2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫——數(shù)學(xué)在管理學(xué)中的角色探討考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡答題（每題5分，共20分）1.簡述線性規(guī)劃模型在管理決策中的主要應(yīng)用領(lǐng)域。2.解釋期望值法在決策分析中的作用及其局限性。3.簡述庫存管理中經(jīng)濟訂貨批量（EOQ）模型的基本原理及其假設(shè)條件。4.描述概率論在風(fēng)險評估中的基本作用，并舉例說明。二、計算題（每題8分，共32分）1.某公司生產(chǎn)兩種產(chǎn)品A和B，每單位產(chǎn)品A的利潤為3元，每單位產(chǎn)品B的利潤為2元。生產(chǎn)每單位產(chǎn)品A需要消耗2個工時和1個原材料單位，生產(chǎn)每單位產(chǎn)品B需要消耗1個工時和2個原材料單位。公司每周可用的工時為100個，原材料單位為120個。請建立該問題的線性規(guī)劃模型，以最大化公司每周的總利潤。2.某公司面臨一個決策：是否投資一個新項目。如果投資成功，公司將獲得10萬元的收益；如果投資失敗，公司將損失5萬元。根據(jù)市場調(diào)研，估計該項目成功的概率為60%。請計算該項目的期望值，并說明根據(jù)期望值法，公司是否應(yīng)該投資該項目。3.某公司每月需要訂購某種原材料，每次訂購費用為50元，每單位原材料每月的庫存費用為10元。公司每月對該原材料的需求量服從均勻分布，范圍為800單位到1200單位。請計算該公司的經(jīng)濟訂貨批量（EOQ）。4.假設(shè)某排隊系統(tǒng)的到達(dá)服從泊松分布，平均每小時到達(dá)3個顧客；服務(wù)時間服從負(fù)指數(shù)分布，平均服務(wù)時間為15分鐘。請計算該排隊系統(tǒng)的平均等待時間、平均排隊長度以及系統(tǒng)的平均顧客數(shù)。三、綜合應(yīng)用題（每題10分，共20分）1.某零售商銷售一種季節(jié)性產(chǎn)品，每周的需求量服從正態(tài)分布，均值為200件，標(biāo)準(zhǔn)差為40件。該產(chǎn)品每件的進(jìn)價為10元，售價為20元，每周末剩余產(chǎn)品的處理價為5元。零售商每周初訂貨，請利用（Q，r）庫存控制模型，確定零售商的訂貨點和訂貨量（假設(shè)初始庫存為0，安全庫存水平為95%）。請說明你的計算過程和理由。2.某公司正在考慮是否推出一款新產(chǎn)品。公司管理層需要對產(chǎn)品的市場前景進(jìn)行預(yù)測。他們收集了相關(guān)行業(yè)的銷售數(shù)據(jù)，并希望利用回歸分析來預(yù)測未來一年的銷售量。數(shù)據(jù)如下表所示（單位：萬元）：|年份|銷售量||---|---||2016|120||2017|150||2018|180||2019|210||2020|250|請建立銷售量關(guān)于年份的回歸模型，并預(yù)測2021年的銷售量。請說明你的計算過程和理由。四、數(shù)學(xué)建模題（12分）某城市計劃建立一個公交路線網(wǎng)絡(luò)，以方便市民出行。該城市有5個主要居民區(qū)，需要連接這5個居民區(qū)之間的交通需求。城市管理者收集了各居民區(qū)之間的距離數(shù)據(jù)（單位：公里），如下表所示：|居民區(qū)|A|B|C|D|E||---|---|---|---|---|---||A|-|10|15|20|25||B|10|-|20|25|30||C|15|20|-|10|15||D|20|25|10|-|5||E|25|30|15|5|-|其中，“-”表示兩個居民區(qū)之間沒有直接的道路連接。請建立一個數(shù)學(xué)模型，以確定一個連接所有居民區(qū)的最短公交路線網(wǎng)絡(luò)。請說明你的模型假設(shè)、變量定義、目標(biāo)函數(shù)和約束條件，并解釋你的求解思路。試卷答案一、簡答題1.線性規(guī)劃模型在管理決策中的主要應(yīng)用領(lǐng)域包括生產(chǎn)計劃、運輸調(diào)度、人員分配、投資組合、廣告媒體選擇等。它可以幫助管理者在資源有限的條件下，合理安排資源，以實現(xiàn)某個目標(biāo)的最大化或最小化。2.期望值法通過計算每個決策方案的期望收益或期望損失，來比較不同方案的優(yōu)劣，從而做出決策。其局限性在于：它假設(shè)未來是確定的，但實際上未來是不確定的；它只考慮了期望值，而沒有考慮決策的風(fēng)險和決策者的風(fēng)險偏好。3.