第二章函數(shù)第5課時(shí)函數(shù)的對稱性及應(yīng)用[考試要求]

1．能通過平移，分析得出一般的軸對稱和中心對稱公式和推論．2．會利用對稱公式解決問題．

√

反思領(lǐng)悟

f(x＋1)為偶函數(shù)?函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱?f(1＋x)＝f(1－x)?f(x)＝f(2－x)．

考點(diǎn)二中心對稱問題若函數(shù)y＝f(x)滿足f(x)＋f(2a－x)＝2b，則y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b)對稱．特別地，當(dāng)b＝0時(shí)，f(a＋x)＋f(a－x)＝0?f(x)＋f(2a－x)＝0?y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，0)對稱?y＝f(x＋a)是奇函數(shù)．[典例2]

(1)(多選)若定義在R上的偶函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2，0)對稱，則下列說法正確的是(

)A．f(x)＝f(－x) B．f(2＋x)＋f(2－x)＝0C．f(－x)＝－f(x＋4) D．f(x＋2)＝f(x－2)√√√

(1)ABC

(2)4

[(1)因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，則f(x)＝f(－x)，故A正確；因?yàn)閒(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2，0)對稱，對于f(x)的圖象上的點(diǎn)(x，y)關(guān)于(2，0)的對稱點(diǎn)(4－x，－y)也在函數(shù)圖象上，即f(4－x)＝－y＝－f(x)，用2＋x替換x得到，f(4－(2＋x))＝－f(2＋x)，即f(2＋x)＋f(2－x)＝0，故B正確；由f(2＋x)＋f(2－x)＝0，用x＋2替換x，可得f(x＋4)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x＋4)，故C正確；由B知，f(2＋x)＝－f(2－x)＝－f(x－2)，故D錯(cuò)誤．故選ABC．4

反思領(lǐng)悟

本例(1)中，函數(shù)y＝f(x)圖象關(guān)于點(diǎn)(2，0)對稱?f(4－x)＋f(x)＝0?f(2－x)＋f(2＋x)＝0．本例(2)中，f(x)＋f(－x)＝2?函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0，1)對稱．鞏固遷移2若函數(shù)f(x)滿足f(2－x)＋f(x)＝－2，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是(

)A．f(x－1)－1

B．f(x－1)＋1C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1√D

[因?yàn)閒(2－x)＋f(x)＝－2，所以f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，－1)對稱，所以將f(x)的圖象向左平移1個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度得到函數(shù)y＝f(x＋1)＋1的圖象，該函數(shù)的圖象的對稱中心為(0，0)，故y＝f(x＋1)＋1為奇函數(shù)．故選D．]

[典例3]已知函數(shù)y＝f(x)是定義域?yàn)镽的函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x＋2)的圖象與y＝f(4－x)的圖象(

)A．關(guān)于直線x＝1對稱 B．關(guān)于直線x＝3對稱C．關(guān)于直線y＝3對稱

D．關(guān)于點(diǎn)(3，0)對稱√A

[設(shè)P(x0，y0)為y＝f(x＋2)圖象上任意一點(diǎn)，則y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0))，所以點(diǎn)Q(2－x0，y0)在函數(shù)y＝f(4－x)的圖象上，而P(x0，y0)與Q(2－x0，y0)關(guān)于直線x＝1對稱，所以函數(shù)y＝f(x＋2)的圖象與y＝f(4－x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱．]

鞏固遷移3下列函數(shù)圖象與y＝ex的圖象關(guān)于直線x＝1對稱的是(

)A．y＝ex-1

B．y＝e1-xC．y＝e2-x D．y＝lnx√C

[f(x)＝ex的圖象關(guān)于直線x＝1對稱的是函數(shù)f(2－x)＝e2-x的圖象．故選C．]1．我們把不給出具體解析式，只給出函數(shù)的特殊條件或特征的函數(shù)稱為抽象函數(shù)，解決抽象函數(shù)問題的兩種常用方法分別是函數(shù)性質(zhì)法和賦值法．2．常見的抽象函數(shù)模型：(1)f(x±y)＝f(x)±f(y)可看作f(x)＝kx的抽象表達(dá)式．

考向1

抽象函數(shù)求值[典例1]定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy(x，y∈R)，f(1)＝2，則f(－2)等于________．2

[∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy(x，y∈R)，f(1)＝2，∴令x＝y(tǒng)＝1，得f(2)＝f(1)＋f(1)＋2＝6，再令x＝2，y＝－1，得f(2－1)＝f(2)＋f(－1)－4＝2，∴f(－1)＝0，∴f(－2)＝f(－1)＋f(－1)＋2＝2．]2反思領(lǐng)悟

