2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——數(shù)學(xué)在交通規(guī)劃中的角色考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、設(shè)某城市交通網(wǎng)絡(luò)簡(jiǎn)化為如下圖所示的帶權(quán)無(wú)向圖，其中節(jié)點(diǎn)表示交叉口或區(qū)域中心，邊表示道路段，邊的權(quán)重表示該路段的通行能力（單位：車輛/小時(shí)）。假設(shè)車輛總是選擇總行程時(shí)間最短的路徑。請(qǐng)回答：1.若要從節(jié)點(diǎn)A前往節(jié)點(diǎn)F，列出所有可能的路徑，并計(jì)算每條路徑的總權(quán)重（即總通行能力）。2.利用Dijkstra算法（或其描述），找出從節(jié)點(diǎn)A到所有其他節(jié)點(diǎn)的最短路徑及其對(duì)應(yīng)的路徑長(zhǎng)度（總權(quán)重）。3.若邊CE的通行能力從10增加到15，重新分析從A到F的最短路徑是否發(fā)生變化？請(qǐng)說明理由。二、某區(qū)域交通規(guī)劃師希望優(yōu)化該區(qū)域內(nèi)一個(gè)關(guān)鍵交叉口的信號(hào)配時(shí)。該交叉口有兩個(gè)主要方向（東向和北向），假設(shè)每個(gè)方向的交通流量（平均每分鐘到達(dá)的車輛數(shù)）分別為q1和q2。信號(hào)燈周期為T秒，其中綠燈時(shí)間為g1秒（東向）和g2秒（北向），紅綠燈交替的時(shí)間為黃燈時(shí)間（ge=3秒）和全紅時(shí)間（g0=2秒）。當(dāng)前配時(shí)方案為T=60秒，g1=30秒，g2=25秒。1.請(qǐng)寫出該交叉口在信號(hào)周期內(nèi)的總損失時(shí)間L。2.假設(shè)東向和北向的飽和流率（即該方向綠燈時(shí)間內(nèi)最大可通過車輛數(shù)）分別為s1=1800輛/小時(shí)和s2=1600輛/小時(shí)。請(qǐng)利用通行能力公式（s×有效綠燈時(shí)間）分別計(jì)算東向和北向的通行能力C1和C2。3.根據(jù)交通工程原理，信號(hào)配時(shí)需要保證各方向交通的綠燈時(shí)間與其交通流量成比例。若要求在當(dāng)前周期T=60秒下，東向和北向的綠信比（實(shí)際綠燈時(shí)間/周期時(shí)間）分別達(dá)到α1和α2，請(qǐng)寫出g1和g2的表達(dá)式，并說明如何確定α1和α2的值以平衡兩個(gè)方向的需求。4.簡(jiǎn)述如何利用線性規(guī)劃模型來(lái)優(yōu)化此交叉口的信號(hào)配時(shí)，以最小化總延誤或最大化總通行能力，并需滿足基本約束條件（如總綠燈時(shí)間等于周期減去損失時(shí)間，各方向綠信比合理等）。三、考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的交通需求預(yù)測(cè)中的出行分布問題。假設(shè)某區(qū)域有A、B兩個(gè)活動(dòng)點(diǎn)，總?cè)丝诜謩e為Pa=1000人和Pb=800人。根據(jù)出行調(diào)查，從A點(diǎn)到B點(diǎn)的出行吸引系數(shù)（每人平均產(chǎn)生的出行次數(shù)）為θAB=0.1，從B點(diǎn)到A點(diǎn)的出行吸引系數(shù)為θBA=0.08。采用重力模型進(jìn)行預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)的出行次數(shù)為O-D矩陣中的元素。假設(shè)區(qū)域總出行產(chǎn)生數(shù)為G=1500次（不含對(duì)角線元素）。1.請(qǐng)寫出基于重力模型，從A點(diǎn)到B點(diǎn)的出行次數(shù)fAB的表達(dá)式。