2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——數(shù)學(xué)在神經(jīng)退行性疾病研究中的應(yīng)用考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡(jiǎn)述微分方程在描述神經(jīng)退行性疾病進(jìn)展過(guò)程中的作用，并舉例說(shuō)明幾種常見的數(shù)學(xué)模型類型。二、解釋概率統(tǒng)計(jì)方法在神經(jīng)退行性疾病風(fēng)險(xiǎn)預(yù)測(cè)中的應(yīng)用，并簡(jiǎn)述如何利用相關(guān)統(tǒng)計(jì)量評(píng)估某項(xiàng)生物標(biāo)志物（如某種蛋白質(zhì)濃度）與疾病風(fēng)險(xiǎn)之間的關(guān)系。三、考慮一個(gè)描述神經(jīng)元突觸可塑性的數(shù)學(xué)模型，該模型包含一個(gè)描述長(zhǎng)期增強(qiáng)（LTP）的微分方程。請(qǐng)推導(dǎo)該方程的穩(wěn)定條件，并解釋穩(wěn)定條件對(duì)理解突觸強(qiáng)度變化和記憶形成的意義。四、描述圖論和網(wǎng)絡(luò)分析在研究神經(jīng)退行性疾病相關(guān)腦網(wǎng)絡(luò)變化中的應(yīng)用。選擇一種具體的網(wǎng)絡(luò)指標(biāo)（如聚類系數(shù)、效率等），說(shuō)明該指標(biāo)如何反映疾病的病理生理變化，并簡(jiǎn)述其潛在的應(yīng)用價(jià)值。五、某研究團(tuán)隊(duì)提出一個(gè)數(shù)學(xué)模型來(lái)描述阿爾茨海默病中β-淀粉樣蛋白的動(dòng)力學(xué)過(guò)程。該模型包含產(chǎn)生、清除和毒性聚集三個(gè)主要環(huán)節(jié)。請(qǐng)簡(jiǎn)述該模型中可能包含的關(guān)鍵參數(shù)，并說(shuō)明這些參數(shù)的測(cè)量或估計(jì)對(duì)理解疾病機(jī)制和尋找治療靶點(diǎn)的重要性。六、設(shè)想一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型來(lái)描述某種神經(jīng)退行性疾病在人群中的傳播或進(jìn)展過(guò)程。請(qǐng)列出構(gòu)建該模型所需考慮的關(guān)鍵因素，并簡(jiǎn)要說(shuō)明選擇特定數(shù)學(xué)形式（如指數(shù)模型、邏輯斯蒂模型、微分方程模型等）的理由。七、討論數(shù)值計(jì)算方法在求解復(fù)雜神經(jīng)數(shù)學(xué)模型（例如包含隨機(jī)性的偏微分方程模型）中的重要性。舉例說(shuō)明一種常用的數(shù)值技術(shù)（如歐拉法、龍格-庫(kù)塔法或有限元法），并簡(jiǎn)述其在處理此類模型時(shí)可能遇到的主要挑戰(zhàn)。八、比較兩種不同的數(shù)學(xué)模型在模擬帕金森病病理特征（如路易小體形成或多巴胺能神經(jīng)元損失）方面的優(yōu)劣。請(qǐng)從模型假設(shè)、復(fù)雜度、預(yù)測(cè)能力、數(shù)據(jù)擬合等方面進(jìn)行對(duì)比分析。九、闡述數(shù)學(xué)建模在神經(jīng)退行性疾病藥物研發(fā)過(guò)程中的作用。從藥物發(fā)現(xiàn)、藥效預(yù)測(cè)、藥物動(dòng)力學(xué)模擬等方面，說(shuō)明數(shù)學(xué)模型如何幫助研究人員優(yōu)化藥物設(shè)計(jì)和臨床試驗(yàn)設(shè)計(jì)。十、結(jié)合當(dāng)前研究進(jìn)展，論述數(shù)學(xué)方法在揭示神經(jīng)退行性疾病（如阿爾茨海默病或帕金森?。┑臐撛谏飳W(xué)機(jī)制方面的貢獻(xiàn)和未來(lái)發(fā)展方向。試卷答案一、微分方程能夠描述神經(jīng)退行性疾病的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程，如疾病隨時(shí)間進(jìn)展的速度、關(guān)鍵蛋白濃度變化率等。