2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——數(shù)學(xué)在兒科疾病研究中的幫助考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、已知一項(xiàng)研究調(diào)查了某種兒科常見(jiàn)呼吸道感染病在年齡分布上的情況，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：100名患病兒童中，0-1歲有30名，2-3歲有40名，4-6歲有20名，7-10歲有10名。1.計(jì)算該呼吸道感染病在0-3歲組和7-10歲組兒童的患病率（患病兒童數(shù)/該年齡段總兒童數(shù)，假設(shè)各年齡段兒童總數(shù)相等，均為50），并指出哪個(gè)年齡組患病率更高。2.若用頻率分布直方圖表示上述數(shù)據(jù)，請(qǐng)簡(jiǎn)述繪制該直方圖時(shí)需要注意的步驟和關(guān)鍵點(diǎn)。3.討論利用樣本數(shù)據(jù)（100名兒童）的分布特征來(lái)推斷該呼吸道感染病在更大兒童群體中年齡分布的合理性及潛在局限性。二、某醫(yī)生研究一種新藥A治療兒童急性淋巴細(xì)胞白血?。ˋLL）的效果。他選取了50名確診的ALL兒童，隨機(jī)將他們分為兩組，每組25人。一組接受標(biāo)準(zhǔn)療法（對(duì)照組），另一組在標(biāo)準(zhǔn)療法基礎(chǔ)上加用新藥A（實(shí)驗(yàn)組）。經(jīng)過(guò)一個(gè)療程治療后，記錄兩組兒童的完全緩解率（治療后達(dá)到完全緩解標(biāo)準(zhǔn)的兒童比例）。假設(shè)對(duì)照組有15名兒童完全緩解，實(shí)驗(yàn)組有20名兒童完全緩解。1.計(jì)算兩組的完全緩解率。2.提出原假設(shè)H?和備擇假設(shè)H?，用于檢驗(yàn)新藥A是否顯著提高了完全緩解率。3.若采用顯著性水平α=0.05，請(qǐng)解釋假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想，并說(shuō)明如果計(jì)算得到的P值小于0.05，你會(huì)做出怎樣的統(tǒng)計(jì)決策，并說(shuō)明其意義。三、假設(shè)某兒科病房?jī)?nèi)有N張病床。一名患有傳染性疾病的兒童入院后，為了防止疾病傳播，需要隔離治療。該病房每天還會(huì)新入院若干名兒童（數(shù)量隨機(jī)波動(dòng)，記作X，X的分布未知但期望值為μ）。為了評(píng)估病房的隔離能力，研究者需要建立數(shù)學(xué)模型來(lái)分析病房?jī)?nèi)因該傳染病而可能同時(shí)需要隔離的兒童數(shù)量。1.當(dāng)只有一名傳染性疾病兒童入院時(shí)，試用排隊(duì)論中的M/M/c模型（假設(shè)新入院兒童到達(dá)服從泊松過(guò)程，服務(wù)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，有c個(gè)隔離病房可用）的思想，描述該模型如何刻畫病房?jī)?nèi)隔離兒童數(shù)量的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程。2.在M/M/c模型中，若c=3（即有3間隔離病房），系統(tǒng)的平均排隊(duì)長(zhǎng)（即平均等待隔離的兒童數(shù)）Lq與哪個(gè)主要參數(shù)有關(guān)？請(qǐng)簡(jiǎn)述其關(guān)系。3.若要定量評(píng)估該病房的隔離效率，除了考慮隔離病房數(shù)量c，你認(rèn)為還可以引入哪些數(shù)學(xué)指標(biāo)或方法？請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明。