答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁廣西崇左市廣西大學附屬中學2025-2026學年高二上學期開學考試數(shù)學試題學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．某市某月10天的空氣質(zhì)量指數(shù)為35、54、80、86、72、85、58、125、111、53，這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是（

）A．85 B．86 C．98.5 D．1112．若，則（

）A． B． C． D．3．如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是BC的中點，設，，則等于（

）A． B． C． D．4．已知隨機事件和相互獨立，且，則（

）A．0.9 B．0.85 C．0.8 D．0.785．我國唐朝詩人白居易描寫西湖的美景詩云：“亂花漸欲迷人眼，淺草才能沒馬蹄．最愛湖東行不足，綠楊陰里白沙堤．”十一假期間小明準備從蘇堤春曉、平湖秋月、柳浪聞鶯、花港觀魚、雙峰插云五個景點中選擇兩個景點游玩，則蘇堤春曉、平湖秋月景點都沒被選中的概率是（

）A． B． C． D．6．已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側面積相等，且它們的高均為，則圓錐的體積為（

）A． B． C． D．7．已知，，則（

）A． B． C． D．8．已知正三棱臺的體積為，，，則與平面ABC所成角的正切值為（

）A． B．1 C．2 D．3二、多選題9．在正三棱柱中，D為BC的中點，則（

）A． B．平面C． D．平面10．對于函數(shù)和，下列說法中正確的有（

）A．與有相同的零點 B．與有相同的最大值C．與有相同的最小正周期 D．與的圖象有相同的對稱軸11．在中，角、、的對邊分別為、、，已知，則（

）A．若，且有兩解，則的取值范圍為B．若，為中點，則的取值范圍為C．若，且為鈍角三角形，則的取值范圍為D．的面積為，若，則為等腰三角形三、填空題12．已知平面向量若，則13．平行四邊形中，，點是邊的一個四等分點（靠近點），則．

14．一個球與正四面體的六條棱都相切，若正四面體的棱長為a，則這個球的表面積是.四、解答題15．某校為促進學生對數(shù)學文化的認識，舉辦了相關競賽，從所有答卷中隨機抽取份作為樣本，發(fā)現(xiàn)得分均在區(qū)間內(nèi)現(xiàn)將個樣本數(shù)據(jù)按，，，，，分成組，得到如下頻率分布直方圖．

