專題01將軍飲馬模型重難點(diǎn)題型歸納目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【題型一將軍飲馬——“兩定一動(dòng)”】 1【題型二將軍飲馬——“兩動(dòng)一定”】 3【題型三將軍飲馬——“兩定兩動(dòng)”】 5【題型四將軍飲馬——“三動(dòng)點(diǎn)”】 3【題型五將軍飲馬——“兩定點(diǎn)一定長(zhǎng)”】 5【專項(xiàng)綜合檢測(cè)】 9【題型一將軍飲馬——“兩定一動(dòng)”】【方法指導(dǎo)】求線段和最小依據(jù)：PA+PB≥AB或PA+PB=PA+PB結(jié)論：PA+PBmin=AB求線段差最大依據(jù)：PA?PB≤AB或PA?PB結(jié)論：PA?PBmax【典型例題】【例1】（2023秋·廣東深圳·八年級(jí)深圳市南山區(qū)華僑城中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，直線y=?43x+4與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)E(1,0)，D為線段BC的中點(diǎn)，P為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PD、PE，當(dāng)△PED的周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)A．0,45 B．(0,1) C．(1,0) 【例2】（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)A1，0，B?94，?2，點(diǎn)P在直線y=xA．174 B．92 C．4 【例3】（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD中，DA⊥AB,CB⊥AB,AD=3,AB=5,BC=2,P是AB上一動(dòng)點(diǎn)，則PC+PD的最小值是【強(qiáng)化訓(xùn)練】1、（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC邊的中點(diǎn)，EF垂直平分AB邊，動(dòng)點(diǎn)P在直線EF上，若BC=12，S△ABC=84，則線段PB+PD的最小值為2、（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，AC⊥BC，若AC＝7，BC＝24，AB＝25，將Rt△ABC折疊，使得點(diǎn)C恰好落在AB邊的點(diǎn)E處，折痕為AD，點(diǎn)P為AD上一動(dòng)點(diǎn)，則△PEB的周長(zhǎng)最小值為3、（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AD為BC邊上的高線，且AD=BC，點(diǎn)M為直線BC上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且△ABC面積為△MBC的面積2倍，則當(dāng)最小時(shí)，∠MBC的度數(shù)為°．【題型二將軍飲馬——“兩動(dòng)一定”】【方法指導(dǎo)】條件：P為∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，在射線OA，OB上分別找點(diǎn)M、N，使△PMN的周長(zhǎng)最小依據(jù)：C結(jié)論：CPMN的最小值為P【典型例題】【例4】（2023春·河南濮陽(yáng)·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在菱形ABCD中，AB=4，∠ABC=60°，點(diǎn)P、M分別是BD和BC上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)M與點(diǎn)B、C不重合，則PM+PC的最小值是（

）A．2 B．3 C．23 【例5】（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A=40°，M，N分別是邊AB，AD上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△MCN的周長(zhǎng)最小時(shí)，∠MCN的大小是（

A．50° B．70°C．90° D．100°【例6】（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線OA和射線OB上的動(dòng)點(diǎn)，，則△PMN周長(zhǎng)的最小值是．【強(qiáng)化訓(xùn)練】1、（2023秋·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD是∠BAC的平分線且AD=12，若P、Q分別是AD、AC上的動(dòng)點(diǎn)，則PC+PQ的最小值是．2、（2023春·重慶豐都·八年級(jí)校考期中）如圖，在中，∠C=90°，∠A=30°，AB=7，BD是△ABC的角平分線，點(diǎn)P，點(diǎn)N分別是BD，AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M在BC上，且BM=1，則PM+PN的最小值為．3、（2023春·浙江麗水·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，BC=6，∠ABC=60°，BE平分∠ABC，點(diǎn)F為BC上一點(diǎn)，點(diǎn)G為BE上一點(diǎn)，連接CG，F(xiàn)G，則CG+FG的最小值為．【題型三將軍飲馬——“兩定兩動(dòng)”】【方法指導(dǎo)】條件：P，Q為角內(nèi)兩定點(diǎn)，在射線上分別找點(diǎn)M、N，使四邊形PQMN的周長(zhǎng)最小.依據(jù)：C結(jié)論：四邊形周長(zhǎng)的最小值為PQ+P【典型例題】【例7】（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，∠AOB=25°，點(diǎn)M，N分別是邊OA，OB上的定點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別是邊OB，OA上的動(dòng)點(diǎn)，記∠MPQ=α，∠PQN=β，當(dāng)MP+PQ+QN的值最小時(shí)，β?α的大小=（度）.【例8】（2023秋·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在△ABC中，若AB=AC，∠A=40°，點(diǎn)E、F分別為AC和AB上的動(dòng)點(diǎn)，與CF相交于G點(diǎn)，當(dāng)BE+EF+CF的值最小時(shí)，則∠ABE=°．【例9】（2023秋·湖北孝感·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，∠BAC=38°，點(diǎn)D，點(diǎn)P分別是AB，AC上的定點(diǎn)，∠DPA<14°，點(diǎn)E，點(diǎn)F分別是AC，AB上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)DE+EF+FP的值最小時(shí)，∠EFP?∠【強(qiáng)化訓(xùn)練】1、（2023·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，，點(diǎn)M、N分別在邊OA、OB上，且OM=2，ON=3，點(diǎn)P、Q分別在邊OB、OA上，則MP+PQ+QN的最小值是．2、（2023春·陜西西安·七年級(jí)陜西師大附中校考期末）如圖，在△ABC中，∠BAC=45°，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)，連接AD，M，N是線段AD上兩點(diǎn)，，AN=15，點(diǎn)P，Q分別是AB，AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接PM，，NQ，則PM+PQ+NQ的最小值為．

3、（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OACB的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，A（3，0），B（0，4），D為邊OB的中點(diǎn).(1)若E為邊OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△CDE(2)若E、F為邊OA上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF=1，當(dāng)四邊形CDEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)E、F的坐標(biāo).【題型四將軍飲馬——“三動(dòng)點(diǎn)”】【方法指導(dǎo)】條件：D，E，F(xiàn)分別為AB、AC、BC上的動(dòng)點(diǎn)，求△DEF的周長(zhǎng)最小值.依據(jù)：C結(jié)論：C△DEF的最小值為D【典型例題】【例10】（2023春·河北邯鄲·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠B=120°，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別為邊AD、DC的動(dòng)點(diǎn)，則PE+PF的最小值是（

）A．2 B．1.5 C．5 D．【例11】（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）在△ABC中，∠BAC=30°，點(diǎn)N、P、Q分別為邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接NQ,NP,PQ，若BC=6,S△ABC=24，則△NPQA．16 B．12 C．8 D．4【例12】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，四邊形ABCD中，AC⊥BD于點(diǎn)O，OA=OC，OB=OD=3，△ABD的面積為12，點(diǎn)P為線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)P分別作PM⊥AD于點(diǎn)M，作PN⊥DC于點(diǎn)N．連接PB，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，PM+PN+PB的最小值是．【強(qiáng)化訓(xùn)練】1、（2023·陜西西安·西安市第六中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)M在邊BC上，MC=1，P為正方形內(nèi)（含邊上）一點(diǎn)，且S△PAB=14S正方體ABCD，G為邊CD上一動(dòng)點(diǎn)，連接

