專題03三角函數(shù)與解三角形

考點(diǎn)五年考情（2021-2025）命題趨勢

考點(diǎn)1三角函1、從當(dāng)前命題趨勢來看，本節(jié)內(nèi)容依舊是

數(shù)的圖像與性高考重點(diǎn)，會著重圍繞三角函數(shù)的圖像、

質(zhì)：奇偶性、2025北京卷、2024北京卷、2023北京卷、周期性、單調(diào)性、奇偶性、對稱性、最值

單調(diào)性、奇偶2022北京卷等核心要點(diǎn)展開。同時，命題還會與三角

性公式、化簡求值、平面向量、解三角形等

（5年4考）內(nèi)容深度融合，進(jìn)行綜合考查?；诖耍?/p>

考點(diǎn)2伸縮變在復(fù)習(xí)過程中，學(xué)生需高度重視三角知識

換問題2025北京卷的工具性作用，強(qiáng)化應(yīng)用意識。

（5年1考）2、高考對本節(jié)內(nèi)容的考查方向較為穩(wěn)定，

考點(diǎn)3正余弦不會有大幅變動，仍會以正余弦定理的基

2025北京卷、2024北京卷、2023北京卷、

定理綜合應(yīng)用本運(yùn)用以及面積公式的應(yīng)用為主要考查

2022北京卷、2021北京卷

（5年5考）點(diǎn)。以近五年北京卷為例，本節(jié)內(nèi)容始終

考點(diǎn)4三角恒是高考熱點(diǎn)，且主要聚焦于正余弦定理的

2025北京卷、2024北京卷、2023北京卷、

等變換應(yīng)用和面積公式的考查。所以，考生在備

2021北京卷

（5年4考）考時應(yīng)精準(zhǔn)把握這些重點(diǎn)，提升解題能力。

考點(diǎn)01三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)：奇偶性、單調(diào)性、奇偶性

π

1．（2025·北京·高考真題）設(shè)函數(shù)fxsinxcosx(0)，若f(xπ)f(x)恒成立，且f(x)在0,

4

上存在零點(diǎn)，則的最小值為（）

A．8B．6C．4D．3

【答案】C

π

【解析】函數(shù)fxsinxcosx2sinx(0)，

4

設(shè)函數(shù)f(x)的最小正周期為T，由f(xπ)f(x)可得kTπ,kN，

2ππ

所以T,kN，即2k,kN；

k

ππππππ

又函數(shù)f(x)在0,上存在零點(diǎn)，且當(dāng)x0,時，x,，

444444

ππ

所以π，即3；

44

綜上，的最小值為4.

故選：C.

π

2．（2024·北京·高考真題）設(shè)函數(shù)fxsinx0.已知fx1，fx1，且xx的最小值為，

12122

則（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】B

【解析】由題意可知：x1為fx的最小值點(diǎn)，x2為fx的最大值點(diǎn)，

Tπ

則xx，即Tπ，

12min22

2π

且0，所以2.

T

故選：B.

π

3．（2023·北京·高考真題）設(shè)函數(shù)f(x)sinxcoscosxsin0,||．

2

3

(1)若f(0)，求的值．

2

π2π2π

(2)已知f(x)在區(qū)間,上單調(diào)遞增，f1，再從條件、條件、條件這三個條件中選擇

333

一個作為已知，使函數(shù)f(x)存在，求,的值．①②③

π

條件：f2；

3

①

π

條件：f1；

3

②

ππ

條件：f(x)在區(qū)間,上單調(diào)遞減．

23

③

注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解

答計(jì)分．

π

【解析】（1）因?yàn)閒(x)sinxcoscosxsin,0,||

2

3

所以f(0)sin0coscos0sinsin，

2

ππ

因?yàn)閨|，所以.

23

π

（2）因?yàn)閒(x)sinxcoscosxsin,0,||，

2

π

所以f(x)sinx,0,||，所以f(x)的最大值為1，最小值為1.

