2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專業(yè)題庫——數(shù)據(jù)壓縮算法的數(shù)學(xué)原理考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每題2分，共20分）1.下列關(guān)于無損壓縮的描述，正確的是（）。A.無損壓縮會丟失數(shù)據(jù)信息，但壓縮率更高B.無損壓縮只能用于文本數(shù)據(jù)C.無損壓縮后的數(shù)據(jù)可以完全恢復(fù)原始數(shù)據(jù)D.無損壓縮算法通常比有損壓縮算法更復(fù)雜2.哈夫曼編碼是一種（）壓縮算法。A.變長編碼B.定長編碼C.預(yù)測編碼D.滑動窗口編碼3.Lempel-Ziv（LZ）壓縮算法的核心思想是（）。A.利用哈夫曼樹進行編碼B.建立字典并利用指針指向字典中的字符串C.對數(shù)據(jù)進行差分編碼D.利用傅里葉變換進行頻域編碼4.下面哪種編碼方法屬于行程長度編碼（RLE）的變種？（）A.算術(shù)編碼B.Huffman編碼C.算法D.游程編碼5.在數(shù)據(jù)壓縮中，熵是衡量數(shù)據(jù)（）的指標。A.復(fù)雜度B.相關(guān)性C.離散程度D.可壓縮性6.算術(shù)編碼的壓縮效率通常（）哈夫曼編碼。A.高于B.低于C.等于D.不確定7.下面哪種壓縮算法適用于圖像數(shù)據(jù)的壓縮？（）A.哈夫曼編碼B.Lempel-Ziv編碼C.矢量量化D.離散余弦變換8.哈夫曼編碼構(gòu)建過程中，每次選擇出現(xiàn)頻率最小的兩個節(jié)點進行合并，這一過程體現(xiàn)了（）原則。A.貪心B.動態(tài)規(guī)劃C.分治D.回溯9.下面哪種數(shù)據(jù)壓縮方法屬于有損壓縮？（）A.哈夫曼編碼B.Lempel-Ziv編碼C.JPEG圖像壓縮D.MP3音頻壓縮10.在數(shù)據(jù)壓縮中，前向預(yù)測和后向預(yù)測分別指的是（）。A.根據(jù)當前符號預(yù)測下一個符號，根據(jù)后續(xù)符號預(yù)測當前符號B.根據(jù)當前符號預(yù)測下一個符號，根據(jù)當前符號預(yù)測下一個符號C.根據(jù)后續(xù)符號預(yù)測當前符號，根據(jù)當前符號預(yù)測下一個符號D.根據(jù)當前符號預(yù)測當前符號，根據(jù)后續(xù)符號預(yù)測當前符號二、填空題（每題3分，共15分）1.數(shù)據(jù)壓縮算法根據(jù)壓縮過程中是否丟失信息，可以分為________壓縮和________壓縮。2.哈夫曼編碼的核心是構(gòu)建一棵________，樹的葉子節(jié)點代表字符，非葉子節(jié)點代表編碼符號。3.Lempel-Ziv編碼算法通過建立一個________來記錄已出現(xiàn)的字符串，并利用指針指向字典中的字符串進行編碼。4.熵編碼的基本思想是將消息空間映射到一組________的碼字，使得碼字的平均長度接近消息的熵。5.在算術(shù)編碼中，每個符號被賦予一個________，表示其在整個消息中出現(xiàn)的概率范圍。三、簡答題（每題5分，共25分）1.簡述無損壓縮的基本原理和主要方法。2.解釋哈夫曼編碼算法的基本步驟，并說明其優(yōu)缺點。3.描述Lempel-Ziv編碼算法的工作過程，并分析其與哈夫曼編碼的主要區(qū)別。4.什么是行程長度編碼（RLE）？請簡述其工作原理和適用場景。5.熵編碼在數(shù)據(jù)壓縮中起到什么作用？常見的熵編碼方法有哪些？四、計算題（每題15分，共30分）1.給定一組符號及其出現(xiàn)頻率如下：A:0.4,B:0.3,C:0.2,D:0.1。請計算使用哈夫曼編碼對這組符號進行編碼后的平均碼長，并繪制哈夫曼樹。2.假設(shè)有一段二進制數(shù)據(jù)為"1100011010"，使用Lempel-Ziv編碼對其進行壓縮，請列出編碼過程中的字典構(gòu)建和編碼結(jié)果。五、論述題（10分）論述數(shù)據(jù)壓縮算法在實際應(yīng)用中的重要性，并舉例說明不同類型的壓縮算法在圖像、音頻和視頻數(shù)據(jù)壓縮中的應(yīng)用。