2.寫出所有出行次數(shù)（fAB,fBA,fAA,fBB）所滿足的方程組（交通平衡方程）。3.若已知對(duì)角線出行比例（即OD矩陣中元素占該行總出行的比例）為：A點(diǎn)對(duì)角線出行比例為0.6，B點(diǎn)對(duì)角線出行比例為0.7，請(qǐng)嘗試求解該OD矩陣中的所有元素值。四、在分析城市交通擁堵問題時(shí)，排隊(duì)論模型被廣泛應(yīng)用。假設(shè)某路段入口匝道連接主線的交通流可視為一個(gè)M/M/1排隊(duì)系統(tǒng)，其中：*主線到達(dá)匝道的車輛流是泊松流，平均到達(dá)率（每分鐘到達(dá)車輛數(shù)）λ=10輛/分鐘。*匝道車輛匯入主線的過程由一個(gè)單車道隊(duì)列模擬，隊(duì)列服務(wù)臺(tái)即為主線提供通行空間。*車輛通過隊(duì)列（即完成匯入過程）的與服務(wù)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均服務(wù)率（每分鐘能通過的服務(wù)車輛數(shù)）μ=12輛/分鐘。請(qǐng)回答：1.請(qǐng)計(jì)算該排隊(duì)系統(tǒng)的交通強(qiáng)度ρ（λ/μ），并判斷該系統(tǒng)的穩(wěn)定運(yùn)行狀態(tài)。2.若系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)，請(qǐng)計(jì)算隊(duì)列中的平均等待車輛數(shù)Lq。3.請(qǐng)計(jì)算一個(gè)車輛從到達(dá)匝道準(zhǔn)備匯入開始，到最終成功匯入主線所需的平均等待時(shí)間Wq（不包括在隊(duì)列中的等待時(shí)間）。4.簡(jiǎn)述該M/M/1模型在交通規(guī)劃中還可以應(yīng)用于哪些類似的交通設(shè)施分析場(chǎng)景。五、交通網(wǎng)絡(luò)中的路徑選擇是影響交通流分配和系統(tǒng)效率的關(guān)鍵因素?？紤]一個(gè)包含4個(gè)節(jié)點(diǎn)（A,B,C,D）的簡(jiǎn)單交通網(wǎng)絡(luò)，如下圖所示（邊表示路段，權(quán)重為該路段的行程時(shí)間，單位：分鐘）。假設(shè)所有路段行程時(shí)間均隨交通流量線性增加。```A--(t11)-->B--(t32)-->C|/||(t12)/t22|(t43)|\||\t23|VVVD--(t14)-->B```其中，tij表示節(jié)點(diǎn)i到節(jié)點(diǎn)j的直接行程時(shí)間，且tji=tij（若ij之間有直接路段）。1.請(qǐng)解釋什么是用戶均衡（UserEquilibrium,UE）狀態(tài)。2.假設(shè)存在一條從A到C的路徑AB->BC，另一條路徑為AD->B->C。請(qǐng)說明在用戶均衡狀態(tài)下，為什么兩條路徑的總行程時(shí)間必須相等？3.若已知t11=10,t12=15,t14=20,t22=5,t23=10,t32=8,t43=12，并且A到C的用戶均衡路徑為AB->BC。請(qǐng)計(jì)算該路徑在用戶均衡狀態(tài)下的行程時(shí)間TC（AB->BC）。4.簡(jiǎn)述求解用戶均衡問題的常用方法（如Frank-Wolfe算法）的基本思想。六、交通規(guī)劃中經(jīng)常需要評(píng)估交通政策或項(xiàng)目方案的經(jīng)濟(jì)效益。假設(shè)某城市計(jì)劃修建一條新的快速路連接區(qū)域X和區(qū)域Y，項(xiàng)目投資成本為C=500萬(wàn)元。該項(xiàng)目的實(shí)施將帶來(lái)交通效益和經(jīng)濟(jì)效益。1.請(qǐng)解釋什么是交通效益成本分析（Benefit-CostAnalysis,BCA）。2.在進(jìn)行BCA時(shí)，通常需要將未來(lái)的效益和成本折算到現(xiàn)值。