初三考試數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)試卷一、壓軸題1．閱讀并填空：如圖，是等腰三角形，，是邊延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，在邊上且聯(lián)接交于，如果，那么，為什么？解：過(guò)點(diǎn)作交于所以（兩直線(xiàn)平行，同位角相等）（________）在與中所以，（________）所以（________）因?yàn)椋ㄒ阎┧裕╛_______）所以（等量代換）所以（________）所以2．已知，在平面直角坐標(biāo)系中，，，C為AB的中點(diǎn)，P是線(xiàn)段AB上一動(dòng)點(diǎn)，D是線(xiàn)段OA上一點(diǎn)，且，于E．（1）求的度數(shù)；（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，PE的值是否變化？若變化，說(shuō)明理由；若不變，請(qǐng)求PE的值．（3）若，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．3．在中，，，是的角平分線(xiàn)，于點(diǎn).（1）如圖1，連接，求證：是等邊三角形；（2）如圖2，點(diǎn)是線(xiàn)段上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），以為一邊，在下方作，交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn).求證：；（3）如圖3，點(diǎn)是線(xiàn)段上的點(diǎn)，以為一邊，在的下方作，交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn).直接寫(xiě)出，與數(shù)量之間的關(guān)系.4．在中，，是直線(xiàn)上一點(diǎn)，在直線(xiàn)上，且．（1）如圖1，當(dāng)D在上，在延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，求證：；（2）如圖2，當(dāng)為等邊三角形時(shí)，是的延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，在上時(shí)，作，求證：；（3）在（2）的條件下，的平分線(xiàn)交于點(diǎn)，連，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，當(dāng)，時(shí)，求的長(zhǎng)度．5．如圖1，在等邊△ABC中，E、D兩點(diǎn)分別在邊AB、BC上，BE=CD，AD、CE相交于點(diǎn)F．（1）求∠AFE的度數(shù)；（2）過(guò)點(diǎn)A作AH⊥CE于H，求證：2FH+FD=CE；（3）如圖2，延長(zhǎng)CE至點(diǎn)P，連接BP，∠BPC=30°，且CF=CP，求的值．（提示：可以過(guò)點(diǎn)A作∠KAF=60°，AK交PC于點(diǎn)K，連接KB）6．問(wèn)題情景：數(shù)學(xué)課上，老師布置了這樣一道題目，如圖1，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，且滿(mǎn)足∠ADE＝60°，DE交等邊三角形外角平分線(xiàn)于點(diǎn)E．試探究AD與DE的數(shù)量關(guān)系．操作發(fā)現(xiàn)：（1）小明同學(xué)過(guò)點(diǎn)D作DF∥AC交AB于F，通過(guò)構(gòu)造全等三角形經(jīng)過(guò)推理論證就可以解決問(wèn)題，請(qǐng)您按照小明同學(xué)的方法確定AD與DE的數(shù)量關(guān)系，并進(jìn)行證明．類(lèi)比探究：（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D是線(xiàn)段BC上任意一點(diǎn)(除B、C外)，其他條件不變，試猜想AD與DE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．拓展應(yīng)用：（3）當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且滿(mǎn)足CD＝BC，在圖3中補(bǔ)全圖形，直接判斷△ADE的形狀(不要求證明)．7．（1）填空①把一張長(zhǎng)方形的紙片按如圖①所示的方式折疊，，為折痕，折疊后的點(diǎn)落在或的延長(zhǎng)線(xiàn)上，那么的度數(shù)是________；②把一張長(zhǎng)方形的紙片按如圖②所示的方式折疊，點(diǎn)與點(diǎn)重合，，為折痕，折疊后的點(diǎn)落在或的延長(zhǎng)線(xiàn)上，那么的度數(shù)是_______．（2）解答：①把一張長(zhǎng)方形的紙片按如圖③所示的方式折疊，，為折痕，折疊后的點(diǎn)落在或的延長(zhǎng)線(xiàn)上左側(cè)，且，求的度數(shù)；②把一張長(zhǎng)方形的紙片按如圖④所示的方式折疊，點(diǎn)與點(diǎn)重合，，為折痕，折疊后的點(diǎn)落在或的延長(zhǎng)線(xiàn)右側(cè)，且，求的度數(shù)．（3）探究：把一張四邊形的紙片按如圖⑤所示的方式折疊，，為折痕，設(shè)，，，求，，之間的數(shù)量關(guān)系．8．學(xué)習(xí)了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我們繼續(xù)對(duì)“兩個(gè)三角形滿(mǎn)足兩邊的其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等”的情形進(jìn)行研究．