經(jīng)濟訂貨批量（EOQ）模型是一種用于確定最優(yōu)訂貨量的庫存控制模型。其基本原理是：總成本（包括訂購成本和庫存成本）最小的訂貨量即為經(jīng)濟訂貨批量。該模型的假設(shè)條件包括：需求率恒定且已知、提前期恒定且已知、不允許缺貨、價格不隨訂購量變化等。4.概率論在風(fēng)險評估中的作用是通過計算各種風(fēng)險發(fā)生的概率及其可能造成的損失，來評估風(fēng)險的大小，并制定相應(yīng)的風(fēng)險應(yīng)對措施。例如，可以利用概率論計算投資項目的預(yù)期收益和預(yù)期損失，從而評估該項目的風(fēng)險水平。二、計算題1.決策變量：\(x_A\)表示產(chǎn)品A的產(chǎn)量，\(x_B\)表示產(chǎn)品B的產(chǎn)量。目標(biāo)函數(shù)：最大化總利潤\(Z=3x_A+2x_B\)。約束條件：\[2x_A+x_B\leq100\](工時約束)\[x_A+2x_B\leq120\](原材料約束)\(x_A\geq0,x_B\geq0\)(非負(fù)約束)2.期望值\(E=10\times0.6+(-5)\times0.4=4\)萬元。根據(jù)期望值法，由于期望值為正，公司應(yīng)該投資該項目。3.平均需求量\(D=\frac{800+1200}{2}=1000\)單位。根據(jù)EOQ公式\(EOQ=\sqrt{\frac{2DS}{H}}\)，其中\(zhòng)(D=1000\)，\(S=50\)，\(H=10\)，可得\(EOQ=\sqrt{\frac{2\times1000\times50}{10}}=100\)單位。4.到達(dá)率\(\lambda=3\)，服務(wù)率\(\mu=\frac{60}{15}=4\)。平均等待時間\(W_q=\frac{\lambda^2}{\mu(\mu-\lambda)}=\frac{3^2}{4(4-3)}=2.25\)小時。平均排隊長度\(L_q=\frac{\lambda^2}{\mu(\mu-\lambda)}=2.25\)個顧客。系統(tǒng)的平均顧客數(shù)\(L=\frac{\lambda}{\mu-\lambda}=\frac{3}{4-3}=3\)個顧客。三、綜合應(yīng)用題1.訂貨點\(r=d\timesL+z\times\sigma_d\)，其中\(zhòng)(d=200\)，\(L=1\)周，\(z=1.645\)（對應(yīng)95%安全庫存水平），\(\sigma_d=40\)。計算得\(r=200\times1+1.645\times40=278\)件。訂貨量\(Q\)需要滿足以下條件：\(\frac{Q}{2}\times10+\frac{Q}yuuucck\times10\leq\frac{(Q-278)\times5+278\times10}{2}\)。通過計算可得\(Q\approx447\)件。2.利用最小二乘法計算回歸系數(shù)。設(shè)\(x\)表示年份減去2016，\(y\)表示銷售量。計算得\(\bar{x}=2,\bar{y}=200\)，\(\sum_{i=1}^5x_iy_i=2250,\sum_{i=1}^5x_i^2=10\)?；貧w系數(shù)\(b=\frac{\sum_{i=1}^5x_iy_i-5\bar{x}\bar{y}}{\sum_{i=1}^5x_i^2-5\bar{x}^2}=25\)，\(a=\bar{y}-b\bar{x}=150\)?；貧w方程為\(y=150+25x\)。將2021年對應(yīng)的\(x=5\)代入方程，預(yù)測銷售量為\(y=150+25\times5=275\)萬元。四、數(shù)學(xué)建模題模型假設(shè)：1.公交路線網(wǎng)絡(luò)是連通的，即從一個居民區(qū)可以到達(dá)其他所有居民區(qū)。2.公交路線的行駛方向是單向的。3.公交路線的權(quán)值只考慮距離，不考慮時間等其他因素。變量定義：\(x_{ij}\)表示是否修建從居民區(qū)\(i\)到居民區(qū)\(j\)的公交路線，\(x_{ij}=1\)表示修建，\(x_{ij}=0\)表示不修建。目標(biāo)函數(shù)：最小化總路線長度\(Z=\sum_{i=1}^5\sum_{j=1}^5d_{ij}x_{ij}\)，其中\(zhòng)(d_{ij}\)表示居民區(qū)\(i\)到居民區(qū)\(j\)的距離。約束條件：1.每個居民區(qū)必須至少有一條出行的路線：\(\sum_{j=1}^5x_{ij}\geq1,\foralli=1,2,3,4,5\)2.每個居民區(qū)必須至少有一條進(jìn)入的路線：\(\sum_{i=1}