(1)求出頻率分布直方圖中的值；(2)請估計樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)和平均數(shù)；(3)學校決定獎勵成績排名前20%的學生，學生甲的成績是分，請判斷學生甲能否得到獎勵，并說明理由．16．已知曲線C：的兩條相鄰對稱軸間的距離為(1)求的值和的單調(diào)區(qū)間；(2)先將C向右平移個單位長度得到曲線，再把上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍縱坐標不變，得到曲線：，求在區(qū)間上的最大值與最小值.17．記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)求A．(2)若，，求的周長．18．如圖1，在中，，，分別是的中點，現(xiàn)將沿逆時針翻折形成四棱錐（如圖2），且，直線與平面所成的角為.(1)求證：平面平面；(2)求二面角的正切值.19．甲、乙、丙三人進行乒乓球比賽，約定賽制如下：累計負兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進行下一場比賽，負者下一場比賽輪空，直至有一人被淘汰；當一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結束.經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空.設每場比賽雙方獲勝的概率都是.(1)試指出丙最終獲勝的概率與的大小關系（不需給出理由）；(2)求通過四場比賽決出勝負且甲最終獲勝的概率；(3)求丙最終獲勝的概率.《廣西崇左市廣西大學附屬中學2025-2026學年高二上學期開學考試數(shù)學試題》參考答案題號12345678910答案CCCAABDBBDBC題號11答案BD1．C【分析】根據(jù)百分位數(shù)的計算方法求得正確答案.【詳解】數(shù)據(jù)從小到大排序為：35、53、54、58、72、80、85、86、111、125，，所以第80百分位數(shù)是.故選：C2．C【分析】由復數(shù)四則運算法則直接運算即可求解.【詳解】因為，所以.故選：C.3．C【分析】結合圖形，利用向量的線性運算即可求得.【詳解】由圖知，.故選：C.4．A【分析】根據(jù)乘法公式以及并事件的概率求法，即可求得答案.【詳解】因為事件和相互獨立，,故，所以.故選：A.5．A【分析】根據(jù)古典概型求解概率．【詳解】五個景點中選兩個的基本事件總個數(shù)為，蘇堤春曉、平湖秋月景點都沒被選中的基本事件個數(shù)為，故所求概率為．故選：A.6．B【分析】設圓柱的底面半徑為，根據(jù)圓錐和圓柱的側面積相等可得半徑的方程，求出解后可求圓錐的體積.【詳解】設圓柱的底面半徑為，則圓錐的母線長為，而它們的側面積相等，所以即，故，故圓錐的體積為.故選：B.7．D【分析】利用二倍角余弦公式得，則，最后再根據(jù)兩角差的正弦公式即可得到答案.【詳解】，因為，則，則，則.故選：D.8．B【分析】解法一：根據(jù)臺體的體積公式可得三棱臺的高，做輔助線，結合正三棱臺的結構特征求得，進而根據(jù)線面夾角的定義分析求解；解法二：將正三棱臺補成正三棱錐，與平面ABC所成角即為與平面ABC所成角，根據(jù)比例關系可得，進而可求正三棱錐的高，即可得結果.【詳解】解法一：分別取的中點，則，可知，設正三棱臺的為，則，解得，如圖，分別過作底面垂線，垂足為，設，則，，可得，結合等腰梯形可得,即，解得，所以與平面ABC所成角的正切值為；解法二：將正三棱臺補成正三棱錐，則與平面ABC所成角即為與平面ABC所成角，因為，則，可知，則，設正三棱錐的高為，則，解得，取底面ABC的中心為，則底面ABC，且，所以與平面ABC所成角的正切值.故選：B.9．BD【分析】法一：對于A，利用空間向量的線性運算與數(shù)量積運算即可判斷；對于B，利用線面垂直的判定與性質(zhì)定理即可判斷；對于D，利用線面平行的判定定理即可判斷；對于C，利用反證法即可判斷；法二：根據(jù)題意建立空間直角坐標系，利用空間向量法逐一分析判斷各選項即可得解.【詳解】法一：對于A，在正三棱柱中，平面，又平面，則，則，因為是正三角形，為中點，則，則又，所以，則不成立，故A錯誤；對于B，因為在正三棱柱中，平面，又平面，則，因為是正三角形，為中點，則，，又平面，所以平面，故B正確；對于D，因為在正三棱柱中，又平面平面，所以平面，故D正確；對于C，因為在正三棱柱中，，假設，則，這與矛盾，所以不成立，故C錯誤；故選：BD.法二：如圖，建立空間直角坐標系，設該正三棱柱的底邊為，高為，則，對于A，，則，則不成立，故A錯誤；對于BD，，設平面的法向量為，則，得，令，則，所以，，則平面，平面，故BD正確；對于C，，則，顯然不成立，故C錯誤；故選：BD.10．BC【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的零點，最值，周期公式，對稱軸方程逐一分析每個選項即可.【詳解】A選項，令，解得，即為零點，令，解得，即為零點，顯然零點不同，A選項錯誤；B選項，顯然，B選項正確；C選項，根據(jù)周期公式，的周期均為，C選項正確；D選項，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)的對稱軸滿足，的對稱軸滿足，顯然圖像的對稱軸不同，D選項錯誤.故選：BC11．BD【分析】對于A，利用正弦定理，由三角形有兩解時的范圍，確定的范圍；對于B，利用線段中點的向量關系和余弦定理得出與的關系，由基本不等式確定范圍；對于C，分、、為鈍角的三種情況，利用余弦定理和三角形三邊關系可求的范圍；對于D，將面積公式代入已知條件，結合余弦定理化簡，判斷三角形形狀.【詳解】對于A，已知，，且有兩解，由正弦定理可知，當，即時，有兩解，解得，故A錯誤；對于B，因為中點，則，兩邊平方得:.由余弦定理,，即.則得.又因（當且僅當時取等號），解得.故，即，則，故B正確；對于C，已知，，當為鈍角時，，即，無解，即不可能為鈍角；當為鈍角時，，即，解得；當為鈍角時，，即，解得.，即，故，故C錯誤；對于D，已知，，因，則，即.由余弦定理，，代入上式，可得，解得，即，故D正確.故選：BD.12．【分析】根據(jù)向量坐標化運算得，再利用向量垂直的坐標表示得到方程，解出即可.【詳解】，因為，則，則，解得.則，則.故答案為：.13．【分析】根據(jù)向量加減法、數(shù)乘的幾何意義有，應用數(shù)量積的運算律展開，即可求值.【詳解】由題設，得如下示意圖，，，又，，

