1,1B．

?1,1

C．4,6D．4,6

4．已知向量a,b,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，用基底a,b表示c，則（）

A．c2a3bB．c2a3b

C．c3a2bD．c3a2b

考點五：平面向量的共線問題

用向量共線的條件證明兩條直線平行或重合的思路：

（1）若ba(a0),且b與a所在的直線無公共點,則這兩條直線平行.

（2）若ba(a0),且b與a所在的直線有公共點,則這兩條直線重合.

【典型例題】

例1．（2024高二下·安徽·學業(yè)考試）已知向量a1,3,b3,m，若a∥b，則m（）

A．9B．9C．1D．1

例2．（2020高三·安徽·學業(yè)考試）若點A(-2，-3)?B(0，y)?C(2，5)共線，則y的值等于()

A．-4B．-1C．1D．4

r

例3．（2020高二·廣西·學業(yè)考試）已知向量a1,1，則下列坐標表示的向量與a共線的是（）

A．4,0B．1,2C．4,2D．2,2

例4．（2021高二上·新疆·學業(yè)考試）已知向量OA(1,2)，OB(x1,4)，且OA//OB，則x．

【即時演練】

1．已知向量a，b不共線，且cab，da21b，若c與d同向共線，則實數(shù)的值為（）

1

A．1B．

2

11

C．1或D．1或

22

．設，是兩個不共線的向量，已知，，，若三點，，共

2e1e2AB2e1ke2CBe13e2CD2e1e2ABD

線，則k的值為（）

A．－8B．8C．6D．－6

3．若A1,2，B3,m，C7,m2，三點共線，則實數(shù)m的值為（）

A．1B．3C．-1D．-3

4．已知向量a1,2,b1,x，若2ab//b，則x．

考點六：平面向量數(shù)量積的基本運算

向量數(shù)量積的求法：（1）求兩個向量的數(shù)量積,首先確定兩個向量的模及向量的夾角,其中準確求出兩個向量

的夾角是求數(shù)量積的關(guān)鍵；（2）根據(jù)數(shù)量積的運算律,向量的加、減與數(shù)量積的混合運算類似于多項式的乘

法運算；（3）先將各向量用坐標表示,直接進行數(shù)量積運算

【典型例題】

例1．（2024高二下·湖南·學業(yè)考試）如圖，VABC是邊長為2的等邊三角形，則ABAC（）

A．4B．4C．2D．2

例2．（2022高二下·河北·學業(yè)考試）已知向量a3,1,b2,4，則ab（）

A．2B．2C．10D．10

例3．（2024高二上·北京·學業(yè)考試）已知向量a,b在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)格中每個小正方形

的邊長均為1，則a；ab.

π

例4．（2024高二下·浙江·學業(yè)考試）向量a,b是兩個單位向量，夾角為，則a(ab)．

3

【即時演練】

π

1．已知單位向量a,b的夾角為，則a2ba（）

3

1

A．1B．C．0D．1

2

2．若向量a與b的夾角為60，|a|2，|b|1，則ab．

3．在等邊VABC中，AC1，則ABBC．

4．已知向量a，b滿足b3,1，baR，且ab1，則.

考點七：平面向量的夾角

ab

求向量的夾角的關(guān)鍵是計算ab及ab,在此基礎上結(jié)合數(shù)量積的定義或性質(zhì)計算cos,最后借

ab

助[0,],求出值；

【典型例題】

例1．（2023高三上·新疆·學業(yè)考試）已知向量a1,2,b3,6，則向量a與b（）

A．互相平行B．夾角為60oC．夾角為30oD．互相垂直

例2．已知向量a(0,2),b(3,1)，則向量a與b夾角的余弦值為．

例3．（2024高二下·安徽·學業(yè)考試）已知非零向量a，b滿足|a|2|b|，且(ab)b，則a與b的夾角

為.

，，

例4．（2023高二·甘肅·學業(yè)考試）已知向量a、b滿足aab5且a2，b1則向量a與b的夾角

為.

【即時演練】

1．已知非零向量a,b滿足ab，且aa2b，則a與b的夾角為（）

π5ππ2π

A．B．C．D．

6633

2．若向量a3,1，b1,3，則a與b的夾角為（）．

ππππ

A．B．C．D．

6432

3．VABC中，設ABc,BCa,CAb，若cbca0，則VABC的形狀是（）

A．鈍角三角形B．銳角三角形C．直角三角形D．無法確定

4．已知a，b，c均為單位向量，且滿足3a4b5c0，則cosb,c.

考點八：平面向量的模

22

（1）求模問題一般轉(zhuǎn)化為求模的平方,與向量數(shù)量積聯(lián)系,并靈活應用aa,勿忘記開方.

22

（2）若ax,y,則a·aaax2y2,于是有ax2y2

【典型例題】

rr

例1．（2022高二下·河北·學業(yè)考試）已知向量a，b滿足a1，b3，ab3，則ab（）

A．11B．10C．3D．2

例2．（2024高二下·湖北·學業(yè)考試）已知ab1，且ab0，則ab.

例3．（2024高二下·安徽·學業(yè)考試）已知單位向量a與單位向量b的夾角為120，則a3b．

例4．（2024高二下·湖南株洲·學業(yè)考試）已知向量a1,2，b2,2，則|ab|=.

【即時演練】

1．已知平面向量a,b為單位向量，若ab3，則ab（）

A．0B．1C．3D．3

rr

2．設向量a，b滿足ab19，ab11，則ab等于（）

A．22B．2C．5D．8

3．已知a(2,0)，b(1,1)，則|a2b|的值為（）

A．1B．2C．3D．4

4．已知向量a1,1,b2,，且b5,0，則ab（）

A．1B．2C．1D．0

考點九：平面向量的垂直

【典型例題】

例1．（2022高二下·河北·學業(yè)考試）已知向量a1,2，b2,，若ab，則實數(shù)（）

A．1B．1C．4D．4

例2．（2023高三·新疆·學業(yè)考試）若|a|2，|b|1，且(ab)b，則a與b的夾角為（）

5111

A．πB．πC．πD．π

12346

例3．（2022高二·湖南·學業(yè)考試）在VABC中，ABBC0，VABC為（）

A．直角三角形B．銳角三角形C．鈍角三角形D．等邊三角形

例4．（2024高二上·新疆·學業(yè)考試）已知向量a(5,7),b(1,3),c(2,2).

(1)若ambnc，求實數(shù)m,n的值；

(2)若(2akc)(bc)，求實數(shù)k的值.

【即時演練】

1．已知向量a3,0,b2,x，若aba2b，則x（）

1414

A．7B．7C．D．

22

2．