（初步思考）我們不妨將問(wèn)題用符號(hào)語(yǔ)言表示為：在△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，然后，對(duì)∠B進(jìn)行分類(lèi)，可分為“∠B是直角、鈍角、銳角”三種情況進(jìn)行探究．（深入探究）第一種情況：當(dāng)∠B是直角時(shí)，△ABC≌△DEF．（1）如圖①，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E＝90°，根據(jù)______，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．第二種情況：當(dāng)∠B是鈍角時(shí)，△ABC≌△DEF．（2）如圖②，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是鈍角．求證：△ABC≌△DEF．第三種情況：當(dāng)∠B是銳角時(shí)，△ABC和△DEF不一定全等．（3）在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是銳角．請(qǐng)你用直尺在圖③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等，并作簡(jiǎn)要說(shuō)明．9．如圖，中，，，點(diǎn)為射線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)，作且．（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，求證：；（2）如圖2，連結(jié)交于點(diǎn)，若，，求證：點(diǎn)為中點(diǎn)．（3）當(dāng)點(diǎn)在射線(xiàn)上，連結(jié)與直線(xiàn)交于點(diǎn)，若，，則______．（直接寫(xiě)出結(jié)果）10．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)的坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)軸，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)在軸上沿著軸的正方向運(yùn)動(dòng)．（1）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)處，過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)交直線(xiàn)于點(diǎn)，證明，并求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)是直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)是否存在點(diǎn)，使得以為頂點(diǎn)的三角形和全等，若存在求點(diǎn)的坐標(biāo)以及此時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．11．如圖，在中，，過(guò)點(diǎn)做射線(xiàn)，且，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿射線(xiàn)方向均勻運(yùn)動(dòng)，速度為；同時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，速度為，當(dāng)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．連接，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．解答下列問(wèn)題：（1）用含有的代數(shù)式表示和的長(zhǎng)度；（2）當(dāng)時(shí)，請(qǐng)說(shuō)明；（3）設(shè)的面積為，求與之間的關(guān)系式．12．已知：中，過(guò)B點(diǎn)作BE⊥AD，．(1)如圖1，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線(xiàn)上，連，作于，交于點(diǎn)．求證：；(2)如圖2，點(diǎn)在線(xiàn)段上，連，過(guò)作，且，連交于，連，問(wèn)與有何數(shù)量關(guān)系，并加以證明；(3)如圖3，點(diǎn)在CB延長(zhǎng)線(xiàn)上，且，連接、的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)，若，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．13．如圖（1），AB＝4，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3．點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上以1的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線(xiàn)段BD上由點(diǎn)B向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為（s）．（1）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，當(dāng)＝1時(shí)，△ACP與△BPQ是否全等，請(qǐng)說(shuō)明理由，并判斷此時(shí)線(xiàn)段PC和線(xiàn)段PQ的位置關(guān)系；（2）如圖（2），將圖（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”為改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他條件不變．