2

π

若選條件：因?yàn)閒(x)sinx的最大值為1，最小值為1，所以f2無解，故條件不能使

3

函數(shù)f(x)①存在；①

π2π2ππ

若選條件：因?yàn)閒(x)在,上單調(diào)遞增，且f1，f1

3333

②

T2ππ2π

所以π,所以T2π,1,

233T

所以f(x)sinx，

ππ

又因?yàn)閒1，所以sin1，

33

ππ

所以2kπ,kZ，

32

ππ

所以2kπ,kZ，因?yàn)閨|，所以.

626

π

所以1，；

6

π2πππ

若選條件：因?yàn)閒(x)在,上單調(diào)遞增，在,上單調(diào)遞減，

3323

③

ππ

所以f(x)在x處取得最小值1，即f1.

33

以下與條件相同．

4．（2022·北②京·高考真題）已知函數(shù)f(x)cos2xsin2x，則（）

A．f(x)在,上單調(diào)遞減B．f(x)在,上單調(diào)遞增

26412

7

C．f(x)在0,上單調(diào)遞減D．f(x)在,上單調(diào)遞增

3412

【答案】C

【解析】因?yàn)閒xcos2xsin2xcos2x.

對于A選項(xiàng)，當(dāng)x時，2x，則fx在,上單調(diào)遞增，A錯；

26326

對于B選項(xiàng)，當(dāng)x時，2x，則fx在,上不單調(diào)，B錯；

41226412

2

對于C選項(xiàng)，當(dāng)0x時，02x，則fx在0,上單調(diào)遞減，C對；

333

777

對于D選項(xiàng)，當(dāng)x時，2x，則fx在,上不單調(diào)，D錯.

41226412

故選：C.

考點(diǎn)02伸縮變換問題

5．（2025·北京·高考真題）為了得到函數(shù)y9x的圖象，只需把函數(shù)y3x的圖象上所有點(diǎn)的（）

1

A．橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變）B．橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變）

2

1

C．縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮M坐標(biāo)不變）D．縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（橫坐標(biāo)不變）

3

【答案】A

1

【解析】因?yàn)閥9x32x，所以將函數(shù)y3x的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變成原來的倍，縱坐標(biāo)不變，即可

2

得到函數(shù)y9x的圖象，

故選：A.

考點(diǎn)03正余弦定理綜合應(yīng)用

1

6．（2025·北京·高考真題）在VABC中，cosA,asinC42．

3

(1)求c的值；

(2)再從條件、條件、條件這三個條件中選擇一個作為已知，使得VABC存在，求BC邊上的高．

①②③102

條件：a6；條件：asinB；條件：VABC的面積為102．

3

①②③

122

【解析】（1）因?yàn)閏osA,A0,π，所以sinA1cos2A，

33

22

由正弦定理有asinCcsinAc42，解得c6；

3

（2）如圖所示，若VABC存在，則設(shè)其BC邊上的高為AD，

1

若選，a6，因?yàn)閏6，所以CA，因?yàn)閏osA0，這表明此時三角形ABC有兩個鈍角，

3

而這是①不可能的，所以此時三角形ABC不存在，故BC邊上的高也不存在；

102

102b5

若選，asinB，由asinC42有sinB35，由正弦定理得,所以b5，

3c6

sinC426

②

221

所以由余弦定理得abc2bccosA25362569,

3

此時三角形ABC是存在的，且唯一確定，

111221

所以SABCbcsinABC·AD,即569AD，

22232

202

所以BC邊上的高AD；

9

1122

若選，VABC的面積是102，則SbcsinAb6102，

ABC223

③

221

解得b5，由余弦定理可得abc2bccosA25362569可以唯一確定，

3

進(jìn)一步由余弦定理可得cosB,cosC也可以唯一確定，即B,C可以唯一確定，

19

這表明此時三角形是存在的，且邊上的高滿足：，即202

ABCBCSABCaADAD102AD.

