根軌跡設(shè)計(jì)方法演講人：日期:目錄CATALOGUE02.根軌跡繪制規(guī)則04.系統(tǒng)分析與應(yīng)用05.實(shí)踐工具與技巧01.03.設(shè)計(jì)方法步驟06.案例研究與評估基本概念與原理01基本概念與原理PART根軌跡定義與起源根軌跡是描述開環(huán)傳遞函數(shù)某一參數(shù)（通常為增益K）從零變化到無窮大時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程根在復(fù)平面（s平面）上移動(dòng)的軌跡集合。其核心方程為(1+KG(s)H(s)=0)，其中(G(s)H(s))為開環(huán)傳遞函數(shù)。根軌跡的數(shù)學(xué)定義根軌跡法由美國控制理論學(xué)家埃文斯（W.R.Evans）于1948年首次提出，最初用于解決飛機(jī)自動(dòng)駕駛系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。該方法通過圖解方式簡化了高階系統(tǒng)分析，成為經(jīng)典控制理論的重要工具。歷史背景與發(fā)展根軌跡法直觀展示系統(tǒng)極點(diǎn)隨參數(shù)變化的規(guī)律，便于工程師快速評估系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能（如超調(diào)量、調(diào)節(jié)時(shí)間）和穩(wěn)定性（如臨界增益）。工程應(yīng)用價(jià)值穩(wěn)定性判據(jù)靠近虛軸的極點(diǎn)主導(dǎo)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性。通過調(diào)整增益使主導(dǎo)極點(diǎn)位于期望區(qū)域（如阻尼比(zeta=0.707)），可優(yōu)化系統(tǒng)響應(yīng)速度與振蕩程度。主導(dǎo)極點(diǎn)與動(dòng)態(tài)響應(yīng)零極點(diǎn)配置的影響開環(huán)零點(diǎn)吸引根軌跡，改善系統(tǒng)響應(yīng)速度；開環(huán)極點(diǎn)排斥根軌跡，可能降低穩(wěn)定性。合理配置零極點(diǎn)可優(yōu)化系統(tǒng)性能。根軌跡位于s平面左半平面時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；若軌跡穿越虛軸進(jìn)入右半平面，系統(tǒng)將失穩(wěn)。臨界增益(K_{cr})可通過根軌跡與虛軸交點(diǎn)計(jì)算。閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析核心數(shù)學(xué)基礎(chǔ)幅角條件與幅值條件根軌跡上的點(diǎn)需滿足(angleG(s)H(s)=pm180^circ(2k+1))（幅角條件）和(|KG(s)H(s)|=1)（幅值條件），這是繪制根軌跡的理論依據(jù)。根軌跡對稱性由于特征方程系數(shù)為實(shí)數(shù)，根軌跡必然關(guān)于實(shí)軸對稱，這一性質(zhì)簡化了軌跡繪制過程，并保證了分析的嚴(yán)謹(jǐn)性。解析法與幾何規(guī)則根軌跡繪制遵循9條基本規(guī)則，包括起點(diǎn)（開環(huán)極點(diǎn)）、終點(diǎn)（開環(huán)零點(diǎn)或無窮遠(yuǎn)）、漸近線方向、分離點(diǎn)計(jì)算等，這些規(guī)則基于復(fù)變函數(shù)理論和多項(xiàng)式方程求解。02根軌跡繪制規(guī)則PART根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)（系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)），終止于開環(huán)零點(diǎn)（包括有限零點(diǎn)和無窮遠(yuǎn)處的零點(diǎn)）。若開環(huán)零點(diǎn)數(shù)量少于極點(diǎn)，剩余軌跡將趨向于無窮遠(yuǎn)處。開環(huán)極點(diǎn)與零點(diǎn)的定義由于特征方程的根為實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù)對，根軌跡在實(shí)軸上對稱分布，且復(fù)數(shù)極點(diǎn)和零點(diǎn)的根軌跡分支必然成對出現(xiàn)。