2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——數(shù)據(jù)挖掘中的模式識(shí)別與分類算法考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共5小題，每小題3分，共15分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.在模式識(shí)別問(wèn)題中，將原始數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為更具有代表性和區(qū)分性的新特征的過(guò)程稱為？A.特征選擇B.特征提取C.數(shù)據(jù)降維D.模型訓(xùn)練2.下列哪種分類算法屬于監(jiān)督學(xué)習(xí)算法？A.K-均值聚類B.主成分分析C.支持向量機(jī)D.層次聚類3.評(píng)價(jià)分類模型性能時(shí)，精確率（Precision）是指？A.真正例在所有真實(shí)正例中的比例B.真正例在所有預(yù)測(cè)正例中的比例C.真正例在所有樣本中的比例D.假正例在所有真實(shí)負(fù)例中的比例4.決策樹(shù)算法在構(gòu)建過(guò)程中，為了防止過(guò)擬合，常用的剪枝方法包括？A.減少樹(shù)的深度B.增加葉節(jié)點(diǎn)最小樣本數(shù)C.使用交叉驗(yàn)證選擇最優(yōu)子樹(shù)D.以上都是5.樸素貝葉斯分類器基于的假設(shè)是輸入特征之間相互獨(dú)立。這個(gè)假設(shè)在實(shí)際應(yīng)用中往往難以滿足，其主要影響是？A.降低模型的泛化能力B.增加模型的計(jì)算復(fù)雜度C.改變模型的分類邊界D.使模型無(wú)法處理連續(xù)型特征二、簡(jiǎn)答題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。）6.簡(jiǎn)述監(jiān)督學(xué)習(xí)和非監(jiān)督學(xué)習(xí)在目標(biāo)上的主要區(qū)別。7.請(qǐng)解釋什么是支持向量機(jī)（SVM），并說(shuō)明核函數(shù)在SVM中的作用。8.什么是K近鄰（KNN）算法？在確定K值時(shí)通常需要考慮哪些因素？9.簡(jiǎn)述評(píng)估分類算法性能時(shí)，使用混淆矩陣（ConfusionMatrix）的意義。三、計(jì)算題（本大題共3小題，共35分。）10.（10分）給定一個(gè)二分類問(wèn)題的數(shù)據(jù)集，其預(yù)測(cè)結(jié)果與真實(shí)標(biāo)簽如下：|實(shí)際標(biāo)簽|預(yù)測(cè)標(biāo)簽||:-------|:-------||正例|正例||負(fù)例|正例||正例|負(fù)例||負(fù)例|負(fù)例||正例|正例||負(fù)例|負(fù)例|請(qǐng)計(jì)算該分類模型的準(zhǔn)確率（Accuracy）、精確率（Precision）和召回率（Recall）。（假設(shè)正例為正類，負(fù)例為負(fù)類）11.（15分）簡(jiǎn)要描述決策樹(shù)（如C4.5算法）在劃分?jǐn)?shù)據(jù)集時(shí)，選擇分裂屬性所依據(jù)的基本思想。如果待分裂節(jié)點(diǎn)的屬性都是連續(xù)型變量，如何進(jìn)行分裂點(diǎn)的選擇？12.（10分）設(shè)有一個(gè)線性可分的數(shù)據(jù)集，使用SVM尋找最優(yōu)分類超平面。請(qǐng)寫出該優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)，并解釋其中各個(gè)參數(shù)的含義。如果在原始特征空間中該數(shù)據(jù)集線性不可分，可以采用什么方法來(lái)處理？試卷答案一、選擇題（本大題共5小題，每小題3分，共15分。）1.B*解析：特征提取是將原始特征通過(guò)某種變換映射到新的特征空間，目的是獲得更利于分類的高效特征，而特征選擇是從原始特征集中挑選出最有區(qū)分能力的特征子集。題目描述的是特征提取的過(guò)程。2.C*解析：K-均值聚類、主成分分析、層次聚類都屬于無(wú)監(jiān)督學(xué)習(xí)算法，用于數(shù)據(jù)探索和降維等任務(wù)。支持向量機(jī)（SVM）是一種典型的監(jiān)督學(xué)習(xí)分類算法。3.B*解析：精確率的定義是TPR/(TPR+FP)，即真正例（TruePositive）占所有被模型預(yù)測(cè)為正例（包括真正例和假正例）的比例。