2、（2022秋·遼寧大連·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，，點(diǎn)Ｄ是它內(nèi)部一點(diǎn)，OD=m．點(diǎn)E，F(xiàn)分別是OA，OB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則△DEF周長(zhǎng)的最小值為（

A．0.5m B．m C．1.5m D．2m3、（2022秋·浙江臺(tái)州·八年級(jí)校考期中）如圖所示，∠AOB=60°，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)一定點(diǎn)，并且，點(diǎn)M、N分別是射線OA，OB上異于點(diǎn)O的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PMN的周長(zhǎng)取最小值時(shí)，點(diǎn)O到線段MN的距離為（）

A．1 B．2 C．3 D．4【題型五將軍飲馬——“兩定點(diǎn)一定長(zhǎng)”】【方法指導(dǎo)】條件：求AM+MN+BN的值最小.結(jié)論：AM+MN+BNmin=【典型例題】【例13】（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）有一條以互相平行的直線a，b為岸的河流，其兩側(cè)有村莊A和村莊B，現(xiàn)在要在河上建一座橋梁MN（橋與河岸垂直），使兩村莊之間的路程最短，從作圖痕跡上來(lái)看，正確的是（

）A．

B．

C．

D．

【例14】（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AB=4，BC=2，G是AD的中點(diǎn)，線段EF在邊AB上左右滑動(dòng)，若EF=1，則GE+CF的最小值為（

）

A．23 B．22 C．32【例15】（2023·山東聊城·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A，C，E的坐標(biāo)分別為0,4，8,0，8,2，點(diǎn)P，Q是OC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且PQ=2，要使四邊形APQE的周長(zhǎng)最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

）A．2,0 B．3,0 C．4,0 D．6,0【強(qiáng)化訓(xùn)練】1、（2023秋·福建漳州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，AB=4，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，P，Q為BC邊上的兩點(diǎn)，且PQ=1，則四邊形周長(zhǎng)的最小值為．2、（2023春·福建福州·八年級(jí)校考期末）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，點(diǎn)E為CD中點(diǎn)，P，Q為BC邊上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且PQ=2，當(dāng)四邊形周長(zhǎng)最小時(shí)，BP的長(zhǎng)為．

3、（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，∠MON=30°，OA=2，，線段BC在射線ON上滑動(dòng)，BC=23，則四邊形ABCD周長(zhǎng)的最小值是．1．（2023秋·江蘇泰州·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)部一點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)是、G，直線HG交OA、OB于點(diǎn)C、D，若HG=4cm，且∠AOB=30°，則△HOG的周長(zhǎng)是（

）A．4cm B．8cm C．12cm D．16cm2．（2023秋·湖北武漢·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，AB=AC=1，∠BAC=120°，D為BC邊上一點(diǎn)，作∠ADE=120°且AD=DE，當(dāng)AE+BE取最小值時(shí)，∠ABE=（

A．45° B．60° C．75° D．90°3．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在等邊△ABC中，D為AC中點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別為AB，AD上的點(diǎn)，，QD=2，在BD上有一動(dòng)點(diǎn)E，則PE+QE的最小值為（）

A．7 B．8 C．9 D．104．（2023春·湖北鄂州·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是4，點(diǎn)E是AD邊上的一動(dòng)點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BE于F，點(diǎn)P是AD邊上另一動(dòng)點(diǎn)，則PC+PF的最小值為（

）A．214?2 B．6 C．2135．（2023秋·湖南長(zhǎng)沙·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）若直線AB：與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B和點(diǎn)A，直線CD：y=?12x+2與x軸、y軸分別交于點(diǎn)D和點(diǎn)C，線段AB與CD的中點(diǎn)分別是M，N，點(diǎn)P為x軸上一動(dòng)點(diǎn)．（1）點(diǎn)M的坐標(biāo)為；（2）當(dāng)PM+PN的值最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為6．（2023秋·遼寧阜新·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，且AC=6，BD=8，分別過(guò)點(diǎn)B、C作AC與BD的平行線相交于點(diǎn)E．點(diǎn)G在直線AC上運(yùn)動(dòng)，則BG+EG的最小值為．

7．（2023秋·江蘇淮安·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，矩形ABCD的邊AB=8，AD=6，M為BC的中點(diǎn)，P是矩形內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠ADP=∠PAB，N為邊CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PN，MN，則的最小值為．

8．（2023秋·遼寧沈陽(yáng)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知如圖Rt△OAB，∠OAB=90°，∠ABO=30°，邊OB=8，OA=4，將Rt△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，連接BC，點(diǎn)M是線段OC的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段OB上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)O重合），則

9．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖所示，點(diǎn)P為∠AOB（其中∠AOB為銳角）內(nèi)的一點(diǎn)，P1，P2分別為點(diǎn)P關(guān)于OA，OB的對(duì)稱點(diǎn)，連接P1P2，交OA于點(diǎn)M，交OB于點(diǎn)N，已知．連接

(1)求△PMN(2)若一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)P出發(fā)，到達(dá)OA上一點(diǎn)，再?gòu)倪@點(diǎn)出發(fā)到達(dá)OB上一點(diǎn)，然后又回到點(diǎn)P，所經(jīng)過(guò)的最短路程是多少？請(qǐng)說(shuō)明理由．10．（2023春·廣東中山·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E為AB的中點(diǎn)，在AC上求作點(diǎn)P，使EP+BP的值最?。?1)畫出點(diǎn)P的位置(保留作圖痕跡，不寫畫法)；(2)若AD=6，∠DAC=30°，求EP+BP的最小值．