229

7．（2024·北京·高考真題）在VABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，A為鈍角，a7，

3

sin2BbcosB．

7

(1)求A；

(2)從條件、條件、條件這三個條件中選擇一個作為已知，使得VABC存在，求VABC的面積．

135

條件：①b7；條②件：co③sB；條件：csinA3．

142

注：如①果選擇的條件不②符合要求，第（2）問③得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解

答計(jì)分．

3

【解析】（1）由題意得2sinBcosBbcosB，因?yàn)锳為鈍角，

7

b2a7

33

則cosB0，則2sinBb，則sinB3sinAsinA，解得sinA，

72

7

2π

因?yàn)锳為鈍角，則A.

3

3332π

（2）選擇b7，則sinBb7，因?yàn)锳，則B為銳角，則B，

1414233

①

此時ABπ，不合題意，舍棄；

2

131333

選擇cosB，因?yàn)锽為三角形內(nèi)角，則sinB1，

141414

②

3333

則代入2sinBb得2b，解得b3，

7147

2π2π2π

sinCsinABsinBsincosBcossinB

333

31313353

,

21421414

1153153

則SabsinC73.

ABC22144

535

選擇csinA3，則有c3，解得c5，

222

③75

ac53

則由正弦定理得，即3sinC，解得sinC，

sinAsinC

214

2

因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，則5311，

CcosC1

1414

2π2π2π

則sinBsinACsinCsincosCcossinC

333

31115333

，

21421414

1133153

則SacsinB75

△ABC22144

8．（2023·北京·高考真題）在VABC中，(ac)(sinAsinC)b(sinAsinB)，則C（）

ππ2π5π

A．B．C．D．

6336

【答案】B

【解析】因?yàn)?ac)(sinAsinC)b(sinAsinB)，

所以由正弦定理得(ac)(ac)b(ab)，即a2c2abb2，

a2b2c2ab1

則a2b2c2ab，故cosC，

2ab2ab2

π

又0Cπ，所以C.

3

故選：B.

9．（2022·北京·高考真題）在VABC中，sin2C3sinC．

(1)求C；

(2)若b6，且VABC的面積為63，求VABC的周長．

【解析】（1）因?yàn)镃0,，則sinC0，由已知可得3sinC2sinCcosC，

3

可得cosC，因此，C.

26

13

（2）由三角形的面積公式可得SABCabsinCa63，解得.

22a43

3

由余弦定理可得c2a2b22abcosC4836243612，c23，

2

所以，VABC的周長為abc636.

2

10．（2021·北京·高考真題）在VABC中，c2bcosB，C．

3

（1）求B；

（2）再從條件、條件、條件這三個條件中選擇一個作為已知，使VABC存在且唯一確定，求BC邊

上中線的長．①②③

條件：c2b；

條件①：VABC的周長為423；

②33

條件：VABC的面積為；

4

③

【解析】（1）c2bcosB，則由正弦定理可得sinC2sinBcosB，

2322

sin2Bsin，C，B0,，2B0,，

32333

2B，解得B；

36

3

csinC

（2）若選擇：由正弦定理結(jié)合（1）可得23，

bsinB1

①2

與c2b矛盾，故這樣的VABC不存在；

若選擇：由（1）可得A，

6

設(shè)VAB②C的外接圓半徑為R，

則由正弦定理可得ab2RsinR，

6

2

c2Rsin3R，

3

則周長abc2R3R423，

解得R2，則a2,c23，

由余弦定理可得BC邊上的中線的長度為：

2

23122231cos7；

6

若選擇：由（1）可得A，即ab，

6

③

11333

則SabsinCa2，解得a3，

ABC2224

則由余弦定理可得BC邊上的中線的長度為：

2

2aa23321

b2bcos33.

