PAGEPAGE14導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)知識一、導(dǎo)數(shù)的定義利用定義求導(dǎo)數(shù)的步驟：求函數(shù)的增量：設(shè)函數(shù)為

y=f(x)，在

x

處取增量

Δx，則函數(shù)的增量為

Δy=f(x+Δx)?f(x)。求平均變化率：平均變化率為

ΔxΔy?。取極限得導(dǎo)數(shù)：當(dāng)

Δx→0

時(shí)，平均變化率的極限即為函數(shù)在

x

處的導(dǎo)數(shù)，記作

f′(x)

或

dxdy?。二、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算（1）基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及常用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算公式：dxd?(C)=0

（C

為常數(shù)）dxd?(xn)=nxn?1dxd?(sinx)=cosxdxd?(cosx)=?sinxdxd?(tanx)=sec2xdxd?(cotx)=?csc2xdxd?(secx)=secxtanxdxd?(cscx)=?cscxcotx法則：法則1：和與差的導(dǎo)數(shù)等于導(dǎo)數(shù)的和與差。即

dxd?[u(x)±v(x)]=u′(x)±v′(x)。法則2：乘積的導(dǎo)數(shù)法則（前導(dǎo)后不導(dǎo)相乘，后導(dǎo)前不導(dǎo)相乘，中間是正號）。即

dxd?[u(x)v(x)]=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)。法則3：商的導(dǎo)數(shù)法則（分母平方要記牢，上導(dǎo)下不導(dǎo)相乘，下導(dǎo)上不導(dǎo)相乘，中間是負(fù)號）。即

dxd?[v(x)u(x)?]=v(x)2u′(x)v(x)?u(x)v′(x)?。（2）復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法：換元：令

u=g(x)，則

y=f(u)。分別求導(dǎo)再相乘：dxdy?=dudy??dxdu??；卮簩?/p>

u=g(x)

代回，得到

dxdy?

的表達(dá)式。三、導(dǎo)數(shù)的物理意義求瞬時(shí)速度：物體在時(shí)刻

t

時(shí)的瞬時(shí)速度就是物體運(yùn)動(dòng)規(guī)律

s(t)

在

t

時(shí)的導(dǎo)數(shù)，即

v(t)=s′(t)。速度與加速度：V=ts?

表示平均速度，a=tv?

表示平均加速度；瞬時(shí)速度

v(t)=s′(t)，瞬時(shí)加速度

a(t)=v′(t)。四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)

y=f(x)

在點(diǎn)

x0?

處導(dǎo)數(shù)的幾何意義是，曲線

y=f(x)

在點(diǎn)

(x0?,f(x0?))

處切線的斜率是

f′(x0?)。于是相應(yīng)的切線方程是：y?f(x0?)=f′(x0?)(x?x0?)。題型三：用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線注意兩種情況：曲線在點(diǎn)處切線：性質(zhì)：切線過點(diǎn)

(x0?,f(x0?))

且斜率為

f′(x0?)。相應(yīng)的切線方程是：y?f(x0?)=f′(x0?)(x?x0?)。曲線過點(diǎn)處切線：先設(shè)切點(diǎn)

(a,f(a))，則斜率

k=f′(a)。切點(diǎn)在曲線上，也在切線上，將切點(diǎn)坐標(biāo)代入切線方程得關(guān)于

a

的方程，解方程確定切點(diǎn)，最后求斜率

k，確定切線方程。例題：在曲線

y=x3+3x2+6x?10

的切線中，求斜率最小的切線方程。解析：當(dāng)

x0?=?1

時(shí)，k

有最小值3，此時(shí)

P

的坐標(biāo)為

(?1,?14)。故所求切線的方程為

3x?y?11=0。五、函數(shù)的單調(diào)性設(shè)函數(shù)

f(x)

在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，增函數(shù)：若

f′(x)>0，則

f(x)

在該區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)。減函數(shù)：若

f′(x)<0，則

f(x)

在該區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)。注意：當(dāng)

f′(x)

在某個(gè)區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)處為零，在其余點(diǎn)處為正（或負(fù)）時(shí)，函數(shù)在該區(qū)間上仍是遞增（或遞減）的。題型一：利用導(dǎo)數(shù)證明（或判斷）函數(shù)

f(x)

在某一區(qū)間上單調(diào)性步驟：求導(dǎo)數(shù)

f′(x)。判斷導(dǎo)函數(shù)

f′(x)

在區(qū)間上的符號。下結(jié)論：若

f′(x)>0，則

f(x)

在該區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)。若

f′(x)<0，則

f(x)

在該區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)。題型二：利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間步驟：分析

f(x)

的定義域。求導(dǎo)數(shù)

f′(x)。解不等式

f′(x)>0，解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間。解不等式

f′(x)<0，解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間。題型三：利用單調(diào)性求參數(shù)的取值（轉(zhuǎn)化為恒成立問題）思路一：在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增

?f′(x)≥0

在該區(qū)間內(nèi)恒成立。在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減

?f′(x)≤0

在該區(qū)間內(nèi)恒成立。思路二：先求出函數(shù)在定義域上的單調(diào)增或減區(qū)間，則已知中限定的單調(diào)增或減區(qū)間是定義域上的單調(diào)增或減區(qū)間的子集。六、函數(shù)的極值與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系1.極值的定義設(shè)函數(shù)

f(x)

在點(diǎn)

x0?

附近有定義，且若對附近的所有的點(diǎn)

x

都有

f(x)≤f(x0?)（或

f(x)≥f(x0?)），則稱

f(x0?)

為函數(shù)的一個(gè)極大（或?。┲?，x0?

為極大（或極?。┲迭c(diǎn)。注意：可導(dǎo)函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0（即

f′(x0?)=0），但函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0，并不一定函數(shù)在該處取得極值（如在

x=0

處的導(dǎo)數(shù)為0，但沒有極值）。2.求極值的步驟求導(dǎo)數(shù)：f′(x)。求方程

f′(x)=0

的所有實(shí)根。列表考察：在每個(gè)根附近，從左到右，導(dǎo)數(shù)的符號如何變化，若

f′(x)

的符號由正變負(fù)，則

f(x)

在該點(diǎn)是極大值；若

f′(x)

的符號由負(fù)變正，則

f(x)

在該點(diǎn)是極小值；若

f′(x)

的符號不變，則不是極值。3.函數(shù)的最值定義：若函數(shù)

f(x)

在定義域

D

內(nèi)存在

x0?，使得對任意的

x∈D，都有

f(x)≤f(x0?)（或

f(x)≥f(x0?)），則稱

f(x0?)

為函數(shù)的最大（小）值，記作

maxf(x)（或

minf(x)）。求可導(dǎo)函數(shù)在閉區(qū)間上的最值方法：求在區(qū)間內(nèi)的極值。比較的極值與端點(diǎn)值的大小。下結(jié)論：最大的為最大值，最小的為最小值。注意：極值與最值關(guān)系：函數(shù)的最值是比較整個(gè)定義域區(qū)間的函數(shù)值得出的，函數(shù)的最大值和最小值點(diǎn)可以在極值點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)、區(qū)間的端點(diǎn)處取得。極值

=

最值。函數(shù)

f(x)

在區(qū)間

[a,b]

上的最大值為極大值和

f(a)、f(b)

中最大的一個(gè)。最小值為極小值和

f(a)、f(b)

中最小的一個(gè)。函數(shù)在定義域上只有一個(gè)極值，則它對應(yīng)一個(gè)最值（極大值對應(yīng)最大值；極小值對應(yīng)最小值）。極大值不一定比極小值大。如

f(x)=x3

的極大值為0，極小值為-2（在