2025年大學(xué)《物理學(xué)》專業(yè)題庫——量子場論的基本原理與應(yīng)用考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡述海森堡不確定性原理在量子場論中的推廣，并解釋其物理意義。二、推導(dǎo)狄拉克方程，并說明其解的物理意義，包括正能解和負(fù)能解的詮釋以及空穴理論。三、在量子場論正則量子化方法中，定義場的對易關(guān)系（或反對易關(guān)系）。費(fèi)米子場和玻色子場在對易關(guān)系上有何區(qū)別？說明其物理原因。四、解釋S矩陣的物理意義。在馬爾可夫散射理論中，如何通過S矩陣計(jì)算散射截面？簡述費(fèi)曼規(guī)則的主要內(nèi)容。五、什么是propagator？它在量子場論中扮演什么角色？請寫出費(fèi)米子propagator和光子propagator的表達(dá)式（相對論性）。六、什么是微擾理論？在量子場論中應(yīng)用微擾理論計(jì)算散射幅時(shí)，通常遇到哪些類型的問題（發(fā)散）？簡要說明重整化的基本思想及其作用。七、Noether定理的內(nèi)容是什么？試由時(shí)空平移不變性推導(dǎo)能量守恒定律，并說明其中的對稱性與守恒量之間的關(guān)系。八、在量子電動(dòng)力學(xué)（QED）中，電子和光子通過交換虛光子發(fā)生相互作用。請畫出電子-電子彈性散射（M?ller散射）和電子-正電子湮滅產(chǎn)生兩個(gè)光子的費(fèi)曼圖，并簡述其物理過程。九、解釋什么是規(guī)范不變性。以U(1)電磁場理論為例，說明規(guī)范不變性如何導(dǎo)致電磁場的洛倫茲規(guī)范條件以及矢勢Aμ的規(guī)范變換性質(zhì)。十、什么是生成泛函G(x,x')？它的物理意義是什么？如何通過生成泛函計(jì)算真空期望值?T{O(x)}?和散射矩陣S？十一、在量子場論中，什么是renormalizationgroup(RG)流？簡述其物理意義，并解釋為什么renormalization能最終確定物理量的值。十二、試比較量子場論方法與非相對論量子力學(xué)的微擾理論在處理多體問題或相互作用問題上的主要異同。試卷答案一、量子場論中，不確定性原理體現(xiàn)為場的能量E和時(shí)間t（或更準(zhǔn)確地說是相空間體積）的不確定性關(guān)系ΔEΔt≥?/2。其物理意義在于，場能量的任何瞬時(shí)、局域的劇烈變化（ΔE在有限時(shí)間內(nèi)極大）都會(huì)導(dǎo)致相應(yīng)空間體積內(nèi)產(chǎn)生粒子-反粒子對的虛擾動(dòng)，這限制了場能量在時(shí)間和空間上的局部化程度，是量子漲落的基本體現(xiàn)。二、推導(dǎo)狄拉克方程：從相對論波動(dòng)方程ρ2-(1/c2)?2/?t2=0出發(fā)，引入四維波矢kμ=(E/c,p?,p?,p?)，寫成(k·p-E/c)Ψ=0。為得到具有自旋1/2特性的解，假設(shè)Ψ=u(k)v(x)，代入后得到u滿足的方程u(k)(γμkμ-m)=0。解此代數(shù)方程得到四個(gè)線性相關(guān)解，其中兩個(gè)對應(yīng)正能解E=c√(k2+m2)，兩個(gè)對應(yīng)負(fù)能解E=-c√(k2+m2)。物理上，負(fù)能解被解釋為正反粒子對的湮滅或真空中的“空穴”。狄拉克方程預(yù)言了反物質(zhì)的存在。三、正則量子化中，為得到量子化的費(fèi)米子場ψ和反場ψ?滿足統(tǒng)計(jì)對稱性要求，引入它們的對易關(guān)系（費(fèi)米子）或反對易關(guān)系（玻色子）：[ψ(x),ψ(y)]=0,[ψ(x),ψ?(y)]=0,[ψ?(x),ψ?(y)]=0{ψ(x),ψ(y)}=0,{ψ(x),ψ?(y)}=0,{ψ?(x),ψ?(y)}=0區(qū)別在于費(fèi)米子場滿足反對易關(guān)系，源于泡利不相容原理，即兩個(gè)費(fèi)米子不能處于完全相同的量子態(tài)。玻色子場滿足對易關(guān)系，源于玻色子全同性。這種交換對稱性是基本物理原理的體現(xiàn)。