本題解答關(guān)鍵是選取適當(dāng)?shù)奶厥庵颠M(jìn)行求解．應(yīng)用體驗(yàn)1已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(1)＝1，且f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，則f(4)＝________．7

[令x＝y(tǒng)＝1，得f(2)＝f(1)＋f(1)＋1＝3，令x＝y(tǒng)＝2，得f(4)＝f(2)＋f(2)＋1＝7．]7考向2

抽象函數(shù)的性質(zhì)[典例2]若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：對任意的x1，x2∈R，都有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)<0，則(

)A．f(x)是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)B．f(x)是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù)C．f(x)是奇函數(shù)，但在R上不是單調(diào)函數(shù)D．無法確定f(x)的單調(diào)性和奇偶性√

反思領(lǐng)悟

對抽象函數(shù)單調(diào)性、奇偶性的判斷，除了適當(dāng)賦值外，還要結(jié)合單調(diào)性、奇偶性的定義進(jìn)行求解．

√

隨堂練習(xí)√

2．已知定義在R上的函數(shù)f(x)在(－∞，2)上單調(diào)遞增，且f(x＋2)＝f(2－x)對任意x∈R恒成立，則(

)A．f(－1)<f(3)

B．f(0)>f(3)C．f(－1)＝f(3) D．f(0)＝f(3)√A

[由f(x＋2)＝f(2－x)知f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，所以f(－1)＝f(5)，f(0)＝f(4)，又f(x)在(－∞，2)上單調(diào)遞增，所以f(3)>f(4)>f(5)，即f(3)>f(0)>f(－1)．故選A．]3．已知函數(shù)y＝f(x＋2)－3是奇函數(shù)，且f(4)＝2，則f(0)＝______．4

[法一：由y＝f(x＋2)－3是奇函數(shù)，∴f(－x＋2)－3＝－f(x＋2)＋3，令x＝2，f(0)－3＝－f(4)＋3，得f(0)＝4．法二：由y＝f(x＋2)－3是奇函數(shù)，得f(x)圖象關(guān)于(2，3)對稱，故f(0)＋f(4)＝6，即f(0)＝4．]44．若偶函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，且當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，f(x)＝2x－1，則f(－1)＝________．5

[∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(－1)＝f(1)，由f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，可得f(1)＝f(3)＝2×3－1＝5，∴f(－1)＝5．]5【教用·備選題】1．(多選)(2024·福建南平階段練習(xí))已知f(x)是定義域?yàn)?－∞，＋∞)的奇函數(shù)，滿足f(1－x)＝f(1＋x)，若f(1)＝2，則(

)A．f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱B．f(x)的圖象有一條對稱軸x＝1C．f(x)是周期函數(shù)D．f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝2√√√BCD

[∵f(x)是定義域?yàn)?－∞，＋∞)的奇函數(shù)，且f(1)＝2≠0，可知函數(shù)f(x)不可能同時(shí)為偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)圖象有一條對稱軸x＝1，故B正確；由f(1－x)＝f(1＋x)，將x換成x＋1得到f(－x)＝f(2＋x)，∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(2＋x)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴函數(shù)f(x)的周期為4，故C正確；∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(0)＝0．∵f(2)＝f(1＋1)＝f(1－1)＝f(0)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，f(4)＝f(0)，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0．∴f(1)＋f(2)＋…＋f(50)＝f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2，故D正確．故選BCD．]

√B

[因?yàn)閒(x)＝x3－3x2，設(shè)圖象的對稱中心為(a，b)，則2b＝f(a＋x)＋f(a－x)對任意的x均成立，

3．(2024·汕頭濠江區(qū)二模)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(4－x)＋f(x)＝2．若f(x)的圖象關(guān)于直線x＝4對稱，則下列選項(xiàng)中一定成立的是(

)A．f(－2)＝1

B．f(0)＝0C．f(4)＝2 D．f(6)＝－1√A

[因?yàn)楹瘮?shù)f(x)滿足f(4－x)＋f(x)＝2，所以f(4－2)＋f(2)＝2f(2)＝2，所以f(2)＝1，又f(x)的圖象關(guān)于直線x＝4對稱，所以f(6)＝f(2)＝1，且f(4－x)＝f(4＋x)，則f(4＋x)＋f(x)＝2，所以f(4－2)＋f(－2)＝2，所以f(－2)＝1，無法求出f(0)，f(4)．故選A．]

√

5．(多選)(2025·湛江模擬)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(4－x)＝f(x)，若對于任意的x1，x2∈[2，4]，都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0，則(