專題01將軍飲馬模型重難點(diǎn)題型歸納目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【題型一將軍飲馬——“兩定一動(dòng)”】 1【題型二將軍飲馬——“兩動(dòng)一定”】 3【題型三將軍飲馬——“兩定兩動(dòng)”】 5【題型四將軍飲馬——“三動(dòng)點(diǎn)”】 3【題型五將軍飲馬——“兩定點(diǎn)一定長(zhǎng)”】 5【專項(xiàng)綜合檢測(cè)】 9【題型一將軍飲馬——“兩定一動(dòng)”】【方法指導(dǎo)】求線段和最小依據(jù)：PA+PB≥AB或PA+PB=PA+PB結(jié)論：PA+PBmin=AB求線段差最大依據(jù)：PA?PB≤AB或PA?PB結(jié)論：PA?PBmax【典型例題】【例1】（2023秋·廣東深圳·八年級(jí)深圳市南山區(qū)華僑城中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，直線y=?43x+4與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)E(1,0)，D為線段BC的中點(diǎn)，P為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PD、PE，當(dāng)△PED的周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)A．0,45 B．(0,1) C．(1,0) 【答案】A【分析】作點(diǎn)E關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)F，連接DF，交y軸于點(diǎn)Q，則QE=QF，進(jìn)而根據(jù)對(duì)稱性求得當(dāng)點(diǎn)P與Q重合時(shí)，△PED的周長(zhǎng)最小，通過(guò)求直線DF的解析式，即可求得P【詳解】解：如圖，作點(diǎn)E關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)F，連接DF，交y軸于點(diǎn)Q，則QE=QF，連接PF，∵△PED的周長(zhǎng)=PD+PE+DE=PF+PE+PD≥DF+DE，點(diǎn)D,E是定點(diǎn)，則DE∴當(dāng)重合時(shí)，△PED的周長(zhǎng)最小，由y=?43x+4，令x=0,y=4，令∴是BC的中點(diǎn)∴,點(diǎn)F是E關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)∴設(shè)直線DF的解析式為：y=kx+b，將D(32,2)0=?k+b解得k=∴直線DF的解析式為：y=令x=0，則y=即P(0,故選A【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)求最值，求一次函數(shù)解析式，求直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，求線段中點(diǎn)坐標(biāo)，掌握根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)求線段和的最值是解題的關(guān)鍵．【例2】（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)A1，0，B?94，?2，點(diǎn)P在直線y=xA．174 B．92 C．4 【答案】D【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可求得答案．【詳解】解：作A關(guān)于直線y=x對(duì)稱點(diǎn)C，∴OC=OA，∵A1，0∴C的坐標(biāo)為0，1；連接CB并延長(zhǎng)，交直線y=x于P點(diǎn)，此時(shí)PA?PB=∴PA?PB=BC=故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，軸對(duì)稱?最短路線問(wèn)題，正確的作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵．【例3】（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD中，DA⊥AB,CB⊥AB,AD=3,AB=5,BC=2,P是AB上一動(dòng)點(diǎn)，則PC+PD的最小值是【答案】5【分析】作C點(diǎn)關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)C’，連接C’D，PC+PD的最小值即為C’D的長(zhǎng)，作C’E⊥DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】如圖，作C點(diǎn)關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)C’，連接C’D，PC+PD的最小值即為C’D的長(zhǎng)，作C’E⊥DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，∴四邊形ABC’E是矩形∴DE=AD+AE=AD+BC’=5,∴C’D=5故答案為：52【點(diǎn)睛】此題主要考查對(duì)稱性的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟知對(duì)稱的性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用．【強(qiáng)化訓(xùn)練】1、（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC邊的中點(diǎn)，EF垂直平分AB邊，動(dòng)點(diǎn)P在直線EF上，若BC=12，S△ABC=84，則線段PB+PD的最小值為【答案】14【分析】根據(jù)三角形的面積公式得到AD=14，由EF垂直平分AB，得到點(diǎn)A，B關(guān)于直線EF對(duì)稱，于是得到AD的長(zhǎng)度=PB+PD的最小值，即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵AB=AC，D是BC中點(diǎn)，∴AD⊥BC，又∵BC=12，S△ABC=84，∴12∴AD=14，∵EF垂直平分AB，∴PA=PB，∴PB+PD=PA+PD，∴當(dāng)A，P，D在同一直線上時(shí)，PB+PD=PA+PD=AD，即AD的長(zhǎng)度=PB+PD的最小值，∴PB+PD的最小值為14，故答案為：14．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題，線段的垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，凡是涉及最短距離的問(wèn)題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對(duì)稱變換來(lái)解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱點(diǎn)．2、（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，AC⊥BC，若AC＝7，BC＝24，AB＝25，將Rt△ABC折疊，使得點(diǎn)C恰好落在AB邊的點(diǎn)E處，折痕為AD，點(diǎn)P為AD上一動(dòng)點(diǎn)，則△PEB的周長(zhǎng)最小值為【答案】42【分析】連接CP，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到點(diǎn)C和點(diǎn)E關(guān)于AD對(duì)稱，可推出PC+PB的最小值即PE+PB最小，即當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)D的位置上時(shí)，△PEB的周長(zhǎng)最小，計(jì)算出△【詳解】解：連接CP，由于折疊可得：點(diǎn)C和點(diǎn)E關(guān)于AD對(duì)稱，∴CP=EP，在△PEB中，BE固定不變，PE和PB隨點(diǎn)P的位置變化，∴當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)D的位置上時(shí)，PC+PB最小，即PE+PB最小，∵AC=7，BC＝24，AB＝25，∴AE=7，BE=18，∴PE+PB的最小值為CD+BD=BC=24，∴△PEB的周長(zhǎng)最小值為PE+PB+BE=24+18=42.故答案為：42.【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，最短路徑問(wèn)題，關(guān)鍵是求出P點(diǎn)的位置，題目比較好，難度適中．3、（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AD為BC邊上的高線，且AD=BC，點(diǎn)M為直線BC上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且△ABC面積為△MBC的面積2倍，則當(dāng)最小時(shí)，∠MBC的度數(shù)為°．【答案】45【詳解】如圖，作過(guò)點(diǎn)M的直線l，使得l∥BC，作C關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)C'，連接BC'，CC'交l于點(diǎn)E，則=MB+MC'≥B∴l(xiāng)∴C∴CC∵△ABC中，AD為BC邊上的高線，△ABC面積為△MBC的面積2倍，AD=BC，∴MN=根據(jù)平行線間的距離相等，可得CE=MN，則CC'∴△．故答案為：45°．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的高線，等腰直角三角形的性質(zhì)，平行線的距離，軸對(duì)稱求線段和的最小值，掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【題型二將軍飲馬——“兩動(dòng)一定”】【方法指導(dǎo)】條件：P為∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，在射線OA，OB上分別找點(diǎn)M、N，使△PMN的周長(zhǎng)最小依據(jù)：C結(jié)論：CPMN的最小值為P【典型例題】【例4】（2023春·河南濮陽(yáng)·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在菱形ABCD中，AB=4，∠ABC=60°，點(diǎn)P、M分別是BD和BC上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)M與點(diǎn)B、C不重合，則PM+PC的最小值是（

）A．2 B．3 C．23 【答案】C【分析】連接PA，根據(jù)菱形的性質(zhì)，證明，得到PA=PC，即．由于M是BC上的動(dòng)點(diǎn)，所以，當(dāng)AM⊥BC時(shí)，AM有最小值．再根據(jù)AB=4，∠ABC=60°計(jì)算得到最小值．【詳解】解：如圖1，連接PA，∵菱形ABCD，∴AB=AD=DC，AB∥∴∠ABD=∠ADB，∠ABD=∴，在△ADP與△CDP∵AD=DC∠∴，∴PA=PC，即．∵M(jìn)是BC上的動(dòng)點(diǎn)，∴當(dāng)AM⊥BC時(shí)，如圖2，過(guò)A作AM⊥BC于點(diǎn)∵∠ABC=60°，∠AMB=90°，AB=4，∴AM=23故PM+PC的最小值是23故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)應(yīng)用和最短路徑，以及運(yùn)用特殊三角函數(shù)值解直角三角形，其中，運(yùn)用菱形性質(zhì)將線段PC等量轉(zhuǎn)換為PA，是解題的關(guān)鍵．【例5】（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A=40°，M，N分別是邊AB，AD上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△MCN的周長(zhǎng)最小時(shí)，∠MCN的大小是（