極點(diǎn)和零點(diǎn)的對稱性實(shí)軸上的某一段若其右側(cè)開環(huán)極點(diǎn)和零點(diǎn)總數(shù)為奇數(shù)，則該段屬于根軌跡的一部分，否則不屬于。實(shí)軸上的根軌跡判定010203起始與終止點(diǎn)規(guī)范漸近線角度與交點(diǎn)當(dāng)根軌跡趨向無窮時(shí)，其漸近線角度計(jì)算公式為φ=(2k+1)π/(n-m)，其中n為極點(diǎn)數(shù)，m為零點(diǎn)數(shù)，k取整數(shù)。漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)σ=(Σ極點(diǎn)-Σ零點(diǎn))/(n-m)。漸近線與分離點(diǎn)計(jì)算分離點(diǎn)與匯合點(diǎn)分離點(diǎn)是根軌跡在實(shí)軸上分叉或合并的點(diǎn)，可通過求解方程dK/ds=0或利用極零點(diǎn)位置近似估算。分離點(diǎn)處的根軌跡分支會以±90°方向離開實(shí)軸。重根點(diǎn)的判定若分離點(diǎn)處有多個(gè)根軌跡分支交匯，需通過高階導(dǎo)數(shù)驗(yàn)證其性質(zhì)，確保系統(tǒng)在該點(diǎn)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性符合設(shè)計(jì)要求。復(fù)數(shù)極點(diǎn)處理技巧根軌跡的振蕩特性復(fù)數(shù)極點(diǎn)附近的根軌跡通常對應(yīng)系統(tǒng)的振蕩模態(tài)，需通過阻尼比和自然頻率分析其動(dòng)態(tài)響應(yīng)，確保系統(tǒng)穩(wěn)定性。03共軛極點(diǎn)的對稱性復(fù)數(shù)極點(diǎn)的根軌跡分支必須保持共軛對稱，設(shè)計(jì)時(shí)需同時(shí)調(diào)整兩分支的增益參數(shù)，避免因不對稱導(dǎo)致系統(tǒng)性能惡化。0201出射角與入射角計(jì)算復(fù)數(shù)極點(diǎn)處的根軌跡出射角可通過相位條件確定，公式為θ=180°+Σ∠(s-零點(diǎn))-Σ∠(s-極點(diǎn))。同理，復(fù)數(shù)零點(diǎn)處的入射角計(jì)算需滿足相位平衡條件。03設(shè)計(jì)方法步驟PART參數(shù)增益調(diào)整策略增益與穩(wěn)定性分析通過調(diào)整開環(huán)增益K，觀察根軌跡在復(fù)平面的分布，確保閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)始終位于左半平面以維持穩(wěn)定性。臨界增益值可通過根軌跡與虛軸交點(diǎn)確定。動(dòng)態(tài)響應(yīng)調(diào)節(jié)增大增益可提高系統(tǒng)響應(yīng)速度，但需避免主導(dǎo)極點(diǎn)過度靠近虛軸導(dǎo)致超調(diào)量過大。通過根軌跡分支的斜率變化評估阻尼比與自然頻率的匹配度。魯棒性權(quán)衡高增益可能降低系統(tǒng)對參數(shù)攝動(dòng)的魯棒性。需結(jié)合靈敏度函數(shù)，在根軌跡上選擇使相位裕度≥45°的增益區(qū)間。補(bǔ)償器設(shè)計(jì)流程滯后補(bǔ)償應(yīng)用當(dāng)穩(wěn)態(tài)誤差不達(dá)標(biāo)時(shí)，在原點(diǎn)附近添加極點(diǎn)-零點(diǎn)對，通過極點(diǎn)降低高頻增益，同時(shí)零點(diǎn)減小對動(dòng)態(tài)性能的影響。相位超前補(bǔ)償若系統(tǒng)響應(yīng)遲緩，在主導(dǎo)極點(diǎn)附近添加零點(diǎn)-極點(diǎn)對，利用零點(diǎn)吸引根軌跡向左移動(dòng)，提高系統(tǒng)帶寬與響應(yīng)速度。零極點(diǎn)配置原則根據(jù)期望性能指標(biāo)（如調(diào)節(jié)時(shí)間、超調(diào)量），在根軌跡上確定目標(biāo)極點(diǎn)區(qū)域，通過添加超前補(bǔ)償器（引入零點(diǎn)）或滯后補(bǔ)償器（引入極點(diǎn)）調(diào)整軌跡走向。性能優(yōu)化原則主導(dǎo)極點(diǎn)約束確保閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)位于復(fù)平面特定扇形區(qū)域內(nèi)（如阻尼比ζ≥0.707），以滿足瞬態(tài)響應(yīng)要求?？赏ㄟ^調(diào)整補(bǔ)償器參數(shù)使根軌跡穿過該區(qū)域。