)A．f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(－2，0)中心對稱B．f(x)＝f(x＋8)

C．f(x)在區(qū)間[－2，2]上單調(diào)遞增D．f(x)在x＝66處取得最大值√√√BCD

[由f(4－x)＝f(x)，即f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，又f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，由對稱性可知，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(4，0)中心對稱，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(－4，0)中心對稱，A錯(cuò)誤；因?yàn)閒(－x)＝－f(x)，f(4－x)＝f(x)，得f(4＋x)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(8＋x)＝f(x)，B正確；因?yàn)閷τ谌我獾?/p>

x1，x2∈[2，4]都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＜0，所以f(x)在[2，4]上單調(diào)遞減，則f(x)在[4，6]上單調(diào)遞減，因?yàn)閒(x)的圖象關(guān)于直線

x＝2對稱，則f(x)在區(qū)間[－2，2]上單調(diào)遞增，C正確；由上可知，f(x)在x＝2處取得最大值，f(66)＝f(8×8＋2)＝f(2)，則f(x)在x＝66處取得最大值，D正確．故選BCD．]課后習(xí)題(十)函數(shù)的對稱性及應(yīng)用

√題號135246879101112√√題號135246879101112ABD

[∵函數(shù)y＝f(x＋a)－b為奇函數(shù)，∴f(－x＋a)－b＝－f(x＋a)＋b，即f(x＋a)＋f(－x＋a)＝2b．對于A，由f(x＋a)＋f(－x＋a)＝2b得a＝b，∴對于任意的a＝b，P(a，b)都是f(x)＝x的圖象的對稱中心，故A滿足題意；對于B，f(x)＝x3－3x2＝x2(x－3)，∵f(x＋1)＋f(－x＋1)＝(x＋1)2(x－2)＋(－x＋1)2(－x－2)＝－4，∴P(1，－2)為f(x)圖象的對稱中心，故B滿足題意；

題號135246879101112√題號1352468791011122．(多選)(人教A版必修第一冊P87習(xí)題3.2T13改編)已知函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，2)上單調(diào)遞減，且函數(shù)y＝f(x＋2)是偶函數(shù)，那么(

)A．f(x)在區(qū)間(2，4)上單調(diào)遞減B．f(x)在區(qū)間(2，4)上單調(diào)遞增C．y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱D．y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝－2對稱√題號135246879101112BC

[∵函數(shù)y＝f(x＋2)是偶函數(shù)，∴函數(shù)y＝f(x＋2)的圖象關(guān)于y軸對稱，即函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，C正確，D錯(cuò)誤．∵函數(shù)f(x)在(0，2)上單調(diào)遞減，∴函數(shù)f(x)在(2，4)上單調(diào)遞增，A錯(cuò)誤，B正確．]題號135246879101112

(－1，1)題號1352468791011124．(人教A版必修第一冊P87習(xí)題3.2T13改編)函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)y＝f(x)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)P(a，b)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)y＝f(x＋a)－b為奇函數(shù)．已知f(x)＝mx3＋nx＋1．(1)若f(x)在[－6，6]上的最大值為M，最小值為N，則M＋N＝________；(2)若m＝1，n＝－3，則函數(shù)f(x)圖象的對稱中心為點(diǎn)________．2(0，1)題號135246879101112

題號1352468791011125．(2024·北京學(xué)業(yè)考試)在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝f(x)與y＝－f(x)的圖象(

)A．關(guān)于原點(diǎn)對稱 B．關(guān)于x軸對稱C．關(guān)于y軸對稱 D．關(guān)于直線y＝x對稱√B

[當(dāng)x＝a時(shí)，y＝f(a)與y＝－f(a)互為相反數(shù)，即函數(shù)y＝f(x)與y＝－f(x)的圖象關(guān)于x軸對稱．故選B．]題號135246879101112

√題號135246879101112

題號135246879101112

√題號135246879101112

題號1352468791011128．(2024·寧波期末)定義在R上的函數(shù)f(x＋1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0，2)對稱，則下列式子一定成立的是(

)A．f(－2)＋f(0)＝4

B．f(－1)＋f(1)＝4C．f(0)＋f(2)＝4 D．f(1)＋f(3)＝4√題號135246879101112C

[因?yàn)楹瘮?shù)f(x＋1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0，2)對稱，所以f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，2)對稱，所以f(x)＋f(2－x)＝4，結(jié)合選項(xiàng)可知，f(0)＋f(2)＝4一定成立．故選C．]題號1352468791011129．(多選)(2025·湖北武漢模擬)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(x＋2)為偶函數(shù)，f(－3x＋1)為奇函數(shù)，則下列式子