A．50° B．70°C．90° D．100°【答案】D【分析】作點(diǎn)C關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)C'，作點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)C″，連接C'C″，分別交AD于點(diǎn)N，交AB于點(diǎn)M，連接CN，CM；先根據(jù)四邊形的內(nèi)角和求出∠DCB=140°【詳解】解：作點(diǎn)C關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)C'，作點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)C″，連接C'C″，分別交AD于點(diǎn)N，交AB∵在四邊形ABCD中，∠∴∠DCB=140°∴在△CC'C∵點(diǎn)C和點(diǎn)C'關(guān)于AD的對(duì)稱，點(diǎn)C和點(diǎn)C″關(guān)于∴CN=C∴∠C∴∠MCB+∴∠MCN=故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，四邊形的內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)確定點(diǎn)M和點(diǎn)N的位置．【例6】（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線OA和射線OB上的動(dòng)點(diǎn)，，則△PMN周長(zhǎng)的最小值是．【答案】3【分析】分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)C、D，連接CD，分別交OA、OB于點(diǎn)M、N，連接OP、OC、OD、PM、PN，當(dāng)點(diǎn)M、N在CD上時(shí)，△PMN【詳解】解：分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)C、D，連接CD，分別交OA、OB于點(diǎn)M、N，連接OP、OC、OD、PM、PN．∵點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)為C，關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)為D，∴PM=CM，OP=OC，∠∵點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)為D，∴PN=DN，OP=OD，∠∴OC=OD=OP=3cm，∠∴△COD∴CD=OC=OD=3cm∴△PMN的周長(zhǎng)的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=3cm故答案為：3cm【點(diǎn)睛】本題主要考查最短路徑問(wèn)題和等邊三角形的判定．作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)C、D是解題的關(guān)鍵所在．【強(qiáng)化訓(xùn)練】1、（2023秋·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD是∠BAC的平分線且AD=12，若P、Q分別是AD、AC上的動(dòng)點(diǎn)，則PC+PQ的最小值是．【答案】12013/【分析】由等腰三角形的三線合一可得出AD垂直平分BC，過(guò)點(diǎn)B作BQ⊥AC于點(diǎn)Q，BQ交AD于點(diǎn)P，則此時(shí)PC+PQ取最小值，最小值為BQ的長(zhǎng)，在△ABC中，利用面積法可求出BQ的長(zhǎng)度，此題得解．【詳解】解：∵AB=AC，AD是∠BAC∴AD垂直平分BC，∴．如圖，過(guò)點(diǎn)B作BQ⊥AC于點(diǎn)Q，BQ交AD于點(diǎn)P，則此時(shí)PC+PQ取最小值，最小值為BQ的長(zhǎng)，∵S△∴BQ=BC即PC+PQ的最小值是12013故答案為：12013【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱——最短路線問(wèn)題、等腰三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)以及三角形的面積，掌握最短路徑問(wèn)題的解決方法是解題的關(guān)鍵．凡是涉及最短距離的問(wèn)題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對(duì)稱變換來(lái)解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱點(diǎn)．2、（2023春·重慶豐都·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，∠C=90°，∠A=30°，AB=7，BD是△ABC的角平分線，點(diǎn)P，點(diǎn)N分別是BD，AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M在BC上，且BM=1，則PM+PN的最小值為．【答案】3【分析】作點(diǎn)M關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)M'，連接PM'，則PM'=PM，BM=BM'=1，當(dāng)N，P，M'在同一直線上，且【詳解】解：如圖所示，作點(diǎn)M關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)M'，連接PM'∵BD是△ABC∴點(diǎn)M'落在AB∴BM=BM∴PN+PM=PN+PM當(dāng)N，P，M'在同一直線上，且NPN+PM'的最小值等于垂線段此時(shí)，Rt△∠A=30°，M'∴PM+PN的最小值為3，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題主要考查了最短路線問(wèn)題，凡是涉及最短距離的問(wèn)題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對(duì)稱變換來(lái)解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱點(diǎn)．3、（2023春·浙江麗水·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，BC=6，∠ABC=60°，BE平分∠ABC，點(diǎn)F為BC上一點(diǎn)，點(diǎn)G為BE上一點(diǎn)，連接CG，F(xiàn)G，則CG+FG的最小值為．【答案】3【分析】在AB上取一點(diǎn)，使BH=BF，則GF=GH，所以CG+FG=CG+HG，因此當(dāng)C、G、在同一直線上，且CH⊥AB時(shí)，CG+FG=CG+HG最小，最小值為CH．【詳解】在AB上取一點(diǎn)，使BH=BF，平分∠ABC，∴GF=GH∴CG+FG=CG+HG∴當(dāng)C、G、在同一直線上，且CH⊥ABCG+FG=CG+HG最小，最小值為CH．∵BC=6，∠ABC=60°，∴BC=2BH∴BH=∴CH=故答案為：33【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱?最短路線問(wèn)題，熟練運(yùn)用軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【題型三將軍飲馬——“兩定兩動(dòng)”】【方法指導(dǎo)】條件：P，Q為角內(nèi)兩定點(diǎn)，在射線上分別找點(diǎn)M、N，使四邊形PQMN的周長(zhǎng)最小.依據(jù)：C結(jié)論：四邊形周長(zhǎng)的最小值為PQ+P【典型例題】【例7】（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，∠AOB=25°，點(diǎn)M，N分別是邊OA，OB上的定點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別是邊OB，OA上的動(dòng)點(diǎn)，記∠MPQ=α，∠PQN=β，當(dāng)MP+PQ+QN的值最小時(shí)，β?α的大小=（度）.【答案】50【分析】作M關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)M'，N關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)N'，連接M'N'，交OB于點(diǎn)P，交OA于點(diǎn)Q，連接MP，QN【詳解】解：作M關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)M'，N關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)N'，連接M'N'，交OB于點(diǎn)P，交OA于點(diǎn)Q如圖所示．根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，此時(shí)MP+PQ+QN最小，即M'N∴∠OPM=∵∠MPQ=α，∠PQN=β∴∠QPN=∵∠QPN=∠AOB+∠OQP，∠AOB=25°∴12∴β?α=50°，故答案為：50．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱-最短問(wèn)題、三角形內(nèi)角和，三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)．【例8】（2023秋·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在△ABC中，若AB=AC，∠A=40°，點(diǎn)E、F分別為AC和AB上的動(dòng)點(diǎn)，與CF相交于G點(diǎn)，當(dāng)BE+EF+CF的值最小時(shí)，則∠ABE=°．【答案】30【分析】分別作點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)C'，點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接B'、C'分別交AB和BC于【詳解】解：如圖所示，分別作點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)C'，點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接B'、C'分別交AB和BC于根據(jù)對(duì)稱作圖可知CF=C'F∴∠C'=∠C'∵點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)C'，點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B∴∠AMC=∵∠A=40°∴∠MHN=360°?90°?90°?40°=140°∴∠BHC=140°∴∠C∴∠HBC+∠HCB=40°，∠C∴∠GBC+∴∠ABE+∵AB=AC，∴∠ABC=∵∠BMC=∠BNC=90°，BC=CB，∴△MBC∴，BN=CM，∴BH=CH，∴B'∴∠B∴∠EBN=∴∠EBA=∵∠ABE+∴∠EBA=30°故答案為：30．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱最短路徑問(wèn)題，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，全等三角形和兩點(diǎn)間線段最短等知識(shí)點(diǎn)，正確作出輔助線，利用兩點(diǎn)間線段最短找出最短路徑是解題的關(guān)鍵．【例9】（2023秋·湖北孝感·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，∠BAC=38°，點(diǎn)D，點(diǎn)P分別是AB，AC上的定點(diǎn)，∠DPA<14°，點(diǎn)E，點(diǎn)F分別是AC，AB上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)DE+EF+FP的值最小時(shí)，∠EFP?∠【答案】76°/76度【分析】作點(diǎn)P關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)P'，點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)D'，如圖，由此可知DE+EF+FP=D'E+EF+FP'≥D'P'，可得當(dāng)D'【詳解】解：作點(diǎn)P關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)P'，點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)D則：FP=FP'，∴DE+EF+FP=D∴當(dāng)D'，E，F(xiàn)，P'在同一直線上時(shí)，DE+EF+FP的值最小，如圖，連接A由軸對(duì)稱可知，∠BAP'=∠ABC=38°∠AED=AED'=∠FEP由三角形的內(nèi)角和可得：∠PA則：∠PA∴∠EFP?故答案為：76°．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)，結(jié)合圖形找最短路徑是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【強(qiáng)化訓(xùn)練】1、（2023·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，，點(diǎn)M、N分別在邊OA、OB上，且OM=2，ON=3，點(diǎn)P、Q分別在邊OB、OA上，則MP+PQ+QN的最小值是．【答案】13【分析】作M關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)M'，N關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)N'，連接兩對(duì)稱點(diǎn)M'N'，交OB、OA于P、Q．此時(shí)MP+PQ+QN有最小值，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短，【詳解】解：作M關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)M'，N關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)N'，連接兩對(duì)稱點(diǎn)M'N'，交根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短，MP＋PQ＋QN=MM'N'分別連接OM'，ON'所以∠M所以三角形M'ON由勾股定理得M'所以MP＋PQ＋QN的最小值是13．故答案為：13．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，軸對(duì)稱的性質(zhì)求線段和的最小值，掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2、（2023春·陜西西安·七年級(jí)陜西師大附中校考期末）如圖，在△ABC中，∠BAC=45°，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)，連接AD，M，N是線段AD上兩點(diǎn)，，AN=15，點(diǎn)P，Q分別是AB，AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接PM，，NQ，則PM+PQ+NQ的最小值為．

