2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——數(shù)學(xué)在環(huán)境疾病學(xué)研究中的角色考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、1.設(shè)某疾病在人群中的發(fā)病率為0.001，現(xiàn)對(duì)人群進(jìn)行隨機(jī)抽樣，抽查1000人，試用二項(xiàng)分布近似計(jì)算抽查到3名及以上患病者的概率。2.解釋P值在假設(shè)檢驗(yàn)中的含義。假設(shè)檢驗(yàn)的原假設(shè)H?為“某污染物濃度未超過安全標(biāo)準(zhǔn)”，檢驗(yàn)的P值=0.03，請(qǐng)據(jù)此說明在顯著性水平α=0.05下，你對(duì)原假設(shè)H?持何種態(tài)度？并解釋理由。3.設(shè)某種疾病的潛伏期服從以a=5天為均值的指數(shù)分布，求該疾病潛伏期超過7天的概率。二、1.簡(jiǎn)述SIR模型的基本思想及其三個(gè)狀態(tài)（易感者S、感染者I、康復(fù)者R）的含義。說明模型中各狀態(tài)間轉(zhuǎn)換率（β、γ）的生物學(xué)意義。2.在一個(gè)簡(jiǎn)單的環(huán)境污染模型中，某種污染物在環(huán)境介質(zhì)（如水體）中滿足如下一階線性微分方程：C'(t)=-kC(t)，其中C(t)表示t時(shí)刻污染物濃度，k為降解速率常數(shù)。假設(shè)初始時(shí)刻t=0時(shí)，污染物濃度為C?，求污染物濃度隨時(shí)間變化的表達(dá)式C(t)。3.解釋什么是“閾值模型”在環(huán)境健康風(fēng)險(xiǎn)評(píng)價(jià)中的應(yīng)用。請(qǐng)舉例說明一個(gè)可能適用閾值模型的健康效應(yīng)。三、1.假設(shè)一項(xiàng)研究調(diào)查了居住在工業(yè)區(qū)（暴露組）和郊區(qū)（非暴露組）人群的呼吸系統(tǒng)疾病發(fā)病率。得到如下數(shù)據(jù)（示意性數(shù)據(jù)）：暴露組人數(shù)n?=200，患病人數(shù)x?=30；非暴露組人數(shù)n?=150，患病人數(shù)x?=15。試用卡方檢驗(yàn)（χ2檢驗(yàn)）的思路，判斷居住地與呼吸系統(tǒng)疾病發(fā)病率之間是否存在統(tǒng)計(jì)學(xué)關(guān)聯(lián)？（無(wú)需計(jì)算具體χ2值，只需寫出檢驗(yàn)的基本步驟和核心思想）。2.設(shè)某種污染物對(duì)生物體的半數(shù)致死濃度（LC??）為10mg/L。根據(jù)劑量-反應(yīng)關(guān)系中的Logit模型，當(dāng)污染物濃度為5mg/L時(shí)，估算該生物體死亡的概率（或存活概率）。（提示：可利用Logit模型的公式或其性質(zhì)進(jìn)行估算）。3.描述利用地理信息系統(tǒng)（GIS）和空間統(tǒng)計(jì)方法分析環(huán)境暴露與疾病空間分布關(guān)系的基本步驟。為什么這種方法在環(huán)境疾病學(xué)研究中具有優(yōu)勢(shì)？四、1.設(shè)某種傳染病通過空氣傳播，其傳播過程可用如下SIR模型的簡(jiǎn)化形式描述：dS/dt=-βSI/N，dI/dt=βSI/N-γI，其中N為總?cè)丝跀?shù)，β為傳染率，γ為康復(fù)率。試解釋該模型中，為何總?cè)丝跀?shù)N對(duì)易感者S的瞬時(shí)變化率dS/dt沒有直接影響？