請(qǐng)說明為什么要進(jìn)行折算，并寫出計(jì)算未來(lái)年份t的效益BCt和成本CCt折算到現(xiàn)值的公式（設(shè)基準(zhǔn)折現(xiàn)率為i）。3.假設(shè)該項(xiàng)目建成后，每年可節(jié)省用戶的出行時(shí)間價(jià)值（即效益）為B=80萬(wàn)元，且預(yù)計(jì)項(xiàng)目壽命為20年。請(qǐng)計(jì)算該項(xiàng)目的凈現(xiàn)值（NetPresentValue,NPV），并判斷根據(jù)NPV是否應(yīng)該批準(zhǔn)該項(xiàng)目（假設(shè)i=5%）。4.除了出行時(shí)間價(jià)值，交通效益成本分析還可能考慮哪些其他類型的效益？請(qǐng)列舉至少三種，并簡(jiǎn)要說明如何嘗試量化它們。七、線性規(guī)劃是解決交通規(guī)劃中資源優(yōu)化配置和交通流分配問題的常用數(shù)學(xué)工具。請(qǐng)回答：1.請(qǐng)寫出線性規(guī)劃問題的標(biāo)準(zhǔn)形式：目標(biāo)函數(shù)、決策變量、約束條件（包括非負(fù)約束）。2.考慮一個(gè)交通信號(hào)配時(shí)優(yōu)化問題：在一個(gè)擁有兩個(gè)相位（Phase1和Phase2）的交叉口，總周期時(shí)間T固定為120秒。目標(biāo)是最大化交叉口的總通行能力C。每個(gè)相位有綠燈時(shí)間g1和g2，黃燈時(shí)間ge=4秒，全紅時(shí)間g0=2秒。假設(shè)相位1和相位2的飽和流率分別為s1=1800輛/小時(shí)和s2=1600輛/小時(shí)。請(qǐng)將該問題建立為線性規(guī)劃模型。3.在上述模型中，決策變量是什么？目標(biāo)函數(shù)是什么？約束條件有哪些？（請(qǐng)列出主要約束，如相位時(shí)長(zhǎng)關(guān)系、周期時(shí)長(zhǎng)關(guān)系、非負(fù)關(guān)系等）。4.簡(jiǎn)述單純形法的基本思想是什么。如果在求解過程中遇到無(wú)界解或不可行解，分別可能意味著什么？試卷答案一、1.路徑及其總權(quán)重：*A->B->F:15+10=25*A->C->F:20+10=30*A->D->F:25+10=35*A->B->C->F:15+20+10=45*A->D->C->F:25+20+10=55*A->B->D->F:15+25+10=502.Dijkstra算法求A到各點(diǎn)最短路徑：*A到A:路徑A,長(zhǎng)度0*A到B:路徑A->B,長(zhǎng)度15*A到C:路徑A->B->C,長(zhǎng)度15+20=35*A到D:路徑A->B->D,長(zhǎng)度15+25=40*A到F:路徑A->B->F,長(zhǎng)度15+10=25*A到E:路徑A->B->E,長(zhǎng)度15+5=203.通行能力增加后，A到F的最短路徑仍為A->B->F，總權(quán)重仍為25。理由：增加CE通行能力（從10到15）并未改變A到B或B到F路段的權(quán)重，且新路徑A->D->F的權(quán)重（35）仍大于A->B->F的權(quán)重（25），A->B->C->F的權(quán)重（45）更大。因此，最短路徑不變。二、1.總損失時(shí)間L=ge+g0=3+2=5秒。2.通行能力計(jì)算：*東向有效綠燈時(shí)間geff=T-L-g0=60-5-2=53秒。*北向有效綠燈時(shí)間geff=T-L-g0=60-5-2=53秒。*C1=s1*geff/T=1800*53/(60*60)≈27.75輛/分鐘。*C2=s2*geff/T=1600*53/(60*60)≈25.33輛/分鐘。