四、一項(xiàng)研究旨在探究?jī)和逝峙c患1型糖尿病風(fēng)險(xiǎn)之間的關(guān)系。研究人員收集了1000名兒童的年齡、體重指數(shù)（BMI）和是否患有1型糖尿病的數(shù)據(jù)。他們發(fā)現(xiàn)，BMI較高的兒童患1型糖尿病的比例也相對(duì)較高。為了量化這種關(guān)系，研究人員進(jìn)行了數(shù)據(jù)分析。1.在此研究中，自變量和因變量分別是什么？請(qǐng)解釋理由。2.如果研究人員希望建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型來(lái)預(yù)測(cè)兒童患1型糖尿病的概率（取值在0到1之間），你會(huì)建議使用哪種類型的回歸模型？請(qǐng)說(shuō)明選擇該模型的理由。3.建立回歸模型后，得到的模型系數(shù)（如斜率、截距）具有怎樣的統(tǒng)計(jì)學(xué)解釋？如果其中一個(gè)系數(shù)顯著不為零，這意味著什么？五、考慮一個(gè)簡(jiǎn)化的兒科傳染病傳播模型。假設(shè)一個(gè)班級(jí)有S=200名兒童，其中一名兒童感染了流感病毒。病毒傳播遵循簡(jiǎn)單的SIR模型（易感者S、感染者I、康復(fù)者R），但沒(méi)有康復(fù)者再感染易感者的情況。病毒傳播的日感染率（易感者被感染的概率）β=0.1，日康復(fù)率γ=0.05。1.寫出描述該班級(jí)流感傳播的微分方程組。2.計(jì)算該模型的平衡點(diǎn)，并解釋每個(gè)平衡點(diǎn)的意義。3.通過(guò)定性分析（無(wú)需求解微分方程），說(shuō)明該系統(tǒng)的長(zhǎng)期行為趨勢(shì)。如果希望減緩病毒在班級(jí)內(nèi)的傳播速度，從模型的角度可以提出哪些控制策略的思路？試卷答案一、1.假設(shè)各年齡段兒童總數(shù)均為50。0-3歲組患病率=30/50=0.6(或60%)。7-10歲組患病率=10/50=0.2(或20%)。0-3歲組患病率更高。2.繪制頻率分布直方圖的步驟和關(guān)鍵點(diǎn)：a.確定數(shù)據(jù)范圍和分組數(shù)（通常根據(jù)數(shù)據(jù)量和Sturges公式確定）。b.計(jì)算各組的組距（數(shù)據(jù)范圍/分組數(shù)）。c.劃分各組區(qū)間（分組下限和上限）。d.計(jì)算每組的頻數(shù)（落入該區(qū)間的數(shù)據(jù)點(diǎn)個(gè)數(shù)）或頻率（頻數(shù)/總數(shù)據(jù)數(shù)）。e.在直角坐標(biāo)系中，橫軸代表年齡組（或年齡區(qū)間），縱軸代表頻數(shù)或頻率。f.為每組的頻數(shù)或頻率繪制矩形條，條寬為組距，條高代表頻數(shù)或頻率。各矩形條之間通常不留空隙。3.合理性：樣本數(shù)據(jù)能提供關(guān)于總體分布的近似信息。通過(guò)計(jì)算樣本的頻率分布，可以估計(jì)總體（所有兒童）的年齡分布趨勢(shì)。局限性：樣本量有限（100名兒童），可能無(wú)法完全代表所有兒童的分布；抽樣方法未知，可能存在抽樣偏差；數(shù)據(jù)僅反映某一時(shí)間點(diǎn)的狀態(tài)，可能隨時(shí)間變化；樣本數(shù)據(jù)是離散的年齡分組，可能掩蓋了組內(nèi)兒童的細(xì)微差異。二、1.對(duì)照組完全緩解率=15/25=0.6(或60%)。實(shí)驗(yàn)組完全緩解率=20/25=0.8(或80%)。2.H?：新藥A對(duì)完全緩解率沒(méi)有影響（即兩組完全緩解率相等，p?=p?）。H?：新藥A顯著提高了完全緩解率（即實(shí)驗(yàn)組完全緩解率高于對(duì)照組，p?>p?）。（如果是檢驗(yàn)是否提高，用單尾檢驗(yàn)；如果是檢驗(yàn)是否不同，用雙尾檢驗(yàn)，此處根據(jù)描述用單尾檢驗(yàn)更合理）。