四、S矩陣是散射幅T的矩陣元表示，S2=I，S矩陣在CP2+T空間中是幺正的，其元S<0xE2><0x82><0x9F|S<0xE1><0xB5><0xA3>量度了初態(tài)|<0xE2><0x82><0x9F>和末態(tài)|<0xE1><0xB5><0xA3>之間的相對相干性。馬爾可夫散射理論中，散射截面σ(θ)與入射粒子數(shù)N<0xE2><0x82><0x9F>、出射粒子數(shù)N<0xE1><0xB5><0xA3>及散射幅T<0xE1><0xB5><0xA3><0xE2><0x82><0x9F>的平方（考慮相干性修正）通過關(guān)系dσ/dΩ=|T<0xE1><0xB5><0xA3><0xE2><0x82><0x9F>|2/(16π2N<0xE2><0x82><0x9F>2)聯(lián)系。費(fèi)曼規(guī)則提供了計(jì)算T矩陣元的具體方法：通過費(fèi)曼圖，將每個(gè)頂點(diǎn)、每條內(nèi)部線、每個(gè)外部線（入射或出射）分別賦予相應(yīng)的費(fèi)曼規(guī)則因子（如交互作用勢、propagator、粒子自旋-軌道耦合因子等），然后對圖中的所有頂點(diǎn)進(jìn)行求和（對內(nèi)部線積分）。五、Propagator（傳播子）是量子場論中描述粒子在時(shí)空兩點(diǎn)之間傳播幅度的算符的真空期望值，如Γ(x,x')=?0|T{φ(x)φ(x')}?。它代表場算符在無外場真空態(tài)下的時(shí)間或空間相關(guān)性，反映了真空漲落對粒子傳播的影響。其物理角色是費(fèi)曼圖計(jì)算中的關(guān)鍵連接件，對應(yīng)于圖中連接兩個(gè)頂點(diǎn)的虛線（內(nèi)部線），其具體形式由相應(yīng)的生成泛函的逆矩陣給出。費(fèi)米子propagator(F?1(k)):F?1(k)=i(γμpμ-m)?1，光子propagator(D(k)):D(k)=i/(k2-m2+iε)。六、微擾理論是一種近似方法，適用于相互作用強(qiáng)度V較小的情況。通過展開相互作用哈密頓量H'=λV(λ為小參數(shù))，將總哈密頓量H=H?+λH'的本征態(tài)和本征值展開為λ的冪級數(shù)：|n(λ)|=|n(0)>+λ|n(1)>+λ2|n(2)>...，E<0xE1><0xB5><0xA3>(λ)=E<0xE1><0xB5><0xA3>(0)+λE<0xE1><0xB5><0xA3>(1)+λ2E<0xE1><0xB5><0xA3>(2)...。散射理論中應(yīng)用微擾計(jì)算散射矩陣S=I+iλV，其中V是相互作用算符。主要問題是計(jì)算過程中出現(xiàn)無窮大（發(fā)散），源于高階修正中無限重?cái)?shù)項(xiàng)（如粒子自能、虛粒子散射等）的求和。重整化是解決發(fā)散問題的標(biāo)準(zhǔn)技術(shù)：通過重新定義或調(diào)整物理參數(shù)（如質(zhì)量、電荷、耦合常數(shù)），消除無窮大，得到有限的、具有明確物理意義的物理量。七、Noether定理指出：如果一個(gè)物理系統(tǒng)的拉格朗日量L不顯含某個(gè)坐標(biāo)q或其導(dǎo)數(shù)，并且對q的任意有限小變分δq(x)滿足?L/?(q?i)δqi-?L/?xμ(?L/?(q?i)δqi)dxμ=0（或等價(jià)的對稱性條件），則存在一個(gè)相應(yīng)的守恒量（Noether算符的真空期望值為零）。由時(shí)空平移不變性（L不顯含xμ），即δxμ=εμ，得?L/?xμ=0。對經(jīng)典拉格朗日量L=L(q,q?,t)，有?L/?xμ=pμ（動(dòng)量）。由對稱性判別式pμδxμ=pμεμ=εpμ=0，得pμ=0是守恒量。在量子場論中，守恒量對應(yīng)于對應(yīng)的對稱性算符（如時(shí)空平移算符Pμ=i∫d3x(?L/?(?_μφ))φ）的生成元（對易子），如P?=H是能量守恒，P?,P?,P?是動(dòng)量守恒。對稱性與守恒律通過Noether定理緊密聯(lián)系。八、電子-電子彈性散射（M?ller散射）費(fèi)曼圖：一個(gè)入射電子（外部實(shí)線，負(fù)電荷，箭頭向外），一個(gè)入射電子（外部實(shí)線，負(fù)電荷，箭頭向內(nèi)），它們通過交換一個(gè)虛光子（內(nèi)部實(shí)線，帶電，箭頭指向散射后兩個(gè)電子，代表相互作用）而改變運(yùn)動(dòng)方向，散射后兩個(gè)電子（外部實(shí)線，負(fù)電荷，箭頭指向不同方向）。