（提示：考慮S+N與N的關(guān)系）。2.在一項(xiàng)關(guān)于某化學(xué)物質(zhì)長(zhǎng)期低劑量暴露與癌癥風(fēng)險(xiǎn)的研究中，研究人員收集了暴露劑量和癌癥發(fā)病率的數(shù)據(jù)。除了線性回歸，還可能用到哪些統(tǒng)計(jì)模型來(lái)分析這兩者之間的關(guān)系？請(qǐng)簡(jiǎn)要說明其中一種模型及其適用性。3.討論數(shù)學(xué)模型（如流行病學(xué)模型或環(huán)境模型）在預(yù)測(cè)疾病爆發(fā)或環(huán)境污染事件中的價(jià)值與局限性。試卷答案一、1.在二項(xiàng)分布B(n,p)中，n=1000，p=0.001。要求P(X≥3)，直接計(jì)算復(fù)雜。利用泊松分布近似，λ=np=1。P(X≥3)≈1-P(X≤2)=1-(e^(-λ)+λe^(-λ)+λ2e^(-λ)/2!)。將λ=1代入計(jì)算。2.P值是在原假設(shè)H?為真時(shí)，觀察到當(dāng)前樣本結(jié)果或更極端結(jié)果的概率。P值=0.03<α=0.05，表明小概率事件發(fā)生了，故拒絕原假設(shè)H?。即有理由認(rèn)為該污染物濃度超過了安全標(biāo)準(zhǔn)。3.潛伏期T服從指數(shù)分布E(a)，其中a=5為均值，即參數(shù)λ=1/a=1/5。要求P(T>7)=1-P(T≤7)=1-F(7)=1-(1-e^(-λ*7))=e^(-7/5)。二、1.SIR模型是描述傳染病在人群中的傳播動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)模型。S：易感者，指可能被感染但尚未感染的人群；I：感染者，指已感染并能傳播疾病的人群；R：康復(fù)者（或移除者），指感染后康復(fù)并具有永久免疫的人群。β：代表易感者與感染者接觸并發(fā)生有效傳染的率，反映了傳染病的傳染力；γ：代表感染者康復(fù)的速率，反映了疾病的恢復(fù)速度。2.解一階線性微分方程C'(t)=-kC(t)，分離變量法：dC/C=-kdt。兩邊積分得ln|C|=-kt+C?。指數(shù)化得C=C?e^(-kt)，其中C?是積分常數(shù)，由初始條件t=0時(shí)C=C?確定。3.閾值模型認(rèn)為，當(dāng)環(huán)境因子（如污染物濃度）低于某個(gè)特定的安全閾值時(shí)，不會(huì)對(duì)健康產(chǎn)生有害影響；而當(dāng)濃度超過該閾值時(shí)，則可能產(chǎn)生劑量依賴性的健康效應(yīng)。例如，某些化學(xué)物質(zhì)可能存在致癌閾值，低于該閾值長(zhǎng)期暴露被認(rèn)為風(fēng)險(xiǎn)很低。三、1.卡方檢驗(yàn)用于判斷兩個(gè)分類變量之間是否存在關(guān)聯(lián)。步驟：①將數(shù)據(jù)整理成2x2列聯(lián)表；②計(jì)算每個(gè)單元格的期望頻數(shù)（E??=(R?C?)/N，其中R?是第i行的總頻數(shù)，C?是第j列的總頻數(shù)，N是總樣本量）；③計(jì)算每個(gè)單元格的(觀察頻數(shù)O??-期望頻數(shù)E??)2/E??；④將所有單元格的計(jì)算結(jié)果相加，得到χ2統(tǒng)計(jì)量的觀測(cè)值；⑤根據(jù)自由度（df=(行數(shù)-1)×(列數(shù)-1)=1）和顯著性水平α，查找χ2分布表得到臨界值；⑥比較觀測(cè)χ2值與臨界值，若觀測(cè)值大于臨界值，則拒絕原假設(shè)（即認(rèn)為兩個(gè)變量關(guān)聯(lián)顯著）。