設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為，是否存在實(shí)數(shù)，使得△ACP與△BPQ全等？若存在，求出相應(yīng)的、的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．14．如圖，△ABC是等邊三角形，△ADC與△ABC關(guān)于直線(xiàn)AC對(duì)稱(chēng)，AE與CD垂直交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，∠EAF＝45°，且AF與AB在AE的兩側(cè)，EF⊥AF．（1）依題意補(bǔ)全圖形．（2）①在AE上找一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)B，點(diǎn)C的距離和最短；②求證：點(diǎn)D到AF，EF的距離相等．15．(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A、D、E在同一直線(xiàn)上，連接BE．①請(qǐng)直接寫(xiě)出∠AEB的度數(shù)為_(kāi)____；②試猜想線(xiàn)段AD與線(xiàn)段BE有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明；(2)拓展探究：圖2，△ACB和△DCE均為等腰三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點(diǎn)A、D、E在同－直線(xiàn)上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請(qǐng)判斷∠AEB的度數(shù)線(xiàn)段CM、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．16．?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出了這樣一個(gè)題目：“已知：于，點(diǎn)、分別在和上，作線(xiàn)段和（如圖1），使．求證：”．（1）聰聰同學(xué)給出一種證明問(wèn)題的輔助線(xiàn)：如圖2，過(guò)作，交于．請(qǐng)你根據(jù)聰聰同學(xué)提供的輔助線(xiàn)（或自己添加其它輔助線(xiàn)），給出問(wèn)題的證明．（2）若點(diǎn)在直線(xiàn)下方，且知，直接寫(xiě)出和之間的數(shù)量關(guān)系．17．探究發(fā)現(xiàn)：如圖①，在中，內(nèi)角的平分線(xiàn)與外角的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)．（1）若，則；若，則；（2）由此猜想：與的關(guān)系為(不必說(shuō)明理由)．拓展延伸：如圖②，四邊形的內(nèi)角與外角的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)，．（3）若，，求的度數(shù)，由此猜想與，之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由．18．已知在中，，點(diǎn)在上，邊在上，在中，邊在直線(xiàn)上，；（1）如圖1，求的度數(shù)；（2）如圖2，將沿射線(xiàn)的方向平移，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，求度數(shù)；（3）將在直線(xiàn)上平移，當(dāng)以為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，直接寫(xiě)出度數(shù)．19．（1）在等邊三角形ABC中，①如圖①，D，E分別是邊AC，AB上的點(diǎn)且AE=CD，BD與EC交于點(diǎn)F，則∠BFE的度數(shù)是度；②如圖②，D，E分別是邊AC，BA延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)且AE=CD，BD與EC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)F，此時(shí)∠BFE的度數(shù)是度；（2）如圖③，在△ABC中，AC=BC，∠ACB是銳角，點(diǎn)O是AC邊的垂直平分線(xiàn)與BC的交點(diǎn)，點(diǎn)D，E分別在AC，OA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，AE=CD，BD與EC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)F，若∠ACB=α，求∠BFE的大小．（用含α的代數(shù)式表示）．20．如圖，若要判定紙帶兩條邊線(xiàn)a，b是否互相平行，我們可以采用將紙條沿AB折疊的方式來(lái)進(jìn)行探究．（1）如圖1，展開(kāi)后，測(cè)得，則可判定a//b，請(qǐng)寫(xiě)出判定的依據(jù)_________；（2）如圖2，若要使a//b，則與應(yīng)該滿(mǎn)足的關(guān)系是_________；（3）如圖3，紙帶兩條邊線(xiàn)a，b互相平行，折疊后的邊線(xiàn)b與a交于點(diǎn)C，若將紙帶沿（，分別在邊線(xiàn)a，b上）再次折疊，折疊后的邊線(xiàn)b與a交于點(diǎn)，AB//，，求出的長(zhǎng)．【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請(qǐng)不要?jiǎng)h除一、壓軸題1．