電子-正電子湮滅產(chǎn)生兩個(gè)光子費(fèi)曼圖：一個(gè)入射電子（外部實(shí)線，負(fù)電荷，箭頭向外），一個(gè)入射正電子（外部實(shí)線，正電荷，箭頭向內(nèi)），它們在頂點(diǎn)湮滅（頂點(diǎn)由QED作用項(xiàng)V^μνA_μA_ν產(chǎn)生），產(chǎn)生兩個(gè)動(dòng)量相反的光子（內(nèi)部實(shí)線，無電荷，箭頭分別指向兩個(gè)方向）。物理過程：在M?ller散射中，虛光子作為電磁場的量子，傳遞了動(dòng)量和能量，導(dǎo)致兩個(gè)帶電粒子偏轉(zhuǎn)。在湮滅過程中，電子和正電子的量子態(tài)相消，其量子數(shù)（電荷、輕子數(shù)）轉(zhuǎn)化為光子的量子數(shù)（無電荷、無輕子數(shù)），同時(shí)滿足能量和動(dòng)量守恒。九、規(guī)范不變性是指物理定律的形式在規(guī)范變換下保持不變。規(guī)范變換是指場算符發(fā)生某種特定形式的整體空間或時(shí)空變換。以U(1)電磁場理論為例，標(biāo)勢A?保持不變，矢勢A→A'=A+?λ(x)/c，其中λ(x)是時(shí)空坐標(biāo)x的任意標(biāo)量函數(shù)。規(guī)范變換不改變物理量：電場E→E'=E，磁場B→B'=B，四維勢Aμ→Aμ'=Aμ+(1/c)?λ(x)δμ。這是因?yàn)橄嗷プ饔庙?xiàng)V=qA?（電相互作用）和∮d3xFμνAμdxμ（其中Fμν=?μAν-?νAμ是場強(qiáng)張量）在上述規(guī)范變換下保持不變。洛倫茲規(guī)范條件?μAμ=0（或?2A-(1/c2)?2A?=0）是規(guī)范不變性的結(jié)果，它簡化了方程和propagator的形式。規(guī)范變換性質(zhì)反映了電磁場作為規(guī)范場的本質(zhì)。十、生成泛函G(x,x')=?0|T{e^(?iHt)φ(x)φ(x')e^(iHt)}?，其中H是系統(tǒng)的哈密頓量，T是時(shí)間有序算符。其物理意義非常豐富：其一階導(dǎo)數(shù)?G/?x與G(x,x')在t=0時(shí)的真空期望值?0|T{φ(x)φ(x')}|0>相關(guān)，可用于計(jì)算S矩陣元；其二階導(dǎo)數(shù)?2G/?x?x'與G(x,x')在t=0時(shí)對產(chǎn)生算符a?(x')和湮滅算符a(x)的真空期望值相關(guān)，可用于計(jì)算粒子數(shù)；對時(shí)間變量求導(dǎo)可得到能量譜和態(tài)密度信息。簡述計(jì)算：通過費(fèi)曼技巧，將G(x,x')與相互作用哈密頓量H'的冪級數(shù)展開式聯(lián)系起來，得到G(x,x')=G?(x,x')+λG?(x,x')+λ2G?(x,x')+...，其中G?(x,x')是自由場propagator的組合，Gn(x,x')與H'的第n階項(xiàng)相關(guān)。通過求解含H和H'的積分方程或進(jìn)行Dyson展開可以得到G(x,x')，進(jìn)而計(jì)算所需物理量。十一、RenormalizationGroup(RG)流描述了物理系統(tǒng)在改變其能量尺度（或稱“距離”）時(shí)的行為。通過RG算子R(λ)作用在理論參數(shù)（如耦合常數(shù)g、粒子質(zhì)量m、場強(qiáng)度等）上，參數(shù)會(huì)按冪律隨λ變化：g(λ)=g(λ?)+[?g(λ?)/?λ]*(λ-λ?)+...。通常λ代表能量尺度，λ越大對應(yīng)更高能量（短距離）極限，λ越小對應(yīng)更低能量（長距離）極限。RG流的物理意義在于它連接了不同能量尺度的理論描述，并揭示系統(tǒng)行為隨能量變化的規(guī)律。重整化能確定物理量是因?yàn)镽G流在λ=0（長距離/低能極限）處截?cái)?，此時(shí)參數(shù)的系數(shù)只取決于初始參數(shù)和RG算子本身，不再包含無窮大，從而給出了物理量的最終有限值。十二、相同點(diǎn)：兩者都基于疊加原理，將復(fù)雜的量子態(tài)或相互