2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫——空間幾何在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中的應(yīng)用考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題1.已知向量a=(1,2,-1)，b=(2,-3,1)，則向量a×b的模長等于：A.3B.4C.5D.√152.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(1,2,3)關(guān)于yz平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是：A.(1,2,-3)B.(-1,2,3)C.(1,-2,3)D.(-1,-2,-3)3.過點(diǎn)A(1,2,3)且平行于向量n=(1,-1,2)的直線方程為：A.x=1+t,y=2-t,z=3+2tB.x=1+t,y=2+t,z=3-2tC.x=1-t,y=2-t,z=3+2tD.x=1-t,y=2+t,z=3-2t4.設(shè)平面π的方程為2x-y+3z-6=0，則點(diǎn)P(1,2,1)到平面π的距離d等于：A.√14/7B.2√14/7C.3√14/7D.4√14/75.在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，以下哪一項(xiàng)不屬于空間幾何變換？A.平移B.旋轉(zhuǎn)C.縮放D.顏色映射二、填空題1.向量a=(1,1,1)與b=(1,0,-1)的夾角θ的余弦值cosθ=________。2.過點(diǎn)A(1,0,0)和B(0,1,0)且垂直于xy平面的平面方程為________。3.在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，___________是指通過數(shù)學(xué)模型描述三維物體的形狀。4.光照模型中，___________反映了物體表面的反光特性。三、計(jì)算題1.已知點(diǎn)A(1,2,3)，B(3,2,1)，C(2,1,3)，求向量AB×AC的坐標(biāo)，并判斷向量AB和AC是否共線。2.求過點(diǎn)P(1,1,1)，且垂直于平面π1:x+y+z=0和平面π2:x-y+z=0的平面方程。3.已知一個(gè)三角形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，求該三角形所在平面的方程，并計(jì)算點(diǎn)P(1,1,1)到該平面的距離。四、證明題證明：空間中三個(gè)不共線的向量a，b，c的混合積|a?(b×c)|表示以a，b，c為棱的平行六面體的體積。五、綜合應(yīng)用題在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，常用的三維變換包括平移、旋轉(zhuǎn)和縮放。已知一個(gè)物體經(jīng)過先繞z軸旋轉(zhuǎn)90度，再沿x軸平移5個(gè)單位，最后沿y軸縮放2倍的變換。試求該物體上一點(diǎn)P(1,2,3)變換后的坐標(biāo)。試卷答案一、選擇題1.D2.B3.A4.C5.D二、填空題1.1/√32.z=13.三維建模4.材質(zhì)三、計(jì)算題1.解析思路：計(jì)算向量AB=(2,0,-2)和AC=(1,-1,2)，然后計(jì)算它們的向量積AB×AC。如果向量積為零向量，則AB和AC共線，否則不共線。答案：AB×AC=(0,-6,-1)，向量AB和AC不共線。2.解析思路：平面法向量n垂直于平面π1和π2的法向量n1=(1,1,1)和n2=(1,-1,1)。利用向量積n1×n2求出n，然后利用點(diǎn)法式方程求出平面方程。答案：x-y+z=13.解析思路：利用點(diǎn)A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)的坐標(biāo)求出平面法向量n=(0,0,1)，然后利用點(diǎn)法式方程求出平面方程。利用點(diǎn)到平面距離公式計(jì)算點(diǎn)P到該平面的距離。答案：z=0，距離為1四、證明題解析思路：利用向量積的幾何意義，|b×c|表示以b，c為鄰邊的平行四邊形的面積。|a?(b×c)|表示該平行四邊形在a所在直線上的投影的面積，即為以a，b，c為棱的平行六面體的體積。五、綜合應(yīng)用題解析思路：分別求出繞z軸旋轉(zhuǎn)90度的變換矩陣Rz(90°)，沿x軸平移5個(gè)單位的變換矩陣Tx(5)，以及沿y軸縮放2倍的變換矩陣