見(jiàn)解析【解析】【分析】先根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)，得到角的關(guān)系，然后證明，寫(xiě)出證明過(guò)程和依據(jù)即可．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作交于，∴（兩直線(xiàn)平行，同位角相等），∴（兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），在與中，∴，（）∴（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）∵（已知）∴（等邊對(duì)等角）∴（等量代換）∴（等角對(duì)等邊）∴；【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線(xiàn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是由平行線(xiàn)的性質(zhì)正確找到證明三角形全等的條件，從而進(jìn)行證明.2．（1）45°；（2）PE的值不變，PE=4，理由見(jiàn)詳解；（3）D(，0)．【解析】【分析】（1）根據(jù)，，得△AOB為等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，即可求出∠OAB的度數(shù)；（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠AOC=∠BOC=45°，OC⊥AB，再證明△POC≌△DPE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到OC=PE，即可得到答案；（3）證明△POB≌△DPA，得到PA=OB=，DA=PB，進(jìn)而得OD的值，即可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．【詳解】（1），，∴OA=OB=，∵∠AOB=90°，∴△AOB為等腰直角三角形，∴∠OAB=45°；（2）PE的值不變，理由如下：∵△AOB為等腰直角三角形，C為AB的中點(diǎn)，∴∠AOC=∠BOC=45°，OC⊥AB，∵PO=PD，∴∠POD=∠PDO，∵D是線(xiàn)段OA上一點(diǎn)，∴點(diǎn)P在線(xiàn)段BC上，∵∠POD=45°+∠POC，∠PDO=45°+∠DPE，∴∠POC=∠DPE，在△POC和△DPE中，，∴△POC?△DPE(AAS)，∴OC=PE，∵OC=AB=××=4，∴PE=4；（3）∵OP=PD，∴∠POD=∠PDO=(180°?45°)÷2=67.5°，∴∠APD=∠PDO?∠A=22.5°，∠BOP=90°?∠POD=22.5°，∴∠APD=∠BOP，在△POB和△DPA中，∴△POB≌△DPA(AAS)，∴PA=OB=，DA=PB，∴DA=PB=×-=8-，∴OD=OA?DA=-(8-)=，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(，0)．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)定理，圖形與坐標(biāo)，掌握等腰直角三角形的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．3．（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）結(jié)論：，證明見(jiàn)解析．【解析】【分析】（1）先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出，再根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)可得，然后根據(jù)三角形的判定定理與性質(zhì)可得，最后根據(jù)等邊三角形的判定即可得證；（2）如圖（見(jiàn)解析），延長(zhǎng)ED使得，連接MF，先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定得出是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、角的和差得出，然后根據(jù)三角形全等的判定與性質(zhì)、等量代換即可得證；（3）如圖（見(jiàn)解析），參照題（2），先證是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、角的和差得出，然后根據(jù)三角形全等的判定與性質(zhì)、等量代換即可得證．【詳解】（1）是的角平分線(xiàn)，在和中，是等邊三角形；（2）如圖，延長(zhǎng)ED使得，連接MF，是的角平分線(xiàn)，是等邊三角形，即在和中，，即即；（3）結(jié)論：，證明過(guò)程如下：如圖，延長(zhǎng)BD使得，連接NH由（2）可知，是等邊三角形，即在和中，，即即．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（2）和（3），通過(guò)作輔助線(xiàn)，構(gòu)造一個(gè)等邊三角形是解題關(guān)鍵．4．（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）3【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）過(guò)E作EF∥AC交AB于F，根據(jù)已知條件得到△ABC是等邊三角形，推出△BEF是等邊三角形，得到BE=EF，∠BFE=60°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）連接AF，證明△ABF≌△CBF，得AF=CF，再證明DH=AH=CF=3．