2.Logit模型常用于描述劑量-反應(yīng)關(guān)系，其形式為p=1/(1+e^(-(α+βd)))，其中p為效應(yīng)（如死亡概率）的概率，d為劑量，α和β為模型參數(shù)。LC??表示使50%個(gè)體死亡所需的劑量，此時(shí)p=0.5。代入p=0.5得0.5=1/(1+e^(-(α+βLC??)))，化簡(jiǎn)得α+βLC??=0。對(duì)于濃度d=5mg/L，死亡概率p=1/(1+e^(-(α+β*10)))。結(jié)合α+β*10=0，可知e^(-(α+β*10))=e?=1。因此，p=1/(1+1)=0.5。即死亡概率為0.5（或50%）。3.基本步驟：①獲取研究區(qū)域的空間數(shù)據(jù)（如暴露濃度柵格數(shù)據(jù)、病例點(diǎn)數(shù)據(jù)）；②將暴露數(shù)據(jù)與病例數(shù)據(jù)進(jìn)行空間疊加分析；③運(yùn)用空間統(tǒng)計(jì)方法（如空間自相關(guān)Moran'sI、空間回歸分析、熱點(diǎn)分析Getis-OrdGi*）來(lái)檢驗(yàn)暴露與疾病之間是否存在空間模式或空間依賴性；④解釋分析結(jié)果，評(píng)估空間暴露對(duì)疾病分布的影響。優(yōu)勢(shì)：①能直觀展示暴露因素和疾病病例在空間上的分布格局；②可以識(shí)別高風(fēng)險(xiǎn)區(qū)域（熱點(diǎn)）；③有助于發(fā)現(xiàn)局部化的環(huán)境與健康關(guān)聯(lián)；④結(jié)合地理信息有助于理解暴露途徑和傳播路徑。四、1.總?cè)丝跀?shù)N=S+I+R。易感者S的瞬時(shí)變化率dS/dt=-βSI/N?？梢詫替換為(S+I+R)，也可以將其視為一個(gè)比例（1-I/N）。當(dāng)N很大時(shí)，I/N可以看作感染者占人群的比例，dS/dt=-βS(1-I/N)I。因此，dS/dt與總?cè)丝贜本身無(wú)關(guān)，它主要取決于易感者S的數(shù)量、感染者I的數(shù)量以及傳染率β。這個(gè)模型實(shí)際上是標(biāo)準(zhǔn)的SIR模型，只是將總?cè)丝贜顯式地寫在了分母中，其含義不變。2.除了線性回歸，可能用到的模型有：①對(duì)數(shù)線性模型：適用于劑量反應(yīng)關(guān)系呈現(xiàn)對(duì)數(shù)趨勢(shì)的情況；②多項(xiàng)式回歸：如果劑量與發(fā)病率的關(guān)系呈現(xiàn)曲線形態(tài)；③邏輯回歸：當(dāng)因變量是二元變量（如患病/未患?。r(shí)，分析自變量（暴露劑量）對(duì)因變量的影響；④生存分析模型：用于分析暴露劑量與生存時(shí)間（如疾病潛伏期、生存期）之間的關(guān)系。3.價(jià)值：①預(yù)測(cè)：模型可以基于當(dāng)前的暴露水平和傳播/擴(kuò)散參數(shù)，預(yù)測(cè)未來(lái)一段時(shí)間內(nèi)疾病發(fā)病人數(shù)或污染物濃度變化趨勢(shì)，為防控和應(yīng)急決策提供依據(jù)；②識(shí)別關(guān)鍵因素：通過模型參數(shù)分析，可以識(shí)別影響疾病傳播或污染擴(kuò)散的關(guān)鍵因素及其作用機(jī)制；③評(píng)估干預(yù)效果：可以模擬不同干預(yù)措施（如隔離、減排）的效果，為制定優(yōu)化策略提供量化支持；④理解復(fù)雜系統(tǒng)：模型有助于簡(jiǎn)化復(fù)雜的環(huán)境-健康