223422

考點(diǎn)04三角恒等變換

11．（2025·北京·高考真題）已知,[0,2π]，且sin()sin()，cos()cos().寫出滿足

條件的一組,的值，．

ππ

【答案】（答案不唯一）（答案不唯一）

26

【解析】因?yàn)閟insin，coscos，

所以,的終邊關(guān)于y軸對稱，且不與y軸重合，

π

故π2kπ,kZ且lπ,lZ，

2

π

即kπ,kZ，

2

ππ

故取,可滿足題設(shè)要求；

26

ππ

故答案為：；（答案不唯一）

26

12．（2024·北京·高考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角與角均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于原點(diǎn)對

ππ

稱.若,，則cos的最大值為．

63

1

【答案】/0.5

2

【解析】由題意π2kπ,kZ，從而coscosπ2kπcos，

ππ1331

因?yàn)?，所以cos的取值范圍是,，cos的取值范圍是,，

632222

π4π1

當(dāng)且僅當(dāng)，即2kπ,kZ時，cos取得最大值，且最大值為.

332

1

故答案為：.

2

13．（2023·北京·高考真題）已知命題p:若,為第一象限角，且，則tantan．能說明p為假命

題的一組,的值為，．

9ππ

【答案】

43

ππ

【解析】因?yàn)閒xtanx在0,上單調(diào)遞增，若000，則tantan，

2200

取2k1π0,2k2π0,k1,k2Z，

則tantan2k1π0tan0,tantan2k2π0tan0，即tantan，

令k1k2，則2k1π02k2π02k1k2π00，

π3π

因?yàn)?kkπ2π,0，則2kkπ0，

1220012002

即k1k2，則.

ππ9ππ

不妨取k1,k0,,，即,滿足題意.

12040343

9ππ

故答案為：;.

43

14．（2021·北京·高考真題）若點(diǎn)A(cos,sin)關(guān)于y軸對稱點(diǎn)為B(cos(),sin())，寫出的一個取值

66

為．

55

【答案】（滿足k,kZ即可）

1212

【解析】A(cos,sin)與Bcos,sin關(guān)于y軸對稱，

66

即,關(guān)于y軸對稱，

6

2k,kZ，

6

5

則k,kZ，

12

5

當(dāng)k0時，可取的一個值為.

12

55

故答案為：（滿足k,kZ即可）.

1212

1

1．（2025·北京·三模）已知函數(shù)fxsinxcoscosxsin，其中π,0.如圖A，B是直線y與

2

π

曲線yfx的兩個交點(diǎn)，若AB，則fπ的值為（）

6

3311

A．B．C．D．

2222

【答案】A

11

【解析】由fxsinxcoscosxsinsin(x)，設(shè)A(x,),B(x,)，

1222

ππ1π5π

由AB可得xx，由sinx可得x2kπ或x2kπ，kZ，

6216266

5ππ2π

由題意，可知(x)(x)(xx)(2kπ(2kπ)，故得ω=4，

2121663

2π8π8π8π

又f()sin()0，所以kπ，kZ，即kπ，kZ，

3333

8π2π2π2π

故fxsin(4xkπ)sin(4xkπ)，即fxsin(4x)或fxsin(4x)，

3333

2π2π3

又因?yàn)閒(0)0，故fxsin(4x)，故fπsin(4π).

332

故選：A.

2．（2025·北京大興·三模）已知函數(shù)f(x)cos2xsin2x，則函數(shù)f(x)的最小正周期為（）

ππ

A．B．C．πD．2π

42

【答案】C

2π

【解析】f(x)cos2xsin2xcos2x，則函數(shù)f(x)的最小正周期為π.

2

故選：C

3

3．（2025·北京·三模）已知集合Msin|sin,R,則集合M的元素個數(shù)為（）

22

A．2B．4

C．6D．8

【答案】B

3π2π

【解析】因?yàn)閟in，所以2kπ或2kπ,kZ，

233

ππ

所以kπ或kπ,kZ，

2623

ππ

所以sinsinkπ或sinsinkπ，

2623

ππ1ππ3

若k為偶數(shù)，則sinsinkπ=sin=或sinsinkπ=sin=，

26622332

ππ1ππ3

若k為奇數(shù)，則sinsinkπ=sin=或sinsinkπ=sin=，

26622332

1313

所以sin或或或.

22222

故選：B.