【詳解】解：（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵DE=DC，∴∠E=∠DCE，∴∠ABC-∠E=∠ACB-∠DCB，即∠EDB=∠ACD；（2）∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=60°，∴△BEF是等邊三角形，∴BE=EF，∠BFE=60°，∴∠DFE=120°，∴∠DFE=∠CAD，在△DEF與△CAD中，，∴△DEF≌△CAD（AAS），∴EF=AD，∴AD=BE；（3）連接AF，如圖3所示：∵DE=DC，∠EDC=30°，∴∠DEC=∠DCE=75°，∴∠ACF=75°-60°=15°，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF，在△ABF和△CBF中，，△ABF≌△CBF（SAS），∴AF=CF，∴∠FAC=∠ACF=15°，∴∠AFH=15°+15°=30°，∵AH⊥CD，∴AH=AF=CF=3，∵∠DEC=∠ABC+∠BDE，∴∠BDE=75°-60°=15°，∴∠ADH=15°+30°=45°，∴∠DAH=∠ADH=45°，∴DH=AH=3．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形和直角三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．5．（1）∠AFE=60°；（2）見(jiàn)解析；（3）【解析】【分析】（1）通過(guò)證明得到對(duì)應(yīng)角相等，等量代換推導(dǎo)出；（2）由（1）得到，則在中利用30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，等量代換可得；（3）通過(guò)在PF上取一點(diǎn)K使得KF=AF，作輔助線(xiàn)證明和全等，利用對(duì)應(yīng)邊相等，等量代換得到比值.(通過(guò)將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°也是一種思路.)【詳解】（1）解：如圖1中．∵為等邊三角形，∴AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，在和中，，∴（SAS），∴∠BCE=∠DAC，∵∠BCE+∠ACE=60°，∴∠DAC+∠ACE=60°，∴∠AFE=60°．（2）證明：如圖1中，∵AH⊥EC，∴∠AHF=90°，在Rt△AFH中，∵∠AFH=60°，∴∠FAH=30°，∴AF=2FH，∵，∴EC=AD，∵AD=AF+DF=2FH+DF，∴2FH+DF=EC．（3）解：在PF上取一點(diǎn)K使得KF=AF，連接AK、BK，∵∠AFK=60°，AF=KF，∴△AFK為等邊三角形，∴∠KAF=60°，∴∠KAB=∠FAC，在和中，，∴(SAS)，∴∠AKB=∠AFC=120°，∴∠BKE=120°﹣60°=60°，∵∠BPC=30°，∴∠PBK=30°，∴，∴，∵∴.【點(diǎn)睛】掌握等邊三角形、直角三角形的性質(zhì)，及三角形全等的判定通過(guò)一定等量代換為本題的關(guān)鍵.6．（1）AD＝DE，見(jiàn)解析；（2）AD＝DE，見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析，△ADE是等邊三角形，【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，通過(guò)平行線(xiàn)的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)證明即可得解；（2）根據(jù)題意，通過(guò)平行線(xiàn)的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)證明即可得解；（3）根據(jù)垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)及等邊三角形的判定定理進(jìn)行證明即可.【詳解】（1）如下圖，數(shù)量關(guān)系：AD＝DE.證明：∵是等邊三角形∴AB＝BC，∵DF∥AC∴，∠BDF＝∠BCA∴∴是等邊三角形，∴DF＝BD∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)∴BD＝CD∴DF＝CD∵CE是等邊的外角平分線(xiàn)∴∵是等邊三角形，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)∴AD⊥BC∴∵∴在與中∴∴AD＝DE；（2）結(jié)論：AD＝DE.證明：如下圖，過(guò)點(diǎn)D作DF∥AC，交AB于F∵是等邊三角形∴AB＝BC，∵DF∥AC∴∴∴是等邊三角形，∴BF＝BD∴AF＝DC∵CE是等邊的外角平分線(xiàn)∴∵∠ADC是的外角∴∵∴∠FAD＝∠CDE在與中∴∴AD＝DE；（3）如下圖，是等邊三角形.證明：∵∴∵CE平分∴CE垂直平分AD∴AE=DE∵∴是等邊三角形.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)及判定，三角形全等的判定及性質(zhì)，平行線(xiàn)的性質(zhì)，垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)等相關(guān)內(nèi)容，熟練掌握三角形綜合解決方法是解決本題的關(guān)鍵.7．，；，；，.【解析】【分析】（1）①如圖①知，得可求出解.②由圖②知得可求出解.（2）①由圖③折疊知，可推出，即可求出解.②由圖④中折疊知，可推出，即可求出解.（3）如圖⑤-1、⑤-2中分別由折疊可知，、，即可求得、.【詳解】解：（1）①如圖①中，，，，故答案為.②如圖②中，，，故答案為.