3.假設(shè)檢驗(yàn)思想：通過(guò)樣本信息判斷原假設(shè)H?是否成立。如果P值很?。ㄐ∮陲@著性水平α），說(shuō)明在H?為真的情況下，觀察到當(dāng)前樣本結(jié)果（或更極端結(jié)果）的概率很小，因此有理由拒絕H?。如果P值小于0.05，意味著在兩組緩解率無(wú)差異的假設(shè)下，僅憑隨機(jī)因素就得到如此大的緩解率差異（實(shí)驗(yàn)組高于對(duì)照組）的概率小于5%。因此，會(huì)拒絕原假設(shè)H?，接受備擇假設(shè)H?，認(rèn)為新藥A顯著提高了完全緩解率。其意義是，有統(tǒng)計(jì)證據(jù)支持新藥A在治療兒童ALL方面優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)療法。三、1.在M/M/c模型中，假設(shè)新入院兒童（需隔離的兒童）的到達(dá)過(guò)程是泊松過(guò)程，平均到達(dá)率（λ），服務(wù)時(shí)間（治療或等待隔離時(shí)間）服從負(fù)指數(shù)分布，平均服務(wù)率（μ），且有c個(gè)隔離病房（服務(wù)臺(tái)）。模型描述了病房?jī)?nèi)需隔離兒童數(shù)量的動(dòng)態(tài)變化：當(dāng)需要隔離的兒童數(shù)n≤c時(shí)，新到達(dá)的兒童可以直接進(jìn)入空閑的隔離病房接受“服務(wù)”；當(dāng)需要隔離的兒童數(shù)n>c時(shí)，新到達(dá)的兒童需要排隊(duì)等待直到有空閑病房。系統(tǒng)中的平均等待隔離兒童數(shù)（Lq）與到達(dá)率λ、服務(wù)率μ和系統(tǒng)容量（包括排隊(duì)和服務(wù)的總?cè)萘?，理論上無(wú)限，但實(shí)際受c限制）有關(guān)。2.在M/M/c模型中，平均排隊(duì)長(zhǎng)（Lq）主要與系統(tǒng)到達(dá)率λ、服務(wù)率μ和實(shí)際服務(wù)臺(tái)數(shù)（c）有關(guān)。具體關(guān)系由排隊(duì)論公式給出：Lq=(λ/μ)^c*λ/[(c-1)!*(cμ-λ)^2]，當(dāng)cμ>λ（系統(tǒng)不排爆）時(shí)成立。顯然，Lq隨著λ的增加和μ的減少而增加，隨著c的增加而減少。3.評(píng)估隔離效率可以引入的數(shù)學(xué)指標(biāo)或方法：a.平均排隊(duì)長(zhǎng)（Lq）：衡量等待隔離的兒童數(shù)量，越低越好。b.平均等待時(shí)間（Wq）：衡量?jī)和瘡娜朐旱介_(kāi)始隔離的平均等待時(shí)長(zhǎng)，越短越好。c.系統(tǒng)總?cè)藬?shù)（L）：包括排隊(duì)和正在隔離的兒童總數(shù)，反映病房的即時(shí)壓力。d.系統(tǒng)利用率（ρ）：實(shí)際服務(wù)率（cμ）與總服務(wù)能力（cμ）的比值，即cμ/(cμ)=λ/(cμ)，反映隔離病房的忙碌程度，ρ<1是系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行的必要條件。e.系統(tǒng)拒絕率：當(dāng)?shù)竭_(dá)率λ超過(guò)最大服務(wù)能力（cμ）時(shí)，無(wú)法隔離的兒童比例，衡量系統(tǒng)的最大承載極限。四、1.自變量是兒童體重指數(shù)（BMI），因變量是兒童患1型糖尿病的概率。理由：研究目的是探究BMI（可控或可測(cè)量的因素）與糖尿病風(fēng)險(xiǎn)（結(jié)果或被觀測(cè)的指標(biāo)）之間的關(guān)系。2.建議使用Logistic回歸模型。