4.D*解析：決策樹(shù)剪枝的目標(biāo)是刪除樹(shù)的分支以簡(jiǎn)化模型，防止過(guò)擬合。減少樹(shù)的深度、增加葉節(jié)點(diǎn)最小樣本數(shù)（設(shè)置閾值以限制分裂）以及使用交叉驗(yàn)證等方法都是常用的剪枝策略。5.A*解析：樸素貝葉斯分類器的核心假設(shè)是特征之間條件獨(dú)立。當(dāng)這個(gè)假設(shè)不成立時(shí)，模型可能無(wú)法準(zhǔn)確估計(jì)類條件概率，導(dǎo)致對(duì)數(shù)據(jù)的聯(lián)合分布估計(jì)偏差，從而降低模型的泛化能力。二、簡(jiǎn)答題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。）6.*解析：監(jiān)督學(xué)習(xí)的目標(biāo)是根據(jù)帶標(biāo)簽的訓(xùn)練數(shù)據(jù)學(xué)習(xí)一個(gè)映射函數(shù)，使得模型能夠?qū)π碌摹⑽匆?jiàn)過(guò)的無(wú)標(biāo)簽數(shù)據(jù)進(jìn)行準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)或分類。其核心在于利用“正確答案”信息進(jìn)行學(xué)習(xí)。而非監(jiān)督學(xué)習(xí)則處理無(wú)標(biāo)簽數(shù)據(jù)，目標(biāo)是在數(shù)據(jù)內(nèi)部發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)、模式或關(guān)系，例如聚類或降維，其學(xué)習(xí)過(guò)程不依賴于預(yù)設(shè)的“正確答案”。7.*解析：支持向量機(jī)（SVM）是一種尋找能夠最好地分離不同類別數(shù)據(jù)點(diǎn)的超平面（在特征空間中）的算法。它不僅追求將數(shù)據(jù)正確分類，還強(qiáng)調(diào)尋找一個(gè)具有最大“幾何間隔”（即距離最近的數(shù)據(jù)點(diǎn)，稱為支持向量，到超平面的距離）的超平面，以提高模型的泛化能力，防止過(guò)擬合。核函數(shù)的作用是將原始線性不可分的數(shù)據(jù)映射到更高維的特征空間，在這個(gè)高維空間中數(shù)據(jù)可能變得線性可分，或者使得原本復(fù)雜的非線性決策邊界變得簡(jiǎn)單。常見(jiàn)的核函數(shù)包括線性核、多項(xiàng)式核和徑向基函數(shù)（RBF）核等。8.*解析：K近鄰（KNN）算法是一種簡(jiǎn)單的實(shí)例基于學(xué)習(xí)（Instance-basedlearning）分類方法。其核心思想是：對(duì)于一個(gè)待分類的樣本，計(jì)算它與訓(xùn)練集中所有樣本的距離，找出距離最近的K個(gè)鄰居，然后根據(jù)這K個(gè)鄰居的類別，通過(guò)投票（多數(shù)類獲勝）或加權(quán)平均等方式?jīng)Q定待分類樣本的類別。確定K值時(shí)，需要考慮：1）數(shù)據(jù)集大?。簲?shù)據(jù)量大時(shí)，K值可以適當(dāng)增大。2）特征的維度：維度高時(shí)，距離度量可能失效（維度災(zāi)難），K值不宜太小。3）類的分布：類別間距離較遠(yuǎn)時(shí)，K值可以大些；類別間易混淆時(shí)，K值宜小。4）交叉驗(yàn)證：通過(guò)在驗(yàn)證集上測(cè)試不同K值下的模型性能（如準(zhǔn)確率）來(lái)選擇最優(yōu)K值。通常需要嘗試多個(gè)K值并選擇表現(xiàn)最好或最穩(wěn)定的那個(gè)。9.*解析：混淆矩陣（ConfusionMatrix）是一種以表格形式展示分類模型預(yù)測(cè)結(jié)果與真實(shí)標(biāo)簽之間關(guān)系的工具，特別適用于多分類問(wèn)題，但二分類問(wèn)題也常用。它將樣本分為四個(gè)部分：真正例（TP，實(shí)際為正類，預(yù)測(cè)也為正類）、假正例（FP，實(shí)際為負(fù)類，預(yù)測(cè)為正類）、真負(fù)例（TN，實(shí)際為負(fù)類，預(yù)測(cè)也為負(fù)類）、假負(fù)例（FN，實(shí)際為正類，預(yù)測(cè)為負(fù)類）。