抗干擾性優(yōu)化分析干擾輸入點(diǎn)的根軌跡分支，通過附加反饋或前饋路徑使干擾傳遞函數(shù)的極點(diǎn)遠(yuǎn)離虛軸，抑制高頻噪聲。多目標(biāo)協(xié)調(diào)當(dāng)速度、精度、穩(wěn)定性需求沖突時(shí)，采用串級補(bǔ)償或PID結(jié)構(gòu)，分層優(yōu)化不同頻段的根軌跡特性，實(shí)現(xiàn)綜合性能平衡。04系統(tǒng)分析與應(yīng)用PART穩(wěn)定性判別標(biāo)準(zhǔn)010203根軌跡與虛軸交點(diǎn)當(dāng)根軌跡穿越虛軸時(shí)，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，此時(shí)對應(yīng)的參數(shù)值為臨界增益，通過分析根軌跡與虛軸的交點(diǎn)位置可判斷系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性。左半平面分布原則若閉環(huán)系統(tǒng)所有特征根均位于復(fù)平面左半部分，則系統(tǒng)穩(wěn)定；根軌跡法通過繪制參數(shù)變化時(shí)根的移動(dòng)路徑，直觀展示系統(tǒng)穩(wěn)定性隨參數(shù)變化的趨勢。主導(dǎo)極點(diǎn)分析高階系統(tǒng)中靠近虛軸且實(shí)部較小的極點(diǎn)主導(dǎo)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)，通過根軌跡確定主導(dǎo)極點(diǎn)的位置和阻尼比，可評估系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性裕度。二階系統(tǒng)中，極點(diǎn)實(shí)部決定衰減速度，虛部決定振蕩頻率，通過根軌跡上極點(diǎn)的阻尼角可計(jì)算超調(diào)量百分比（如阻尼角60°對應(yīng)約5%超調(diào)）。瞬態(tài)響應(yīng)預(yù)測方法極點(diǎn)位置與超調(diào)量關(guān)系根據(jù)根軌跡上主導(dǎo)極點(diǎn)的實(shí)部絕對值σ（σ=ζω_n），調(diào)節(jié)時(shí)間t_s≈4/σ，該方法適用于欠阻尼二階系統(tǒng)及具有明顯主導(dǎo)極點(diǎn)的高階系統(tǒng)。調(diào)節(jié)時(shí)間估算根軌跡法可顯示閉環(huán)零點(diǎn)位置，當(dāng)零點(diǎn)靠近原點(diǎn)時(shí)會增大系統(tǒng)超調(diào)量，需結(jié)合極點(diǎn)分布綜合分析瞬態(tài)響應(yīng)特性。閉環(huán)零點(diǎn)影響評估工業(yè)控制實(shí)例電力系統(tǒng)頻率調(diào)節(jié)溫度控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)針對六軸機(jī)械臂關(guān)節(jié)控制，利用根軌跡分析不同慣性負(fù)載下的系統(tǒng)穩(wěn)定性邊界，動(dòng)態(tài)調(diào)整速度反饋增益以保持臨界阻尼狀態(tài)。某熱處理爐采用根軌跡法調(diào)整PID參數(shù)，通過觀察開環(huán)增益變化時(shí)極點(diǎn)的遷移路徑，最終選定使主導(dǎo)極點(diǎn)位于ζ=0.7阻尼線附近的控制器參數(shù)。在發(fā)電機(jī)勵(lì)磁控制中，通過繪制AVR（自動(dòng)電壓調(diào)節(jié)器）的根軌跡曲線，確定保證區(qū)域電網(wǎng)小干擾穩(wěn)定的最大增益限制值。123機(jī)械臂位置伺服系統(tǒng)05實(shí)踐工具與技巧PARTMATLAB/Simulink應(yīng)用利用MATLAB的ControlSystemToolbox繪制根軌跡圖，通過`rlocus`函數(shù)快速生成系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的根軌跡曲線，并結(jié)合Simulink搭建動(dòng)態(tài)模型驗(yàn)證穩(wěn)定性。軟件仿真工具使用Python控制庫（如SciPy、Control）使用Python的`control.matlab.rlocus`函數(shù)實(shí)現(xiàn)根軌跡分析，支持自定義參數(shù)調(diào)整（如增益范圍、極點(diǎn)/零點(diǎn)標(biāo)記），適合開源環(huán)境下的算法開發(fā)與教學(xué)演示。