理由：因變量“是否患1型糖尿病”是二分類變量（是/否），Logistic回歸是處理二分類因變量回歸問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)方法，它能估計(jì)出BMI等自變量對(duì)患糖尿病概率的логистическая遞增效應(yīng)，并給出概率值（介于0和1之間）。3.模型系數(shù)的統(tǒng)計(jì)學(xué)解釋：a.截距項(xiàng)：通常解釋為當(dāng)所有自變量（如BMI）都為0時(shí)，患糖尿病的對(duì)數(shù)優(yōu)勢(shì)比（log-odds）。b.BMI的系數(shù)：解釋為當(dāng)BMI每增加一個(gè)單位時(shí)，患糖尿病的對(duì)數(shù)優(yōu)勢(shì)比變化的量。如果系數(shù)顯著不為零，且為正，說(shuō)明BMI越高，患糖尿病的對(duì)數(shù)優(yōu)勢(shì)比越大，即患病的概率隨著BMI的增加而增加（在控制其他自變量的情況下）。對(duì)數(shù)優(yōu)勢(shì)比不易直接解釋，可以將其轉(zhuǎn)化為優(yōu)勢(shì)比（OddsRatio）或概率比（通過(guò)exp(coefficient)計(jì)算得到），解釋為BMI每增加一個(gè)單位，患病的優(yōu)勢(shì)比（或概率）變?yōu)樵瓉?lái)的exp(coefficient)倍。五、1.S'=S-βSI/N,I'=βSI/N-γI,R'=γI。其中，S為易感者數(shù)量，I為感染者數(shù)量，R為康復(fù)者數(shù)量，N=S+I為總?cè)藬?shù)（在此問(wèn)題中，N=200是常數(shù)，所以N可以省略在方程中，寫成S'=S-βSI，I'=βSI-γI，R'=γI）?；蛘呤褂帽嚷市问剑ǜ腥救藬?shù)/總?cè)藬?shù)）：dS/dt=-βSI/N,dI/dt=βSI/N-γI,dR/dt=γI。由于N=200是常數(shù)，可以簡(jiǎn)化為：dS/dt=-βSI/200,dI/dt=βSI/200-γI,dR/dt=γI。2.平衡點(diǎn)滿足dS/dt=0,dI/dt=0,dR/dt=0。a.(S*,I*,R*)=(N,0,0)=>S*=200,I*=0,R*=0。意義：最終所有人都未感染并康復(fù)。b.(0,0,N)不是平衡點(diǎn)，因?yàn)閐S/dt=0但dR/dt≠0。c.(S*,0,R*)=>S*=N-R*。此時(shí)dI/dt=0=>βSI/200-γI=0=>βS(0)/200-γ(0)=0。此點(diǎn)只有當(dāng)I=0時(shí)才可能，即對(duì)應(yīng)(S*,0,R*)=(N,0,0)，即平衡點(diǎn)（200,0,0）。d.(S*,I*,R*)=(0,0,N)不是平衡點(diǎn)，因?yàn)閐S/dt=-βS(0)/200=0但dR/dt=γ(0)=0。e.(S*,I*,R*)=(0,I*,R*)=>dS/dt=-β(0)I*/200=0,dI/dt=β(0)I*/200-γI*=-γI*=0=>I*=0。此點(diǎn)對(duì)應(yīng)(S*,0,R*)=(0,0,N)。f.一般情況下的平衡點(diǎn)需滿足βS*I*/200=γI*=>βS*/200=γ=>S*=200γ/β。此時(shí)R*=N-S*=N-200γ/β。平衡點(diǎn)為(200γ/β,0,N-200γ/β)。3.長(zhǎng)期趨勢(shì)：由于初始狀態(tài)有感染者I(0)>0，且易感者S(0)=200-1=199也大于零（假設(shè)初始只有一名感染者），系統(tǒng)不會(huì)停留在（200,0,0）平衡點(diǎn)。根據(jù)參數(shù)：λ=0.1,μ=0.05。感染率β=0.1，康復(fù)率γ=0.05。因?yàn)棣?μ=0.1/0.05=2>1，這意味著感染速率（2）大于康復(fù)速率（1）。根據(jù)SIR模型理論，當(dāng)β/μ>1時(shí)，最終