2/2解題技巧專(zhuān)題：利用勾股定理解決面積問(wèn)題(5類(lèi)熱點(diǎn)題型講練)目錄TOC\o"1-3"\h\u【考點(diǎn)一利用等積法求三角形中某邊上的高】 1【考點(diǎn)二利用等積法證明勾股定理】 5【考點(diǎn)三結(jié)合乘法公式巧求面積或長(zhǎng)度】 11【考點(diǎn)四利用割補(bǔ)法求不規(guī)則圖形的面積】 15【考點(diǎn)五“勾股樹(shù)”及其拓展類(lèi)型求面積】 18【考點(diǎn)一利用等積法求三角形中某邊上的高】例題：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，則點(diǎn)C到AB的距離是________．【變式訓(xùn)練】1．一個(gè)直角三角形的兩條直角邊邊長(zhǎng)分別為6和8，則斜邊上的高為（

）A．4.5 B．4.6 C．4.8 D．52．如圖，在網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1．點(diǎn)A、B，C都在格點(diǎn)上，若BD是△ABC的高，則BD的長(zhǎng)為_(kāi)_________．3．如圖，在中，，，是的邊上的高，且，，，求的邊上的高．4．如圖，在中，，，在中，是邊上的高，，．(1)求的長(zhǎng)．(2)求斜邊邊上的高．5．我們新定義一種三角形：若一個(gè)三角形中存在兩邊的平方差等于第三邊上高的平方，則稱(chēng)這個(gè)三角形為勾股高三角形，這兩邊交點(diǎn)為勾股頂點(diǎn)．（1）特例感知如圖1，已知△ABC為勾股高三角形，其中A為勾股頂點(diǎn)，AD是BC邊上的高．若BD＝3，CD＝1，試求線(xiàn)段AD的長(zhǎng)度．（2）深入探究如圖2，已知△ABC為勾股高三角形，其中A為勾股頂點(diǎn)且AC＞AB，AD是BC邊上的高．試探究線(xiàn)段CD與AB的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．【考點(diǎn)二利用等積法證明勾股定理】例題：【探究發(fā)現(xiàn)】我國(guó)三國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽利用四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖1所示圖形，其中四邊形和四邊形都是正方形，巧妙地用面積法得出了直角三角形三邊長(zhǎng)a，b，c之間的一個(gè)重要結(jié)論：.（1）請(qǐng)你將數(shù)學(xué)家趙爽的說(shuō)理過(guò)程補(bǔ)充完整：已知：中，，，，.求證：.證明：由圖可知，，______，正方形邊長(zhǎng)為_(kāi)_____，，即．【深入思考】如圖2，在中，，，，，以為直角邊在的右側(cè)作等腰直角，其中，，過(guò)點(diǎn)D作，垂足為點(diǎn)E．（2）求證：，；（3）請(qǐng)你用兩種不同的方法表示梯形的面積，并證明：；【實(shí)際應(yīng)用】（4）將圖1中的四個(gè)直角三角形中較短的直角邊分別向外延長(zhǎng)相同的長(zhǎng)度，得到圖3所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車(chē)”，若，，“數(shù)學(xué)風(fēng)車(chē)”外圍輪廓（圖中實(shí)線(xiàn)部分）的總長(zhǎng)度為108，求這個(gè)風(fēng)車(chē)圖案的面積．【變式訓(xùn)練】1．?dāng)?shù)與形是數(shù)學(xué)中的兩個(gè)最古老，也是最基本的研究對(duì)象．?dāng)?shù)與形也是有聯(lián)系的，這種聯(lián)系稱(chēng)為“數(shù)形結(jié)合”．利用“數(shù)形結(jié)合”思想可以直觀地幫助我們解決一些數(shù)學(xué)驗(yàn)證或運(yùn)算．(1)我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一，該定理闡明了直角三角形的三邊關(guān)系．請(qǐng)你利用如圖對(duì)勾股定理（即下列命題）進(jìn)行驗(yàn)證，從中體會(huì)“數(shù)形結(jié)合”的思想：已知：如圖，在和中，，（點(diǎn)，，在一條直線(xiàn)上），，，．證明：；(2)請(qǐng)利用“數(shù)形結(jié)合”思想，畫(huà)圖并推算出的結(jié)果．2．勾股定理在數(shù)學(xué)和許多其他領(lǐng)域中都有廣泛的應(yīng)用，勾股定理是一個(gè)非常重要的數(shù)學(xué)定理，它在幾何學(xué)、三角學(xué)、物理學(xué)、工程學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域都有重要的應(yīng)用．關(guān)于勾股定理的證明方法到現(xiàn)在為止有500多種，勾股定理常見(jiàn)的一些證明方法是：幾何證明、代數(shù)證明、向量證明、復(fù)數(shù)證明、面積證明等．當(dāng)兩個(gè)全等的直角三角形按圖1或圖2擺放時(shí)，都可以用“面積法”來(lái)證明，以下是利用圖1證明勾股定理的完整過(guò)程：將兩個(gè)全等的直角三角形按圖1所示擺放，其中，求證：．