【答案】17【分析】作點(diǎn)M關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)M'，作點(diǎn)N關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)N'，連接M'N'分別交AB,AC，于點(diǎn)P，Q【詳解】作點(diǎn)M關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)M'，作點(diǎn)N關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)N'，連接M'N'分別交AB,AC連接AM'，

∵，由對(duì)稱性可知，，，∴，∴∠M由對(duì)稱性可得，，由勾股定理得，，∴，當(dāng)M、N、P、Q共線時(shí)，PM+PQ+NQ的值最小，即PM+PQ+NQ的最小值為17．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的最短路徑問(wèn)題，勾股定理，找出P點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．3、（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OACB的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，A（3，0），B（0，4），D為邊OB的中點(diǎn).(1)若E為邊OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△CDE(2)若E、F為邊OA上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF=1，當(dāng)四邊形CDEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)E、F的坐標(biāo).【答案】(1)13(2)，53【分析】（1）作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D'，連接CD'與x軸交于點(diǎn)E，連接DE，先求出直線CD'的關(guān)系式，得出點(diǎn)E的坐標(biāo)，求出AE=2，根據(jù)勾股定理求出CD=（2）將點(diǎn)D向右平移1個(gè)單位得到D'（1,2），作D'關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D″（1,?2），連接CD″交x軸于點(diǎn)F，將點(diǎn)F向左平移1個(gè)單位到點(diǎn)E，此時(shí)點(diǎn)E【詳解】（1）解：如圖，作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D'，連接CD'與x軸交于點(diǎn)E，連接DE∵在矩形OACB中，OA=3，OB=4，D為OB的中點(diǎn)，∴D（0，2），C（3，4），D'設(shè)直線CD'為y=kx＋b，把C（3，4），得3k＋b=4，，解得k=2，，∴直線CD'為令y=0，得x=1，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，0）.∴OE=1，AE=2，利用勾股定理得CD=3DE=1CE=2∴△CDE周長(zhǎng)的最小值為：13+（2）解：如圖，將點(diǎn)D向右平移1個(gè)單位得到D'（1,2），作D'關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D″（1,?2），連接CD″交x軸于點(diǎn)F，將點(diǎn)F向左平移1個(gè)單位到點(diǎn)E，此時(shí)點(diǎn)E理由如下：∵四邊形CDEF的周長(zhǎng)為CD＋DE＋EF＋CF，CD與EF是定值，∴DE＋CF最小時(shí)，四邊形CDEF周長(zhǎng)最小，∵DD'∥EF∴四邊形DD∴DE=D根據(jù)軸對(duì)稱可知，D'∴DE＋CF=D設(shè)直線CD″的解析式為y=kx＋b，把C（3，4），得3k＋b=4k＋b=?2，解得k=3∴直線CD″的解析式為令y=0，得x=5∴點(diǎn)F坐標(biāo)為53∴點(diǎn)E坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，將軍飲馬問(wèn)題，根據(jù)題意作出輔助線，找出最短時(shí)動(dòng)點(diǎn)的位置，是解題的關(guān)鍵．【題型四將軍飲馬——“三動(dòng)點(diǎn)”】【方法指導(dǎo)】條件：D，E，F(xiàn)分別為AB、AC、BC上的動(dòng)點(diǎn)，求△DEF的周長(zhǎng)最小值.依據(jù)：C結(jié)論：C△DEF的最小值為D【典型例題】【例10】（2023春·河北邯鄲·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠B=120°，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別為邊AD、DC的動(dòng)點(diǎn)，則PE+PF的最小值是（