（2）①如圖③中由折疊可知，，，，，；②如圖④中根據(jù)折疊可知，，，，，，；（3）如圖⑤-1中，由折疊可知，，；如圖⑤-2中，由折疊可知，，.【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的變換中折疊屬全等變換，圖形的角度及邊長(zhǎng)不變及一些角度的計(jì)算問(wèn)題，突出考查學(xué)生的觀(guān)察能力、思維能力以及動(dòng)手操作能力，本題是代數(shù)、幾何知識(shí)的綜合運(yùn)用典型題目.8．（1）HL；（2）見(jiàn)解析；（3）如圖②，見(jiàn)解析；△DEF就是所求作的三角形，△DEF和△ABC不全等．【解析】【分析】（1）根據(jù)直角三角形全等的方法“HL”證明；（2）過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于G，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥DE交DE的延長(zhǎng)線(xiàn)于H，根據(jù)等角的補(bǔ)角相等求出∠CBG=∠FEH，再利用“角角邊”證明△CBG和△FEH全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CG=FH，再利用“HL”證明Rt△ACG和Rt△DFH全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠A=∠D，然后利用“角角邊”證明△ABC和△DEF全等；（3）以點(diǎn)C為圓心，以AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與AB相交于點(diǎn)D，E與B重合，F(xiàn)與C重合，得到△DEF與△ABC不全等；（4）根據(jù)三種情況結(jié)論，∠B不小于∠A即可．【詳解】（1）在直角三角形中一條斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等運(yùn)用的是HL．（2）證明：如圖①，分別過(guò)點(diǎn)C、F作對(duì)邊AB、DE上的高CG、FH，其中G、H為垂足．∵∠ABC、∠DEF都是鈍角∴G、H分別在AB、DE的延長(zhǎng)線(xiàn)上．∵CG⊥AG，F(xiàn)H⊥DH，∴∠CGA＝∠FHD＝90°．∵∠CBG＝180°－∠ABC，∠FEH＝∠180°－∠DEF，∠ABC＝∠DEF，∴∠CBG＝∠FEH．在△BCG和△EFH中，∵∠CGB＝∠FHE，∠CBG＝∠FEH，BC＝EF，∴△BCG≌△EFH．∴CG＝FH．又∵AC＝DF．∴Rt△ACG≌△DFH．∴∠A＝∠D．在△ABC和△DEF中，∵∠ABC＝∠DEF，∠A＝∠D，AC＝DF，∴△ABC≌△DEF．（3）如圖②，△DEF就是所求作的三角形，△DEF和△ABC不全等．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵，閱讀量較大，審題要認(rèn)真仔細(xì)．9．（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）或【解析】【分析】（1）證明△AFD≌△EAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DF=AC，等量代換證明結(jié)論；（2）作FD⊥AC于D，證明△FDG≌△BCG，得到DG=CG，求出CE，CB的長(zhǎng)，得到答案；（3）過(guò)F作FD⊥AG的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)D，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CG=GD，AD=CE=7，代入計(jì)算即可．【詳解】解：（1）證明：∵FD⊥AC，∴∠FDA=90°，∴∠DFA+∠DAF=90°，同理，∠CAE+∠DAF=90°，∴∠DFA=∠CAE，在△AFD和△EAC中，，∴△AFD≌△EAC（AAS），∴DF=AC，∵AC=BC，∴FD=BC；（2）作FD⊥AC于D，由（1）得，F(xiàn)D=AC=BC，AD=CE，在△FDG和△BCG中，，∴△FDG≌△BCG（AAS），∴DG=CG=1，∴AD=2，∴CE=2，∵BC=AC=AG+CG=4，∴E點(diǎn)為BC中點(diǎn)；（3）當(dāng)點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，過(guò)F作FD⊥AG的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)D，BC=AC=4，CE=CB+BE=7，由（1）（2）知：△ADF≌△ECA，△GDF≌△GCB，∴CG=GD，AD=CE=7，∴CG=DG=1.5，∴，同理，當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段BC上時(shí)，，故答案為：或.【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．10．（1）證明見(jiàn)解析；；（2）存在，，或，或，或，或，或，．【解析】【分析】（1）通過(guò)全等三角形的判定定理ASA證得△ABP≌△PCD，由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等證得AP＝DP，DC＝PB＝3，易得點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）設(shè)P（a，0），Q（2，b）．需要分類(lèi)討論：①AB＝PC，BP＝CQ；②AB＝CQ，BP＝PC．結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式列出方程組，通過(guò)解方程組求得a、b的值，得解．