常見模型類型包括：①常微分方程（ODE）模型，用于描述單個(gè)神經(jīng)元或細(xì)胞群體、分子動(dòng)態(tài)過(guò)程（如蛋白質(zhì)聚集動(dòng)力學(xué)）；②偏微分方程（PDE）模型，用于描述信息在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的傳播或物質(zhì)在組織中的擴(kuò)散；③隨機(jī)微分方程模型，用于描述疾病進(jìn)展中存在的隨機(jī)性或個(gè)體差異。二、概率統(tǒng)計(jì)方法通過(guò)分析大量臨床數(shù)據(jù)，建立生物標(biāo)志物（如基因型、影像特征、血液指標(biāo)）與疾病發(fā)生概率或進(jìn)展速度之間的統(tǒng)計(jì)關(guān)聯(lián)。利用邏輯回歸、生存分析等統(tǒng)計(jì)方法，可以計(jì)算生物標(biāo)志物的優(yōu)勢(shì)比（OR值）、hazardratio或P值，評(píng)估其預(yù)測(cè)疾病的獨(dú)立性和準(zhǔn)確性。統(tǒng)計(jì)模型還用于校正混雜因素，構(gòu)建風(fēng)險(xiǎn)評(píng)分系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)對(duì)個(gè)體疾病風(fēng)險(xiǎn)的量化評(píng)估和分層。三、推導(dǎo)穩(wěn)定條件需對(duì)LTP微分方程（通常形如dE/dt=f(E,I,U)或類似形式，其中E代表突觸效率，I代表輸入，U代表調(diào)控因子）求導(dǎo)，找到平衡點(diǎn)E*，然后計(jì)算該點(diǎn)處的特征方程的判別式或直接分析導(dǎo)數(shù)值f'(E*)。若f'(E*)<0，則平衡點(diǎn)E*穩(wěn)定，意味著突觸強(qiáng)度在受到刺激后能維持增強(qiáng)狀態(tài)；若f'(E*)>0，則不穩(wěn)定。穩(wěn)定條件反映了突觸可塑性閾值，決定了信息傳遞的增強(qiáng)能否持續(xù)，對(duì)理解學(xué)習(xí)記憶的鞏固和消退至關(guān)重要。四、圖論和網(wǎng)絡(luò)分析將大腦視為一個(gè)由節(jié)點(diǎn)（如神經(jīng)元、腦區(qū)）和邊（如功能連接、結(jié)構(gòu)連接）組成的網(wǎng)絡(luò)。選擇聚類系數(shù)（ClusteringCoefficient），它可以衡量網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的局部聚類程度，即節(jié)點(diǎn)及其鄰居形成緊密連接群體的傾向。在神經(jīng)退行性疾病中，低聚類系數(shù)可能反映功能連接的減弱或腦區(qū)功能組織的破壞，如AD中默認(rèn)模式網(wǎng)絡(luò)的解體。高聚類系數(shù)可能與疾病相關(guān)的異常網(wǎng)絡(luò)硬化或局部過(guò)度連接有關(guān)。該指標(biāo)有助于識(shí)別疾病相關(guān)的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渥兓Ｊ剑瑸槔斫獠±頇C(jī)制和尋找生物標(biāo)志物提供依據(jù)。五、該β-淀粉樣蛋白動(dòng)力學(xué)模型可能包含的關(guān)鍵參數(shù)有：①產(chǎn)生速率常數(shù)（反映APP切割酶活性）；②清除速率常數(shù)（涉及酶降解、重吸收、轉(zhuǎn)運(yùn)等機(jī)制）；③毒性聚集形成的速率和清除速率（反映斑塊形成和清除能力）；④模型可能包含的平衡濃度或飽和常數(shù)。這些參數(shù)的測(cè)量或估計(jì)至關(guān)重要，因?yàn)樗鼈冎苯雨P(guān)聯(lián)到淀粉樣蛋白病理負(fù)荷的動(dòng)態(tài)平衡。準(zhǔn)確估計(jì)參數(shù)有助于量化疾病進(jìn)展速率，驗(yàn)證病理假說(shuō)，并評(píng)估抑制產(chǎn)生或促進(jìn)清除的潛在治療效果。