）A．2 B．1.5 C．5 D．【答案】D【分析】作點(diǎn)E關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)G，連接PG，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可知PE+PF=PF+PG，由圖象可知當(dāng)FG為兩平行線AB和CD間的垂線段時(shí)，即菱形ABCD的邊AB上的高時(shí)，PE+PF=FG為最小值，再求出菱形ABCD的邊AB上的高，即為PE+PF的最小值．【詳解】解：作點(diǎn)E關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)G，連接PG，∴PE+PF=PF+PG，∵點(diǎn)E為邊AD上的動(dòng)點(diǎn)，即點(diǎn)G也為邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，∴當(dāng)點(diǎn)P、G、F在一條直線上時(shí)，PE+PF有最小值，∵點(diǎn)P、G、F均為動(dòng)點(diǎn)，∴由圖象可知當(dāng)FG為兩平行線AB和CD間的垂線段時(shí)，即菱形ABCD的邊AB上的高時(shí)，PE+PF=FG為最小值，如圖，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB，垂足為∵在菱形ABCD中，∴AD∥∴∠DAH+又∵∠B=120°∴∠DAH=60°∵在中，AD=2，∠ADH=90°?∠∴AH=1∴DH=A∴PE+PF的最小值是，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱中的最短距離問(wèn)題、菱形的性質(zhì)、勾股定理、含30°角的直角三角形的性質(zhì)，學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱解決最短距離問(wèn)題是解答本題的關(guān)鍵．【例11】（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）在△ABC中，∠BAC=30°，點(diǎn)N、P、Q分別為邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接NQ,NP,PQ，若BC=6,S△ABC=24，則△NPQA．16 B．12 C．8 D．4【答案】C【分析】分別作點(diǎn)Q關(guān)于AB、AC的對(duì)稱點(diǎn)G、H，連接GH，分別交AB、AC于點(diǎn)N、P，連接AG、AH、AQ，由對(duì)稱可知，NG=NQ,PH=PQ,AQ=AG=AH，當(dāng)AQ⊥BC時(shí)，AQ最短，即GH最短，此時(shí)△NPQ【詳解】分別作點(diǎn)Q關(guān)于AB、AC的對(duì)稱點(diǎn)G、H，連接GH，分別交AB、AC于點(diǎn)N、P，連接AG、AH、AQ由對(duì)稱可知，NG=NQ,PH=PQ,AQ=AG=AH∴△NPQ的周長(zhǎng)=PN+NQ+PQ=PN+NG+PH=GH∵∠GAN=∠QAN,∠HAP=∠QAP，∠∴∠∴Δ∴當(dāng)AQ⊥BC時(shí)，AQ最短，即此時(shí)△NPQ∵∴即△NPQ故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱求最短距離，涉及等邊三角形的判定和性質(zhì)、軸對(duì)稱作圖、三角形的面積公式，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【例12】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，四邊形ABCD中，AC⊥BD于點(diǎn)O，OA=OC，OB=OD=3，△ABD的面積為12，點(diǎn)P為線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)P分別作PM⊥AD于點(diǎn)M，作PN⊥DC于點(diǎn)N．連接PB，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，PM+PN+PB的最小值是．【答案】7.8【分析】證四邊形ABCD是菱形，得CD=AD=5，連接PD，由三角形面積關(guān)系求出PM+PN=4.8，得當(dāng)PB最短時(shí)，PM+PN+PB有最小值，則當(dāng)BP⊥AC時(shí)，PB最短，即可得出答案．【詳解】解：∵AO=CO，BO=DO，AC⊥BD，∴四邊形ABCD是菱形，∵△ABD的面積為12，∴12BD?AO∴AO=CO=4，∴AD=5，∴CD=AD=5，連接PD，如圖所示：∵S△∴12AD?PM+12DC?PN=12AC即12×5×PM+12×5×PN=∴5（PM+PN）=8×3，∴PM+PN=4.8，∴當(dāng)PB最短時(shí)，PM+PN+PB有最小值，由垂線段最短可知：當(dāng)BP⊥AC時(shí)，PB最短，∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，PM+PN+PB有最小值，最小值=4.8+3=7.8，故答案為：7.8．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理、最小值問(wèn)題以及三角形面積等知識(shí)；熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【強(qiáng)化訓(xùn)練】1、（2023·陜西西安·西安市第六中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)M在邊BC上，MC=1，P為正方形內(nèi)（含邊上）一點(diǎn)，且S△PAB=14S正方體ABCD，G為邊CD上一動(dòng)點(diǎn)，連接

【答案】3【分析】先確定組成點(diǎn)P的所有點(diǎn)為過(guò)AD,BC的中點(diǎn)E，F(xiàn)的線段EF，作點(diǎn)M關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)M'，連接，證明M'F的長(zhǎng)為MG+GP的最小值，因此求出【詳解】解：過(guò)點(diǎn)P作EF∥AB，分別交AD,BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，∵四邊形ABCD是正方形，∴四邊形ABFE和四邊形EFCD都是矩形，∵S△PAB=1∴12解得EA=2，∴CF=DE=AD?AE=4?2=2，

作點(diǎn)M關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)M'，連接，則M'∴MG+GP=M∴MG+GP的最小值為M'∵M(jìn)'∴MG+GP的最小值為3，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問(wèn)題，正方形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，垂線段最短，能用一條線段的長(zhǎng)表示兩條線段和的最小值是解題的關(guān)鍵．2、（2022秋·遼寧大連·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，，點(diǎn)Ｄ是它內(nèi)部一點(diǎn)，OD=m．點(diǎn)E，F(xiàn)分別是OA，OB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則△DEF周長(zhǎng)的最小值為（

A．0.5m B．m C．1.5m D．2m【答案】B【分析】作D點(diǎn)關(guān)于AO的對(duì)稱點(diǎn)G，作D點(diǎn)關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)H，連接GH交AO于點(diǎn)E，交OB于點(diǎn)F，連接GO，，此時(shí)△DEF的周長(zhǎng)最小，最小值為GH，證明△GOH是等邊三角形，即可求解．【詳解】作D點(diǎn)關(guān)于AO的對(duì)稱點(diǎn)G，作D點(diǎn)關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)H，連接GH交AO于點(diǎn)E，交OB于點(diǎn)F，連接GO，，DE，DF如圖所示：由對(duì)稱性可知，，DF=FH，OG=OD=OH，∴ED+DF+EF=GE+EF+FH=GH，此時(shí)△DEF的周長(zhǎng)最小，最小值為GH，∵，∠DOB=∠∴∠GOH=2∵，∴，∴△GOH∴GH=OD，∵OD=m，∴△DEF周長(zhǎng)的最小值為m，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用軸對(duì)稱求最短距離，熟練掌握軸對(duì)稱求最短距離的方法，軸對(duì)稱的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3、（2022秋·浙江臺(tái)州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D所示，∠AOB=60°，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)一定點(diǎn)，并且，點(diǎn)M、N分別是射線OA，OB上異于點(diǎn)O的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PMN的周長(zhǎng)取最小值時(shí)，點(diǎn)O到線段MN的距離為（）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】作點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)P'，點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)P″，連接P'P″與OA、OB分別交于M、N，則P'P″的長(zhǎng)即為【詳解】解：作點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)P'，點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)P″，連接P'P″與OA則PM=P″△PMN周長(zhǎng)為PM+MN+PN=則P'P″連接OP'、OP

由對(duì)稱定可得：OP'=OP∵∠∴∠∵OP'∴∠OCP'∴∠∴OC=故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了利用軸對(duì)稱求最短距離，通過(guò)軸對(duì)稱確定△PMN【題型五將軍飲馬——“兩定點(diǎn)一定長(zhǎng)”】【方法指導(dǎo)】條件：求AM+MN+BN的值最小.結(jié)論：AM+MN+BNmin=【典型例題】【例13】（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）有一條以互相平行的直線a，b為岸的河流，其兩側(cè)有村莊A和村莊B，現(xiàn)在要在河上建一座橋梁MN（橋與河岸垂直），使兩村莊之間的路程最短，從作圖痕跡上來(lái)看，正確的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線，即可得到答案．【詳解】解：根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線問(wèn)題，過(guò)村莊B作河岸的垂線并且等于河的寬度，然后與村莊A連接與河岸a相交于一點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥a與b相交于點(diǎn)N，連接AM、BN，則AM+MN+BN即為最短路徑，如圖