3

4．（2025·北京昌平·二模）設(shè)函數(shù)fxsinx0,0π．已知f1，且當(dāng)

2

fx1fx21x1x2時，x1x2的最小值為4，則（）．

πππ7πππππ

A．，B．，C．，D．，

4124122623

【答案】C

【解析】因?yàn)閒xsinx的值域?yàn)?,1，fx1fx21x1x2，

所以當(dāng)函數(shù)值同時取最大值或最小值時，滿足fx1fx21x1x2.

2π

因?yàn)閤x的最小值為4，所以函數(shù)的周期T4.

12

π

所以.

2

3π3

因?yàn)閒1，所以f1sin1.

222

π2π

又0π，所以，所以.

236

故選：C.

3

5．（2025·北京朝陽·二模）設(shè)R，則“sin2”是“tan3”的（）

2

A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件

D．既不充分也不必要條件

【答案】B

2sincos2tan3

【解析】由sin2，

sin2cos2tan212

3

得3tan24tan30，解得tan3或tan，

3

2sincos2tan233

由tan3，得sin2，

sin2cos2tan21312

3

所以“sin2”是“tan3”的必要不充分條件.

2

故選：B.

a

6．（2025·北京海淀·二模）在銳角VABC中，cosAcos2B，則的一個可能的取值為（）

b

23

A．B．C．2D．3

32

【答案】B

π

【解析】在銳角VABC中，A,B0,，則2B0,π，又cosAcos2B，

2

所以A2B，

π

02B

2

πππ23

又0B，所以B，所以cosB，

26422

π

0π3B

2

asinAsin2B2sinBcosB

所以2cosB2,3，

bsinBsinBsinB

故符合題意的只有B.

故選：B

k

7．（2025·北京東城·二模）已知,R，則“cos2cos2”是“1kπkZ”的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件

D．既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】充分性：因?yàn)閏os2cos2，所以coscos或coscos，

當(dāng)coscos時，2nπ或2nπ，nZ，

當(dāng)coscos時，

π2nπ12nπ或π2nπ12nπ，nZ，

可得kπkZ或kπkZ，所以充分性不成立，

k

必要性：若1kπkZ，

當(dāng)k為偶數(shù)時，設(shè)k2nnZ，則2nπnZ，

則coscos2nπcos，滿足cos2cos2，

當(dāng)k為奇數(shù)時，設(shè)k2n1nZ，則2n1πnZ，

22

則coscos2n1πcosπcos，滿足coscos，

所以必要性成立，

k

所以“cos2cos2”是“1kπkZ”的必要不充分條件.

故選：B.

8．（2025·北京東城·一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角以O(shè)x為始邊，其終邊落在第一象限，則下列三

角函數(shù)值中一定大于零的是（）

A．sinπB．cosπC．sin2D．cos2

【答案】C

【解析】由題意得sin0,cos0，

A選項(xiàng)，sinπsin0，A錯誤；

B選項(xiàng)，cosπcos0，B錯誤；

C選項(xiàng)，sin22sincos0，C正確；

π

D選項(xiàng)，cos2cos2sin2，若，此時cos20，D錯誤.

4

故選：C

9．（2025·北京西城·一模）已知函數(shù)fxsinx3cosx．若fx1fx2，則（）

π

A．xx2kπkZB．x1x22kπ或xx2kπkZ

12123

ππ

C．xxkπkZD．x1x22kπ或xxkπkZ

123123

【答案】B

π

【解析】因?yàn)閒xsinx3cosx2sinx，則該函數(shù)的最小正周期為2π，

3

πππ

由xkπkZ可得xkπkZ，

326

π

所以，函數(shù)fx的對稱軸方程為xkπkZ，

6

ππ

因?yàn)閒x1fx2，則x1x22kπ或x1x22kπ2kπkZ，

63

故選：B.

2

10．（2025·北京西城·一模）在長方形ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，cosAEB，則cosAED（）

3

451

A．B．

99

451

C．D．

99

【答案】B

2

【解析】設(shè)AEB，則cos，如下圖所示：

3

因?yàn)锳BDC，BECE，ABEDCE90，所以，△ABE≌△DCE，

所以，DECAEB，故AEDπ2，

2