試卷答案一、選擇題1.C2.A3.B4.D5.D6.A7.C8.A9.C10.A二、填空題1.無損，有損2.哈夫曼樹3.字典4.最小平均長度5.概率區(qū)間三、簡答題1.無損壓縮的基本原理是通過消除數(shù)據(jù)中的冗余來減小數(shù)據(jù)的存儲空間或傳輸帶寬，同時保證解壓縮后的數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)完全一致。主要方法包括哈夫曼編碼、Lempel-Ziv編碼、行程長度編碼等。2.哈夫曼編碼的基本步驟包括：統(tǒng)計每個符號的出現(xiàn)頻率；根據(jù)頻率構(gòu)建一棵哈夫曼樹；根據(jù)哈夫曼樹為每個符號分配編碼。優(yōu)點是壓縮效率高，實現(xiàn)簡單；缺點是對于符號出現(xiàn)頻率分布不均勻的數(shù)據(jù)，壓縮效果可能不佳。3.Lempel-Ziv編碼的工作過程包括：初始化一個空字典；逐個讀取輸入符號；如果當前符號或符號序列在字典中，則繼續(xù)讀?。蝗绻辉谧值渲?，則將當前符號序列添加到字典中，并用指向字典中該序列的指針進行編碼。與哈夫曼編碼的主要區(qū)別在于，哈夫曼編碼需要預(yù)先統(tǒng)計符號頻率，而Lempel-Ziv編碼是動態(tài)構(gòu)建字典的。4.行程長度編碼（RLE）是一種簡單的無損壓縮算法，其基本原理是將連續(xù)的相同符號替換為該符號和其連續(xù)出現(xiàn)次數(shù)的表示。適用場景包括圖像中存在大面積相同顏色或音頻中存在長串靜音等情況。5.熵編碼在數(shù)據(jù)壓縮中起到將符號映射到接近其信息熵的碼字，從而實現(xiàn)最高壓縮效率的作用。常見的熵編碼方法包括哈夫曼編碼、算術(shù)編碼等。四、計算題1.哈夫曼樹構(gòu)建：-頻率：A(0.4),B(0.3),C(0.2),D(0.1)-合并D和C：(0.1+0.2)=0.3-合并B和(0.1+0.2)：A(0.4),(B(0.3)+(D(0.1)+C(0.2)))=0.6-合并(0.3)和(0.3)：A(0.4),(B(0.3)+(D(0.1)+C(0.2)+(0.3+0.3)))=0.9-合并(0.6)和(0.9)：A(0.4),(B(0.3)+(D(0.1)+C(0.2)+(0.3+0.3)+(0.6+0.9)))=1.3-最終哈夫曼樹：```1.3/\0.90.4/\\0.60.3A/\0.30.3/\DC```-編碼：A:0,B:10,C:110,D:111-平均碼長：0.4*1+0.3*2+0.2*3+0.1*3=0.4+0.6+0.6+0.3=2.02.Lempel-Ziv編碼：-初始化：字典={},編碼結(jié)果=""-讀取'1'：不在字典中，字典={'':'0','1':'1'},編碼結(jié)果="0"-讀取'1'：在字典中，繼續(xù)讀取-讀取'0'：不在字典中，字典={'':'0','1':'1','10':'2'},編碼結(jié)果="02"-讀取'0'：在字典中，繼續(xù)讀取-讀取'1'：不在字典中，字典={'':'0','1':'1','10':'2','01':'3'},編碼結(jié)果="023"-讀取'1'：在字典中，繼續(xù)讀取-讀取'0'：不在字典中，字典={'':'0','1':'1','10':'2','01':'3','10':'4'},編碼結(jié)果="0234"-讀取'1'：在字典中，繼續(xù)讀取-讀取'0'：不在字典中，字典={'':'0','1':'1','10':'2','01':'3','10':'4','01':'5'},編碼結(jié)果="02345"-讀取'0'：在字典中，繼續(xù)讀取-讀取''：不在字典中，字典={'':'0','1':'1','10':'2','01':'3','10':'4','01':'5','0':'6'},編碼結(jié)果="023456"五、論述題數(shù)據(jù)壓縮算法在實際應(yīng)用中具有重要性，它可以有效減少數(shù)據(jù)存儲空間和傳輸帶寬，提高數(shù)據(jù)傳輸效率，降低存儲成本。在圖像數(shù)據(jù)壓縮中，JPE