3.g1和g2表達(dá)式：*g1=α1*(T-L-g0)=α1*53*g2=α2*(T-L-g0)=α2*53*α1+α2=1（因?yàn)門=geff+g1+g2+g0，且g0=2是固定的，總綠燈時(shí)間是周期減去損失時(shí)間）*如何確定：α1和α2需根據(jù)東、北向的交通流量需求比例（如q1和q2）來(lái)確定，例如可以按流量比例分配，即α1=q1/(q1+q2),α2=q2/(q1+q2)。4.線性規(guī)劃模型優(yōu)化思路：*決策變量：g1,g2。*目標(biāo)函數(shù)：最大化總通行能力C=C1+C2=27.75*(g1/53)+25.33*(g2/53)。等價(jià)于最大化總有效綠燈時(shí)間份額(g1+g2)/53。*約束條件：*g1+g2=T-L-g0=53（總有效綠燈時(shí)間）*0<=g1<=T-L-ge（東向綠燈上限）*0<=g2<=T-L-ge（北向綠燈上限）*g1,g2>=0（非負(fù)）三、1.fAB表達(dá)式：fAB=θAB*Pa*P/(Pa+Pb)*exp(-θAB*Pa-θBA*Pb)/(exp(-θAB*Pa)+exp(-θBA*Pb))。這里P是總?cè)丝贕，但更常用的簡(jiǎn)化形式是fAB=θAB*Pa*(G-Pa)/(G-Pb)。2.交通平衡方程組：*fAB+fBA+fAA=Pa*fBA+fAB+fBB=Pb*fAA+fBB=G-Pa-Pb3.求解OD矩陣：*fAA=Pa-fAB-fBA=1000-fAB-fBA*fBB=Pb-fBA-fAB=800-fBA-fAB*fAA+fBB=1000+800-fAB-fBA=1800-fAB-fBA*滿足總出行數(shù)：fAB+fBA+fAA+fBB=G=1500*代入：fAB+fBA+(1000-fAB-fBA)+(800-fBA-fAB)=1500*1800-2*fBA-2*fAB=1500*2*fAB+2*fBA=300*fAB+fBA=150*利用對(duì)角線比例：*fAA/(fAA+fAB+fBA)=0.6=>fAA/(fAA+150)=0.6=>fAA=0.6*(fAA+150)=>0.4*fAA=90=>fAA=225*fBB/(fBB+fAB+fBA)=0.7=>fBB/(fBB+150)=0.7=>fBB=0.7*(fBB+150)=>0.3*fBB=105=>fBB=350*已知fAB+fBA=150，且fAA=225,fBB=350?？偝鲂袛?shù)fAB+fBA+fAA+fBB=150+225+350=725≠1500。這里出現(xiàn)矛盾，說明題目給定的對(duì)角線比例和總出行數(shù)（1500）不兼容，或者出行產(chǎn)生數(shù)G=1500的設(shè)定基于其他模型（如重力模型本身包含產(chǎn)生和吸引）。若按對(duì)角線比例計(jì)算，則fAB+fBA=150，fAA=225,fBB=350。若必須滿足總出行1500，則fAB+fBA=150，但fAA+fBB=1800-150=1650，這與對(duì)角線比例計(jì)算的fAA+fBB=575矛盾。此題條件有誤，若按對(duì)角線比例，結(jié)果為fAA=225,fBB=350,fAB+fBA=150。若按總出行1500，結(jié)果為fAA=150,fBB=600,fAB+fBA=150。四、1.交通強(qiáng)度ρ=λ/μ=10/12=5/6≈0.833。因?yàn)棣?lt;1，系統(tǒng)處于穩(wěn)定運(yùn)行狀態(tài)。2.平均隊(duì)列長(zhǎng)度Lq=λ^2/(μ*(μ-λ))=10^2/(12*(12-10))=100/(12*2)=25/6≈4.17輛。3.平均等待時(shí)間Wq=Lq/λ=(25/6)/10=25/(6*10)=25/60=5/12分鐘≈2.08秒。4.類似場(chǎng)景：M/M/1模型還可用于分析：*機(jī)場(chǎng)登機(jī)口排隊(duì)系統(tǒng)*銀行柜員服務(wù)窗口排隊(duì)系統(tǒng)*網(wǎng)站服務(wù)器請(qǐng)求處理隊(duì)列*醫(yī)院掛號(hào)或繳費(fèi)窗口排隊(duì)五、1.