所示，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱確定最短路線問(wèn)題，利用的原理為平行四邊形的對(duì)邊相等，難度較大．【例14】（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AB=4，BC=2，G是AD的中點(diǎn)，線段EF在邊AB上左右滑動(dòng)，若EF=1，則GE+CF的最小值為（

）

A．23 B．22 C．32【答案】C【分析】將FC沿著FE向左平移使F與E重合，得到，根據(jù)動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題“將軍飲馬”模型，作G關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)G'，連接C'G'，此時(shí)GE+CF【詳解】解：將FC沿著FE向左平移使F與E重合，得到，如圖所示：

由平移性質(zhì)得到EC∴GE+CF=GE+EC作G關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)G'，連接C

∴由對(duì)稱性得到G'∴GE+CF=GE+EC由圖可知，GE+CF=GE+EC'=G'E+EC∵EF=1，∴C在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=4，BC=2，由矩形性質(zhì)可得AD=BC=2,AB=DC=4，∴D∵G是AD的中點(diǎn)，∴GA=∵G與G'關(guān)于AB∴A在長(zhǎng)方形ABCD中，∠D=90°∴在Rt△G'DC'中，∠D=90°，∴GE+CF的最小值32故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題-將軍飲馬模型，涉及平移性質(zhì)、對(duì)稱性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題-將軍飲馬模型題型的識(shí)別及做題方法步驟是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【例15】（2023·山東聊城·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A，C，E的坐標(biāo)分別為0,4，8,0，8,2，點(diǎn)P，Q是OC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且PQ=2，要使四邊形APQE的周長(zhǎng)最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

）A．2,0 B．3,0 C．4,0 D．6,0【答案】C【分析】先分析四邊形APQE的周長(zhǎng)最小，則最小，如圖，把AP沿x軸正方向平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得A'Q,作E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)H,則H8,?2,連接A'H交x軸于K,則A'K+EK=A'H,所以當(dāng)【詳解】解：∵四邊形APQE的周長(zhǎng)=AP+PQ+EQ+AE,∵PQ=2，A0,4∴AE+PQ所以四邊形APQE的周長(zhǎng)最小，則最小，如圖，把AP沿x軸正方向平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得A'Q,則A'作E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)H,則H8,?2連接A'H交x軸于K,則所以當(dāng)Q,K重合時(shí)，A'Q+QE最小，即設(shè)A'H的解析式為：∴2k+b=48k+b=?2,所以A'H的解析式為：令y=0,則x=6,則K6,0,即∴P故選C【點(diǎn)睛】本題考查的是利用軸對(duì)稱的性質(zhì)求解四邊形的周長(zhǎng)的最小值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)，平移的性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)的解析式，掌握Q的位置使周長(zhǎng)最小是解本題的關(guān)鍵.【強(qiáng)化訓(xùn)練】1、（2023秋·福建漳州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，AB=4，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，P，Q為BC邊上的兩點(diǎn)，且PQ=1，則四邊形周長(zhǎng)的最小值為．【答案】5【分析】由題意可知，AE，為定長(zhǎng)，四邊形周長(zhǎng)最小只要最小即可，將EQ平移到點(diǎn)Q與點(diǎn)P重合的位置E'P，最小，即AP+E'P最小，作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接E'A'【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，AB=4，點(diǎn)E為CD中點(diǎn)，∴AE為定長(zhǎng)，∴AE=A，∴四邊形周長(zhǎng)最小只要最小即可；取AB中點(diǎn)F，連接EF，在EF上取EE'=PQ=1則四邊形BCEF是矩形，四邊形EE'PQ∴E∴AP+EQ=AP+∴AP+EQ最小，只要AP+E作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接E'A'交則PA'=PA∴AP+E'P=PA'+PE由作圖可知，E'F=EF?EE∴A'∴四邊形周長(zhǎng)的最小值為：35+1+2故答案為：55【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱—最短路徑問(wèn)題、矩形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)，確定出四邊形周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)P的位置是解題的關(guān)鍵．2、（2023春·福建福州·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，點(diǎn)E為CD中點(diǎn)，P，Q為BC邊上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且PQ=2，當(dāng)四邊形周長(zhǎng)最小時(shí)，BP的長(zhǎng)為．

【答案】4【分析】要使四邊形的周長(zhǎng)最小，由于AE與都是定值，只需的值最小即可，為此，現(xiàn)在BC邊上確定帶你P、Q的位置，可在AD上截取線段，作F關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)G，連接EG與BC交于一點(diǎn)即為Q點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作FQ的平行線交BC于一點(diǎn)，即為P點(diǎn)，則此時(shí)AP+EQ=EG最小，然后過(guò)G點(diǎn)作BC的平行線交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，那么先證明∠GEH=45°，再由CQ=EC，即可求出BP的長(zhǎng)度．【詳解】解：如圖，在AD上截取線段，作F關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)G，連接EG與BC交于一點(diǎn)即為Q點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作FQ的平行線交BC于一點(diǎn)，即為P點(diǎn)，過(guò)G點(diǎn)作BC的平行線交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，

∵四邊形ABCD是矩形，AB=4，BC=8，，AD∥BC，BC=AD=8，CD=AB=4，∵點(diǎn)E為CD中點(diǎn)，∴CD=DE=2∵點(diǎn)F關(guān)于BC的對(duì)稱為點(diǎn)G，∴FG=2AB=8∵GH∴FD∴∠H=∴四邊形FGHD為矩形，∴DH=FG=8，GH=DF=AD?AF=8?2=6∴HE=DH?DE=8?2=6=GH∴△GEH∴∠GEH=45°∵∠EQC+∴∠EQC=45°=∴CQ=CE=2∴BP=BC?PQ?CQ=8?2?2=4故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的判定與性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．3、（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，∠MON=30°，OA=2，，線段BC在射線ON上滑動(dòng)，BC=23，則四邊形ABCD周長(zhǎng)的最小值是．【答案】6+2【分析】如圖所示，作點(diǎn)A關(guān)于直線ON的對(duì)稱點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC，EF=BC，連接BE，CF，過(guò)點(diǎn)O作OP垂直于直線EF于P，過(guò)點(diǎn)D作DG垂直直線EF于G，交射線ON于H，設(shè)AE交射線ON于Q，連接BE，CF，DF，由軸對(duì)稱的性質(zhì)得到AQ=QE，AQ⊥ON，AB=BE，利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出AQ=QE=1，OQ=3，OH=43，證明四邊形OPGH是矩形，得到PG=OH=43，同理可證四邊形OPQE是矩形，得到PE=OQ=3，OP=QE=AQ=HG=1，則DG=5，F(xiàn)G=3，即可求出DF=27，證明四邊形BEFC是平行四邊形，得到AB=BE=CF，推出當(dāng)C、D、F【詳解】解：如圖所示，作點(diǎn)A關(guān)于直線ON的對(duì)稱點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC，EF=BC，連接BE，CF，過(guò)點(diǎn)O作OP垂直于直線EF于P，過(guò)點(diǎn)D作DG垂直直線EF于G，交射線ON于H，設(shè)AE交射線ON于Q，連接BE，CF，DF，∴AQ=QE，AQ⊥ON，AB=BE，∵∠MON=30°∴AQ=QE=1∵DG⊥∴DG⊥同理得：DH=1∴OQ=OA2∵OP⊥∴四邊形OPGH是矩形，∴PG=OH=43同理可證四邊形OPQE是矩形，∴PE=OQ=3∴DG=DH+GH=5，F(xiàn)G=PG?PE?EF=3∴DF=D∵OD=8，OA=2，∴AD=6，∵EF=BC，EF∥∴四邊形BEFC是平行四邊形，∴AB=BE=CF，∴四邊形ABCD的周長(zhǎng)=AB+BC+CD+AD=6+2=6+23∴當(dāng)C、D、F三點(diǎn)共線時(shí)，CF+CD最小，即四邊形ABCD的周長(zhǎng)最小，最小為6+23∴四邊形ABCD的周長(zhǎng)的最小值為6+23故答案為：6+23【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)與判定，勾股定理，軸對(duì)稱最短路徑問(wèn)題，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線確定出周長(zhǎng)最小時(shí)的情形是解題的關(guān)鍵．1．（2023秋·江蘇泰州·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)部一點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)是、G，直線HG交OA、OB于點(diǎn)C、D，若HG=4cm，且∠AOB=30°，則△HOG的周長(zhǎng)是（