六、構(gòu)建模型需考慮的關(guān)鍵因素包括：①疾病傳播/進(jìn)展的方式（如細(xì)胞間直接接觸、體液傳播、遺傳易感性、環(huán)境因素暴露）；②人群初始狀態(tài)（易感、潛伏、患病個(gè)體比例）；③關(guān)鍵轉(zhuǎn)換速率（如從易感到患病的概率、疾病恢復(fù)或進(jìn)展的速率）；④影響轉(zhuǎn)換速率的因素（如年齡、性別、基因型、治療干預(yù)）。選擇特定數(shù)學(xué)形式取決于過(guò)程特性：指數(shù)模型適用于初期快速增長(zhǎng)、無(wú)限制條件；邏輯斯蒂模型適用于存在飽和或上限（如人口密度限制）的增長(zhǎng)；微分方程模型能更精確描述連續(xù)動(dòng)態(tài)變化和相互作用。例如，常微分方程可用于描述單個(gè)細(xì)胞內(nèi)分子濃度隨時(shí)間的動(dòng)態(tài)變化。七、數(shù)值計(jì)算方法對(duì)于求解復(fù)雜神經(jīng)數(shù)學(xué)模型（如包含空間分布、隨機(jī)效應(yīng)的PDE模型）至關(guān)重要，因?yàn)樵S多模型難以獲得解析解。例如，使用歐拉法進(jìn)行數(shù)值積分，通過(guò)離散時(shí)間步長(zhǎng)近似求解微分方程。挑戰(zhàn)主要包括：①數(shù)值誤差的累積和傳播，尤其在長(zhǎng)時(shí)間模擬或高階精度要求下；②網(wǎng)格離散化帶來(lái)的誤差和計(jì)算成本；③對(duì)于高維模型或隨機(jī)過(guò)程，計(jì)算量巨大；④保證數(shù)值解的穩(wěn)定性和收斂性需要精心選擇時(shí)間步長(zhǎng)和空間離散格式；⑤模型參數(shù)校準(zhǔn)和不確定性量化也常需復(fù)雜的數(shù)值技術(shù)支持。八、比較兩種模型時(shí)需考慮：①模型假設(shè)：ODE模型可能假設(shè)空間均勻性或簡(jiǎn)化相互作用，PDE模型能描述空間異質(zhì)性和擴(kuò)散，隨機(jī)模型能引入個(gè)體差異和噪聲。②復(fù)雜度：ODE模型通常更簡(jiǎn)單，易于分析和求解；PDE模型復(fù)雜度更高。③預(yù)測(cè)能力：更復(fù)雜的模型（如包含空間和隨機(jī)性的PDE模型）可能提供更精細(xì)的預(yù)測(cè)，但也可能過(guò)擬合。④數(shù)據(jù)擬合：模型需能良好擬合實(shí)驗(yàn)觀測(cè)數(shù)據(jù)，不同模型可能對(duì)數(shù)據(jù)有不同的敏感度和解釋能力。例如，一個(gè)簡(jiǎn)單的ODE模型可能能捕捉疾病早期快速增長(zhǎng)階段，但難以精確模擬晚期病理特征的的空間分布和個(gè)體差異，而一個(gè)復(fù)雜的PDE隨機(jī)模型可能更全面但分析難度大。九、數(shù)學(xué)建模在藥物研發(fā)中作用顯著：①藥物發(fā)現(xiàn)階段，通過(guò)計(jì)算模型模擬分子與靶點(diǎn)相互作用，預(yù)測(cè)化合物活性、選擇性和毒性，加速候選藥物篩選。②藥效預(yù)測(cè)，利用生理病理模型模擬藥物在體內(nèi)的作用機(jī)制和效果，預(yù)測(cè)治療效果和副作用。③藥物動(dòng)力學(xué)（PK）模擬，建立模型描述藥物吸收、分布、代謝、排泄過(guò)程，優(yōu)化給藥方案（劑量、頻率、途徑）。④臨床試驗(yàn)設(shè)計(jì)，利用統(tǒng)計(jì)模型和模擬方法設(shè)計(jì)更有效、成本更低的臨床試驗(yàn)，預(yù)測(cè)試驗(yàn)成功率，評(píng)估新藥相對(duì)于現(xiàn)有療法的優(yōu)勢(shì)。數(shù)學(xué)模型為藥物研發(fā)提供了理論框架和定量工具，提高了研發(fā)效率和成功率。十、數(shù)學(xué)方法通過(guò)建立定量模型，為揭示神經(jīng)退行性疾病機(jī)制提供了強(qiáng)大工具。例如，通過(guò)微分方程模型模擬蛋白質(zhì)錯(cuò)誤折疊和聚集過(guò)程，幫助理解淀粉樣蛋白或Tau蛋白病理的觸發(fā)和擴(kuò)散機(jī)制；通過(guò)網(wǎng)絡(luò)分析識(shí)別疾病相關(guān)的關(guān)鍵腦區(qū)及其功能連接異常模式；通過(guò)計(jì)算建模研究遺傳變異對(duì)疾病風(fēng)險(xiǎn)和表型的影響；通過(guò)隨機(jī)過(guò)程模