通過(guò)構(gòu)建混淆矩陣，可以直觀地看到模型在各個(gè)類別上的分類表現(xiàn)，并方便計(jì)算各種評(píng)價(jià)分類性能的指標(biāo)，如準(zhǔn)確率（Accuracy=(TP+TN)/總樣本數(shù)）、精確率（Precision=TP/(TP+FP)）、召回率（Recall=TP/(TP+FN)）等，從而進(jìn)行更深入的分析和模型比較。三、計(jì)算題（本大題共3小題，共35分。）10.*解析：*統(tǒng)計(jì)各類樣本數(shù)量：*真正例(TP):4*假正例(FP):1*真負(fù)例(TN):2*假負(fù)例(FN):1*總樣本數(shù)=TP+FP+TN+FN=8*計(jì)算準(zhǔn)確率：Accuracy=(TP+TN)/總樣本數(shù)=(4+2)/8=6/8=0.75*計(jì)算精確率（針對(duì)正類）：*預(yù)測(cè)為正類的樣本總數(shù)=TP+FP=4+1=5*精確率=TP/(TP+FP)=4/5=0.8*計(jì)算召回率（針對(duì)正類）：*實(shí)際為正類的樣本總數(shù)=TP+FN=4+1=5*召回率=TP/(TP+FN)=4/5=0.8*（若題目要求計(jì)算針對(duì)負(fù)類的指標(biāo)，可類似計(jì)算：Precision_neg=TN/(TN+FN)=2/3≈0.667,Recall_neg=TN/(TN+FP)=2/3≈0.667）11.*解析：決策樹(shù)選擇分裂屬性的基本思想是選擇能夠帶來(lái)最大信息增益（InformationGain）或最大基尼不純度減少（GiniImpurityReduction）的屬性進(jìn)行分裂。信息增益衡量的是在知道了某個(gè)屬性的值之后，數(shù)據(jù)集不確定性減少的程度?；岵患兌群饬康氖菙?shù)據(jù)集中樣本被錯(cuò)誤分類的概率。選擇分裂點(diǎn)（對(duì)于連續(xù)型屬性）時(shí)，通常是在屬性的取值范圍內(nèi)掃描，找到將數(shù)據(jù)劃分成最純（即同一類別的樣本盡可能集中在一起）的分裂點(diǎn)。對(duì)于給定的分裂屬性值v，將數(shù)據(jù)集D根據(jù)v劃分成子集Dv和D_(v')。然后計(jì)算分裂后的不純度（如加權(quán)平均的基尼不純度或信息熵），并與分裂前的不純度比較。選擇那個(gè)能帶來(lái)最大不純度減少的分裂點(diǎn)作為分裂點(diǎn)。這個(gè)過(guò)程遞歸進(jìn)行，直到滿足停止分裂的條件（如達(dá)到最大深度、節(jié)點(diǎn)樣本數(shù)少于閾值、分裂收益小于閾值等）。12.*解析：*線性可分SVM的最優(yōu)分類超平面優(yōu)化問(wèn)題，目標(biāo)是最大化樣本點(diǎn)到超平面的最小間隔（幾何間隔），同時(shí)保證分類正確。其形式化的目標(biāo)函數(shù)（拉格朗日對(duì)偶形式的目標(biāo)函數(shù)，等價(jià)于原始形式）通常寫為：```min(1/2)||w||^2s.t.y_i*(w^Tx_i+b)>=1,i=1,2,...,n```其中：*`w`是法向量，表示超平面的方向。*`x_i`是第i個(gè)訓(xùn)練樣本的特征向量。*`y_i`是第i個(gè)訓(xùn)練樣本的標(biāo)簽（+1或-1）。*`b`是偏置項(xiàng)。*`n`是訓(xùn)練樣本數(shù)量。*`||w||^2`代表法向量`w`的平方范數(shù)，最大化`1/2||w||^2`等價(jià)于最小化`||w||^2`，使得`w`最小化，從而最大化間隔`2/||w||`。*約束條件`y_i*(w^Tx_i+b)>=1`確保了每個(gè)樣本點(diǎn)都在超平面的正確一側(cè)，并且至少與超平面保持距離1（對(duì)于支持向量，距離為2）。*如果原始數(shù)據(jù)集線性不可分，SVM可以通過(guò)核技巧（KernelTrick）來(lái)處理。核技巧的基本思想是不直接在高維特征空間中進(jìn)行計(jì)算，而是通過(guò)一個(gè)核函數(shù)`K(x_i,x_j)`直接計(jì)算數(shù)據(jù)點(diǎn)在變換后的高維空間中的相似度（內(nèi)積），使得在這個(gè)新的特征空間中數(shù)據(jù)變得線性可分。常用的核函數(shù)包括：線性核（K(x_i,x_j)=x_i^Tx_j）、多項(xiàng)式核（K(x_i,x_j)=(gamma*x_i^Tx_j+coef0)^degree）、徑向基函數(shù)（RBF）核（K(x_i,x_j)=exp(-gamma*||x_i-x_j||^2)）。使用核函數(shù)后，優(yōu)化問(wèn)題變?yōu)椋篳``min(1/2)sum_{i=1}^nsum_{j