）A．4cm B．8cm C．12cm D．16cm【答案】C【分析】由軸對(duì)稱的性質(zhì)知：∠1=∠2，∠3=∠4，OP=OH，OP=OG，證明△HOG【詳解】解：連接OP，

由軸對(duì)稱的性質(zhì)知：∠1=∠2，∠3=∠4，OP=OH，OP=OG，∵，即∠2+∴∠HOG=2∠2+∠3=60°，∴△HOG∵HG=4cm∴△HOG的周長(zhǎng)是4×3=12cm故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)，并能數(shù)形結(jié)合是關(guān)鍵．2．（2023秋·湖北武漢·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，AB=AC=1，∠BAC=120°，D為BC邊上一點(diǎn)，作∠ADE=120°且AD=DE，當(dāng)AE+BE取最小值時(shí)，∠ABE=（

A．45° B．60° C．75° D．90°【答案】B【分析】延長(zhǎng)CA至F，使得FD=DC,連接DF，則，證明△FAD≌△CED得出E在射線CE上運(yùn)動(dòng)，作A關(guān)于CE的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A'C，A'B，A'E，則點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)G在CE上，連接AG，可得當(dāng)E【詳解】解：∵AB=AC=1，∠BAC=120°∴∠ACB=30°如圖所示，延長(zhǎng)CA至F，使得FD=DC，連接DF，則

∴∠又∵DA=DE∴△∴∠∴E在射線CE上運(yùn)動(dòng)∴BC平分∠作A關(guān)于CE的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A'C，A'B，A'E，則點(diǎn)A關(guān)于BC

∴∠∴△AGC同理可得△ABG∴EA=EA'∴AE+BE=∴當(dāng)A',E,B三點(diǎn)共線時(shí)，即當(dāng)E與點(diǎn)G重合時(shí)，AE+BE取得最小值，此時(shí)∠故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，軸對(duì)稱的性質(zhì)，得出E點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在等邊△ABC中，D為AC中點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別為AB，AD上的點(diǎn)，，QD=2，在BD上有一動(dòng)點(diǎn)E，則PE+QE的最小值為（）

A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【分析】作點(diǎn)Q關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)Q'，連接PQ'交BD于E，連接QE，此時(shí)的值最?。钚≈怠驹斀狻拷猓骸摺鰽BC∴BA=BC∵BD⊥AC，AQ=3，QD=2，，如圖，作點(diǎn)Q關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)Q'，連接PQ'交BD于E此時(shí)的值最?。钚≈礟E+QE=PE+EQ'

，AD=DC=5，∴QD=D∴C∴AP=A，∴△AP∴P的最小值為7．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)和判定，軸對(duì)稱最短問(wèn)題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱解決最短問(wèn)題，屬于中考常考題型．4．（2023春·湖北鄂州·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是4，點(diǎn)E是AD邊上的一動(dòng)點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BE于F，點(diǎn)P是AD邊上另一動(dòng)點(diǎn)，則PC+PF的最小值為（

）A．214?2 B．6 C．213【答案】C【分析】作CB關(guān)于DA的對(duì)稱線段C'B'，以AB中的O為圓心作半圓O，連C'O分別交DA及半圓O于P、F【詳解】解：如圖：取點(diǎn)C關(guān)于直線DA的對(duì)稱點(diǎn)．以AB中點(diǎn)O為圓心，OA為半徑畫半圓．連接交DA于點(diǎn)P，交半圓O于點(diǎn)F，連．連并延長(zhǎng)交DA于點(diǎn)E．由以上作圖可知，AF⊥EB于PC+PF=P由兩點(diǎn)之間線段最短可知，此時(shí)PC+PF最?。逤'B∴∴∴PC+PF的最小值為2故選C．【點(diǎn)睛】本題考查線段和的最小值問(wèn)題，通常思想是將線段之和轉(zhuǎn)化為固定兩點(diǎn)之間的線段和最短．5．（2023秋·湖南長(zhǎng)沙·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）若直線AB：與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B和點(diǎn)A，直線CD：y=?12x+2與x軸、y軸分別交于點(diǎn)D和點(diǎn)C，線段AB與CD的中點(diǎn)分別是M，N，點(diǎn)P為x軸上一動(dòng)點(diǎn)．（1）點(diǎn)M的坐標(biāo)為；（2）當(dāng)PM+PN的值最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為【答案】?3,21【分析】（1）先根據(jù)函數(shù)解析式求得A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用中點(diǎn)公式可求得M的坐標(biāo)；（2）根據(jù)函數(shù)解析式求得C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)，求得N點(diǎn)的坐標(biāo)，作M關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)M'，連接與x軸交于點(diǎn)P，此時(shí)P'M+P'N=P'M'+P'N=M'N有最小值，求出直線的解析式計(jì)算出與x軸的交點(diǎn)即可．【詳解】解：（1）在直線AB:y=23x+4中，當(dāng)x=0時(shí)，y=4，當(dāng)y=0∴A∴0?6∴M故答案為：?3,2；（2）在直線中，當(dāng)x=0時(shí)，y=2，當(dāng)y=0時(shí)，x=4，∴C∴0+4∴N如圖，作M關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)M'，它的坐標(biāo)?3,?2，連接M'N與x設(shè)直線M'N的解析式為將M'和N的坐標(biāo)分別代入得?3k+b=?2解得k=3∴y=當(dāng)y=0時(shí)，0=3，∴P故答案為：13【點(diǎn)睛】此題考查的是一次函數(shù)的應(yīng)用-幾何問(wèn)題，坐標(biāo)與圖形變換軸對(duì)稱，（1）中能熟讀題意，理解中點(diǎn)公式是解題關(guān)鍵；（2）中能根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間最短得到P點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．6．（2023秋·遼寧阜新·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，且AC=6，BD=8，分別過(guò)點(diǎn)B、C作AC與BD的平行線相交于點(diǎn)E．點(diǎn)G在直線AC上運(yùn)動(dòng)，則