用戶均衡（UE）狀態(tài)：在網(wǎng)絡(luò)中，所有用戶都選擇了屬于自己的最優(yōu)路徑，且不存在任何一對(duì)用戶可以通過交換路徑而同時(shí)改善各自的行程時(shí)間。換句話說，每條被使用的路徑，其行程時(shí)間都等于該路徑上所有被使用路段的加權(quán)平均行程時(shí)間（按流量加權(quán)）。2.理由：在UE狀態(tài)下，假設(shè)存在A到C的兩條路徑P1和P2，且P1的行程時(shí)間tP1<tP2。根據(jù)用戶均衡定義，所有選擇P1的用戶都無(wú)法通過換到P2而改善行程時(shí)間。但根據(jù)網(wǎng)絡(luò)理性，任何選擇P2的用戶都可以通過換到P1來(lái)縮短行程時(shí)間，這與UE狀態(tài)（所有用戶已最優(yōu)）矛盾。因此，tP1<tP2不可能在UE狀態(tài)下成立。反之，若tP1>tP2，選擇P2的用戶可以換到P1，也與UE矛盾。所以只有tP1=tP2時(shí)，兩者共存于UE狀態(tài)才成立。3.計(jì)算TC：*UE意味著A->B->C路徑的行程時(shí)間等于B->C路段的行程時(shí)間tBC。*tBC=t32=8分鐘。*所以，在用戶均衡狀態(tài)下，路徑A->B->C的行程時(shí)間TC=8分鐘。4.Frank-Wolfe算法思想：迭代地選擇當(dāng)前未被使用的路段，將其加入當(dāng)前用戶使用的路徑集中，然后重新優(yōu)化路徑選擇，直到所有路段都被使用或達(dá)到收斂?；静襟E：從空路徑集合開始，在每次迭代中，選擇一條能最大程度降低當(dāng)前總行程時(shí)間的路段加入集合，然后對(duì)選擇新路段后的網(wǎng)絡(luò)重新計(jì)算最短路徑。六、1.交通效益成本分析（BCA）：一種經(jīng)濟(jì)評(píng)估方法，通過比較交通項(xiàng)目在整個(gè)壽命周期內(nèi)產(chǎn)生的總效益（B）和所需的總成本（C），并將未來(lái)效益和成本折算到現(xiàn)值，以判斷項(xiàng)目的經(jīng)濟(jì)合理性和可行性。2.折算公式：*效益折算：BCt(現(xiàn)值)=BCt/(1+i)^t*成本折算：CCt(現(xiàn)值)=CCt/(1+i)^t*其中，BCt是第t年的效益，CCt是第t年的成本，i是折現(xiàn)率。3.計(jì)算NPV：*NPV=Σ[BCt/(1+i)^t]-Σ[CCt/(1+i)^t]=Σ[(BCt-CCt)/(1+i)^t]*NPV=[80/(1.05)^1]+[80/(1.05)^2]+...+[80/(1.05)^20]-500*NPV≈80*[(1-1/1.05^20)/(1-1/1.05)]-500*NPV≈80*[(1-1/2.6533)/(1-1/1.05)]-500*NPV≈80*[(1-0.3769)/(0.0476)]-500*NPV≈80*[0.6231/0.0476]-500*NPV≈80*13.061-500*NPV≈1044.88-500=544.88萬(wàn)元。*因?yàn)镹PV>0，根據(jù)NPV準(zhǔn)則，應(yīng)該批準(zhǔn)該項(xiàng)目。4.其他效益：除了出行時(shí)間價(jià)值，BCA還可能考慮：*安全效益（事故減少帶來(lái)的生命財(cái)產(chǎn)損失避免）*環(huán)境效益（減少排放、噪音、污染造成的損失）*經(jīng)濟(jì)發(fā)展效益（刺激就業(yè)、帶動(dòng)區(qū)域經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)、提高生產(chǎn)率等）*社會(huì)公平效益（改善弱勢(shì)群體出行條件、提升可達(dá)性等）七、1.線性規(guī)劃標(biāo)準(zhǔn)形式：*最大化（或最小化）Z=c1*x1+c2*x2+...+cn*xn*s.t.a11*x1+a12*x2+...+a1n*xn<=b1(或>=,=)*a21*x1+a22*