所以.故答案為：.14．【分析】將正四面體放置在正方體中，由此可得正方體的內(nèi)切球即滿足條件的球，根據(jù)正方體的性質(zhì)求球的半徑，結合球的表面積公式求結論..【詳解】設題中正四面體為，將它放置于正方體內(nèi)，使、位于上、下底面的異面的面對角線處，如圖所示．由正方體的性質(zhì)可得，該正方體的內(nèi)切球恰好與正四面體的六條棱都相切，設該正方體的棱長為，正四面體的棱長為，，解得，可得正方體的內(nèi)接球直徑，得，故球的表面積為．故答案為：.

15．(1)；(2)眾數(shù)、平均數(shù)依次為62分、65分；(3)學生甲能得到獎勵，理由見解析.【分析】（1）根據(jù)頻率和為1列方程求參數(shù)值；（2）根據(jù)直方圖求樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)和平均數(shù)即可；（3）根據(jù)已知求出對應分位數(shù)，判斷甲的分數(shù)所在的位置，即可得結論.【詳解】（1）由直方圖知，所以；（2）平均值為：分，眾數(shù)為：分；（3）成績低于分的頻率為，成績低于分的頻率為，則得到獎勵的最低成績?yōu)?，所以學生甲能得到獎勵．16．(1)(2)最小值為，最大值為【分析】（1）直接利用三角函數(shù)的關系式的變換，把函數(shù)的關系式變換成正弦型函數(shù)，進一步求出的值和函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）利用函數(shù)的關系式的平移變換和伸縮變換求出函數(shù)的關系式，進一步求出函數(shù)的值域．【詳解】（1），由于兩條相鄰對稱軸間的距離為，故函數(shù)的最小值正周期為，所以；故函數(shù)；令，整理得：，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為令，整理得，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)區(qū)間為（2）先將C向右平移個單位長度得到曲線的函數(shù)圖象，再把上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍縱坐標不變，得到曲線：的圖象．由于，所以，故，故，當時，函數(shù)的最小值為，當時，函數(shù)的最大值為17．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)輔助角公式對條件進行化簡處理即可求解，常規(guī)方法還可利用同角三角函數(shù)的關系解方程組，亦可利用導數(shù)，向量數(shù)量積公式，萬能公式解決；（2）先根據(jù)正弦定理邊角互化算出，然后根據(jù)正弦定理算出即可得出周長.【詳解】（1）方法一：常規(guī)方法（輔助角公式）由可得，即，由于，故，解得方法二：常規(guī)方法（同角三角函數(shù)的基本關系）由，又，消去得到：，解得，又，故方法三：利用極值點求解設，則，顯然時，，注意到，，在開區(qū)間上取到最大值，于是必定是極值點，即，即，又，故方法四：利用向量數(shù)量積公式（柯西不等式）設，由題意，，根據(jù)向量的數(shù)量積公式，，則，此時，即同向共線，根據(jù)向量共線條件，，又，故方法五：利用萬能公式求解設，根據(jù)萬能公式，，整理可得，，解得，根據(jù)二倍角公式，，又，故（2）由題設條件和正弦定理，又，則，進而，得到，于是，，由正弦定理可得，，即，解得，故的周長為18．(1)證明見解析(2)【分析】（1）由已知先證明平面，然后由面面垂直的判定定理即可證明；（2）連接，過點作，垂足為，連接，得出二面角的平面角為，即可求解.【詳解】（1）因為分別是的中點，所以，因為，所以，則，，即，又因為，平面，所以平面，故平面，又平面，所以平面平面.（2）連接，過點作，垂足為，連接，如圖所示，因為平面，直線與平面所成的角為所以，即，因為，，所以，是等腰直角三角形，可得，所以，即為等邊三角形，則點為中點，，在中，，在中，，則，由點為中點得，，又平面，平面，平面平面，所以二面角的平面角為，因為平面，平面，所以，在中，，所以二面角的正切值為.19．(1)丙最終獲勝的概率大于(2)(3)【分析】（1）先利用獨立事件乘法公式和互斥事件加法公式求出甲最終獲勝的概率，又由甲、乙最終獲勝的概率相等，利用對立事件概率公式求解丙最終獲勝的概率，即可判斷.（2）利用獨立事件乘