【詳解】（1）軸在和中，（2）設(shè)，①，，解得或，或，或，或，②，，，解得，或，綜上：，或，或，或，或，或，【點(diǎn)睛】考查了三角形綜合題．涉及到了全等三角形的判定與性質(zhì)，兩點(diǎn)間的距離公式，一元一次絕對(duì)值方程組的解法等知識(shí)點(diǎn)．解答（2）題時(shí)，由于沒(méi)有指明全等三角形的對(duì)應(yīng)邊（角），所以需要分類(lèi)討論，以防漏解．11．（1）CP=3t，BQ=8-t；（2）見(jiàn)解析；（3）S=16-2t．【解析】【分析】（1）直接根據(jù)距離=速度時(shí)間即可；（2）通過(guò)證明，得到∠PQC=∠BCQ，即可求證；（3）過(guò)點(diǎn)C作CM⊥AB，垂足為M，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到CM=AM=4，即可求解．【詳解】解：（1）CP=3t，BQ=8-t；（2）當(dāng)t=2時(shí)，CP=3t=6，BQ=8-t=6∴CP=BQ∵CD∥AB∴∠PCQ=∠BQC又∵CQ=QC∴∴∠PQC=∠BCQ∴PQ∥BC（3）過(guò)點(diǎn)C作CM⊥AB，垂足為M∵AC=BC，CM⊥AB∴AM=（cm）∵AC=BC，∠ACB=∴∠A=∠B=∵CM⊥AB∴∠AMC=∴∠ACM=∴∠A=∠ACM∴CM=AM=4（cm）∴因此，S與t之間的關(guān)系式為S=16-2t．【點(diǎn)睛】此題主要考查列代數(shù)式、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線(xiàn)的判定、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握邏輯推理是解題關(guān)鍵．12．（1）見(jiàn)詳解，（2），證明見(jiàn)詳解，（3）．【解析】【分析】（1）欲證明，只要證明即可；（2）結(jié)論：．如圖2中，作于．只要證明，推出，，由，推出即可解決問(wèn)題；（3）利用（2）中結(jié)論即可解決問(wèn)題；【詳解】（1）證明：如圖1中，于，，，，，(AAS)，．（2）結(jié)論：．理由：如圖2中，作于．，，，，，，，，，，，，，，，．（3）如圖3中，作于交AC延長(zhǎng)線(xiàn)于．，，，，，，，，，，，，，，，．，設(shè)，則，，．【點(diǎn)睛】本題考查三角形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．另外對(duì)于類(lèi)似連續(xù)幾步的綜合題，一般前一步為后一步提供解題的條件或方法．13．（1）全等，垂直，理由詳見(jiàn)解析；（2）存在，或【解析】【分析】（1）在t=1的條件下，找出條件判定△ACP和△BPQ全等，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和直角三角形的兩個(gè)銳角互余的性質(zhì)，可證∠CPQ=90°，即可判斷線(xiàn)段PC和線(xiàn)段PQ的位置關(guān)系;（2）本題主要在動(dòng)點(diǎn)的條件下，分情況討論，利用三角形全等時(shí)對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)進(jìn)行解答即可.【詳解】(1)當(dāng)t=1時(shí)，AP=BQ=1,BP=AC=3,又∠A=∠B=90°，在△ACP和△BPQ中，∴△ACP≌△BPQ(SAS).∴∠ACP=∠BPQ,∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90*.∴∠CPQ=90°，即線(xiàn)段PC與線(xiàn)段PQ垂直；(2)①若△ACP≌△BPQ，則AC=BP，AP=BQ，解得;②若△ACP≌△BQP，則AC=BQ，AP=BP，解得：綜上所述,存在或使得△ACP與△BPQ全等.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形全等與動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，熟練掌握三角形全等的性質(zhì)與判定定理，是解決本題的關(guān)鍵.14．（1）詳見(jiàn)解析；（2）①詳見(jiàn)解析；②詳見(jiàn)解析．【解析】【分析】（1）本題考查理解題意能力，按照題目所述依次作圖即可．（2）①本題考查線(xiàn)段和最短問(wèn)題，需要通過(guò)垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)將所求線(xiàn)段轉(zhuǎn)化為其他等量線(xiàn)段之和，以達(dá)到求解目的．②本題考查垂直平分線(xiàn)的判定以及全等三角形的證明，繼而利用角的平分線(xiàn)性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】（1）補(bǔ)全圖形，如圖1所示（2）①如圖2，連接BD，P為BD與AE的交點(diǎn)∵等邊△ACD，AE⊥CD∴PC=PD,PC+PB最短等價(jià)于PB+PD最短故B,D之間直線(xiàn)最短，點(diǎn)P即為所求．②證明：連接DE，DF．如圖3所示∵△ABC，△ADC是等邊三角形∴AC＝AD，∠ACB＝∠CAD＝60°∵AE⊥CD∴∠CAE＝∠CAD＝30°∴∠CEA＝∠ACB﹣∠CAE＝30°∴∠CAE＝∠CEA∴CA＝CE∴CD垂直平分AE∴DA＝DE∴∠DAE＝∠DEA∵EF⊥AF，∠EAF＝45°∴∠FEA＝45°∴∠FEA＝∠EAF∴FA＝FE，∠FAD＝∠FED∴△FAD≌△FED（SAS）∴∠AFD＝∠EFD∴點(diǎn)D到AF，EF的距離相等．【點(diǎn)睛】本題第一問(wèn)作圖極為重要，要求對(duì)題意有較深的理解，同時(shí)對(duì)于垂直平分線(xiàn)以及角平分線(xiàn)的定義要清楚，能通過(guò)題目文字所述轉(zhuǎn)化為考點(diǎn)，信息轉(zhuǎn)化能力需要多做題目加以提升．