證明：連接，過(guò)點(diǎn)D作交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，則．又∵∴請(qǐng)參照上述證明方法，利用圖2完成下面的證明．將兩個(gè)全等的直角三角形按圖2所示擺放，其中，求證：．3．在我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱(chēng)之為“趙爽弦圖”，流傳至今．(1)勾股定理的證明，人們已經(jīng)找到了400多種方法，請(qǐng)從圖1，圖2，圖3的證明方法中任選一種來(lái)證明該定理．(2)如圖4所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個(gè)月形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為，，直角三角形面積為，請(qǐng)判斷，，的關(guān)系并證明．【考點(diǎn)三結(jié)合乘法公式巧求面積或長(zhǎng)度】例題：已知在中，所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，則的面積為（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，設(shè)直角三角形較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為，較短直角邊長(zhǎng)為．若大正方形的面積為16，小正方形的面積是3，則是（

）A．19 B．13 C．42 D．292．漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理如圖，創(chuàng)制了一幅如圖①所示的“弦圖”，后人稱(chēng)之為“趙爽弦圖”，圖②由弦圖變化得到，它是由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形、正方形、正方形的面積分別為、、，若，則正方形的邊長(zhǎng)為．3．我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一，早在三千多年前，周朝數(shù)學(xué)家商高就提出了“勾三、股四、弦五”這一結(jié)論．勾股定理與圖形的面積存在密切的關(guān)系，如圖是由兩個(gè)直角三角形和三個(gè)正方形組成的圖形，若的面積為6，，，則陰影部分的周長(zhǎng)為．4．通過(guò)本學(xué)期的學(xué)習(xí)，我們已初步認(rèn)識(shí)了勾股定理，它最早是由我國(guó)周朝時(shí)期的商高提出的，后又由東漢數(shù)學(xué)家趙爽通過(guò)四個(gè)全等的直角三角形構(gòu)造的正方形證明所得，我們稱(chēng)之為“趙爽弦圖”．如圖，，，．(1)請(qǐng)根據(jù)趙爽弦圖，用面積法證明：．(2)若正方形面積為49，正方形的面積為25，求的值．【考點(diǎn)四利用割補(bǔ)法求不規(guī)則圖形的面積】例題：如圖，是一塊草坪，已知AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求這塊草坪的面積．【變式訓(xùn)練】1．我市某中學(xué)有一塊四邊形的空地，如圖所示，為了綠化環(huán)境，學(xué)校計(jì)劃在空地上種植草皮，經(jīng)測(cè)量，，，，．(1)求出空地的面積；(2)若每種植1平方米草皮需要350元，問(wèn)總共需投入多少元？2．如圖，在5×5的方格紙中，每一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1（1）線(xiàn)段BC＝，線(xiàn)段CD＝；（2）求四邊形ABCD的面積．（可以根據(jù)需要添加字母）3．如圖，方格紙中小正方形的邊長(zhǎng)為1，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形格點(diǎn)上，（1）邊AC、AB、BC的長(zhǎng)；（2）求△ABC的面積；（3）點(diǎn)C到AB邊的距離．【考點(diǎn)五“勾股樹(shù)”及其拓展類(lèi)型求面積】例題：如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面積分別是6、10、4、6，則最大正方形E的面積是（

）A．20 B．26 C．30 D．52【變式訓(xùn)練】1．如圖，，正方形和正方形的面積分別是289和225，則以為直徑的半圓的面積是（）A． B． C． D．2．如圖，三個(gè)正方形中的兩個(gè)的面積，，則另一個(gè)的正方形的面積為_(kāi)_________．3．如圖，以的三邊向外作正方形，其面積分別為且，則__________；以的三邊向外作等邊三角形，其面積分別為，則三者之間的關(guān)系為_(kāi)_________．4．已知：在中，，、、所對(duì)的邊分別記作a、b、c．如圖1，分別以的三條邊為邊長(zhǎng)向外作正方形，其正方形的面積由小到大分別記作、、，則有，(1)如圖2，分別以的三條邊為直徑向外作半圓，其半圓的面積由小到大分、、，請(qǐng)問(wèn)與有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)分別以直角三角形的三條邊為直徑作半圓，如圖3所示，其面積由小到大分別記作S1、S2Sa，根據(jù)（2）中的探索，直接回答與有怎樣的數(shù)量關(guān)系；(3)若中，，，求出圖4中陰影部分的面積．5．勾股定理是人類(lèi)最偉大的十個(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國(guó)家稱(chēng)之為畢達(dá)哥拉斯定理．在我國(guó)古書(shū)《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱(chēng)之為“趙爽弦圖”，流傳至今．(1)①如圖2，3，4，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，面積分別為，，，利用勾股定理，判斷這3個(gè)圖形中面積關(guān)系滿(mǎn)足的有________個(gè)．②如圖5，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個(gè)月牙形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為，，直角三