LabVIEW控制系統(tǒng)模塊通過圖形化編程界面配置根軌跡分析參數(shù)，實(shí)時(shí)監(jiān)控閉環(huán)極點(diǎn)隨增益變化的軌跡，適用于硬件在環(huán)（HIL）測試場景。檢查開環(huán)傳遞函數(shù)輸入時(shí)是否遺漏關(guān)鍵極點(diǎn)或零點(diǎn)（如傳感器延遲環(huán)節(jié)），遺漏會導(dǎo)致根軌跡形狀偏離預(yù)期，影響穩(wěn)定性判斷。極點(diǎn)/零點(diǎn)遺漏過小的增益范圍可能無法捕捉臨界穩(wěn)定點(diǎn)，需根據(jù)系統(tǒng)特性動(dòng)態(tài)調(diào)整（如從0到100倍臨界增益分段掃描）。增益范圍設(shè)置不當(dāng)根軌跡圖默認(rèn)線性比例可能掩蓋高頻區(qū)細(xì)節(jié)，建議切換為對數(shù)比例或局部放大觀察關(guān)鍵區(qū)域（如虛軸附近）。坐標(biāo)軸比例問題常見錯(cuò)誤排查實(shí)時(shí)調(diào)整指南02

03

多參數(shù)協(xié)同優(yōu)化01

動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器設(shè)計(jì)當(dāng)系統(tǒng)存在多個(gè)可調(diào)參數(shù)（如PID三個(gè)參數(shù)），采用參數(shù)掃描配合根軌跡簇分析，可視化不同組合下的極點(diǎn)分布，選擇最優(yōu)平衡點(diǎn)。增益自適應(yīng)策略在實(shí)時(shí)控制中，依據(jù)根軌跡的穩(wěn)定性邊界自動(dòng)限制增益最大值（如PID控制器的Kp參數(shù)），避免系統(tǒng)進(jìn)入右半平面不穩(wěn)定區(qū)。根據(jù)根軌跡顯示的極點(diǎn)偏移趨勢，實(shí)時(shí)添加超前/滯后補(bǔ)償器（如`(s+2)/(s+10)`），觀察主導(dǎo)極點(diǎn)是否進(jìn)入期望阻尼比區(qū)域（如ζ≥0.7）。06案例研究與評估PART典型二階系統(tǒng)案例針對典型二階系統(tǒng)（如質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)），根軌跡法可指導(dǎo)比例控制器增益的選擇，確保系統(tǒng)在階躍輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差滿足要求，同時(shí)兼顧快速性和穩(wěn)定性。穩(wěn)態(tài)誤差校正靈敏度與魯棒性驗(yàn)證通過根軌跡法分析二階系統(tǒng)的極點(diǎn)分布，可直觀判斷阻尼比與超調(diào)量的關(guān)系。例如，當(dāng)極點(diǎn)位于復(fù)平面左半平面且接近虛軸時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)振蕩加劇，需調(diào)整增益以優(yōu)化動(dòng)態(tài)性能。通過根軌跡分支的變化趨勢，評估系統(tǒng)參數(shù)（如自然頻率）擾動(dòng)對閉環(huán)極點(diǎn)的影響，驗(yàn)證系統(tǒng)在參數(shù)攝動(dòng)下的魯棒性，為實(shí)際工程應(yīng)用提供理論依據(jù)。阻尼比與超調(diào)量分析高頻噪聲抑制策略在高頻系統(tǒng)（如通信濾波器）中，根軌跡法可識別高頻極點(diǎn)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，通過調(diào)整零點(diǎn)位置或引入超前補(bǔ)償器，有效抑制高頻噪聲干擾。帶寬與相位裕度優(yōu)化針對高頻響應(yīng)要求嚴(yán)格的系統(tǒng)（如雷達(dá)跟蹤系統(tǒng)），利用根軌跡法分析開環(huán)傳遞函數(shù)，優(yōu)化增益分配以擴(kuò)展帶寬，同時(shí)確保相位裕度大于45°，避免自激振蕩。多模態(tài)系統(tǒng)協(xié)調(diào)控制對于含多個(gè)諧振峰的高頻機(jī)械系統(tǒng)（如精密機(jī)床），根軌跡法可分離主導(dǎo)極點(diǎn)與非主導(dǎo)極點(diǎn)，設(shè)計(jì)多級控制器以實(shí)現(xiàn)模態(tài)解耦，提升系統(tǒng)整體性能。高頻系統(tǒng)設(shè)計(jì)實(shí)例時(shí)域與頻域指標(biāo)對比通過根軌跡法設(shè)計(jì)的系統(tǒng)需結(jié)合階躍響應(yīng)、伯德圖等工具驗(yàn)證時(shí)域（上