15．（1）①60°；②AD=BE.證明見(jiàn)解析；（2）∠AEB＝90°；AE=2CM+BE；理由見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）①由條件△ACB和△DCE均為等邊三角形，易證△ACD≌△BCE，從而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由點(diǎn)A，D，E在同一直線(xiàn)上可求出∠ADC，從而可以求出∠AEB的度數(shù)．②由△ACD≌△BCE，可得AD=BE；（2）首先根據(jù)△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，可得AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，據(jù)此判斷出∠ACD=∠BCE；然后根據(jù)全等三角形的判定方法，判斷出△ACD≌△BCE，即可判斷出BE=AD，∠BEC=∠ADC，進(jìn)而判斷出∠AEB的度數(shù)為90°；根據(jù)DCE=90°，CD=CE，CM⊥DE，可得CM=DM=EM，所以DE=DM+EM=2CM，據(jù)此判斷出AE=BE+2CM．【詳解】（1）①∵∠ACB=∠DCE，∠DCB=∠DCB，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，,∴△ACD≌△BCE，∴AD=BE，∠CEB=∠ADC=180°?∠CDE=120°，∴∠AEB=∠CEB?∠CED=60°；②AD=BE.證明：∵△ACD≌△BCE，∴AD=BE．（2）∠AEB＝90°；AE=2CM+BE；理由如下：∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCB=∠DCE－∠DCB，即∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE，∴AD=BE，∠BEC=∠ADC=135°．∴∠AEB=∠BEC－∠CED=135°－45°=90°．在等腰直角△DCE中，CM為斜邊DE上的高，∴CM=DM=ME，∴DE=2CM．∴AE=DE+AD=2CM+BE．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題時(shí)需注意運(yùn)用已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)解決相似問(wèn)題．16．（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)聰聰提供的輔助線(xiàn)作法進(jìn)行證明，先由平行線(xiàn)的性質(zhì)得：，，再證明，可得結(jié)論；（2）根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】解：（1）證明：如圖2，過(guò)作，交于，，，，，，，，；（2）解：，理由如下：如圖3，，，，，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)和判定以及三角形外角性質(zhì)的運(yùn)用，熟練掌握平行線(xiàn)的性質(zhì)和判定是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．17．（1）40°25°；（2）(或)（3）=【解析】【分析】（1）先根據(jù)兩角平分線(xiàn)寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的等式關(guān)系，再分別寫(xiě)出兩個(gè)三角形內(nèi)角和的等式關(guān)系，最后聯(lián)立兩等式化解，將的角度帶入即可求解；（2）由（1）可得，即可求解；（3）在與的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)，可知，又因?yàn)?，兩直線(xiàn)平行內(nèi)錯(cuò)角相等，得出，再根據(jù)三角形一外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，得出，再由四邊形的內(nèi)角和定理得出，最后在中：，代入整理即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）由題可知：BE為的角平分線(xiàn)，CE為的角平分線(xiàn)，=2=2，=2，，三角形內(nèi)角和等于，在中：，即：，①，在中：，即：，②，綜上所述聯(lián)立①②，由①-②×2可得：，，，，當(dāng)，則；當(dāng)，則；故答案為，；（2）由（1）知：(或)；（3）∵與的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)，∴，，又∵，∴（兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∵是的一個(gè)外角，∴（三角形一外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和），在四邊形中，四邊形內(nèi)角和為，，，∴，∴①，∴，即，在中：，，由上可得：，②，又∵，∴，，，由①②可得，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的外角性質(zhì)的應(yīng)用和角平分線(xiàn)的定義，能正確運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，注意三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的