2025年大學(xué)《統(tǒng)計學(xué)》專業(yè)題庫——多元統(tǒng)計分析方法及其應(yīng)用考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題1.在多維數(shù)據(jù)中，用于描述數(shù)據(jù)集中趨勢的統(tǒng)計量不包括：A.均值向量B.中位數(shù)向量C.離差矩陣D.主成分2.下列關(guān)于樣本相關(guān)系數(shù)矩陣的描述，錯誤的是：A.對角線元素總是1B.非對角線元素介于-1和1之間C.反映了變量之間的線性關(guān)系D.可以直接用于計算樣本距離3.主成分分析的主要目的是：A.對原始變量進(jìn)行分類B.降低數(shù)據(jù)的維度C.對樣本進(jìn)行聚類D.建立預(yù)測模型4.下列關(guān)于主成分得分的描述，正確的是：A.是原始變量的線性組合B.是獨立同分布的隨機(jī)變量C.其方差等于對應(yīng)的特征值D.的個數(shù)等于原始變量的個數(shù)5.因子分析中，使因子結(jié)構(gòu)更簡潔、解釋更清晰的步驟是：A.因子旋轉(zhuǎn)B.因子提取C.因子得分計算D.信度分析6.系統(tǒng)聚類方法中，通常用于衡量樣本之間距離的指標(biāo)是：A.相關(guān)系數(shù)B.卡方統(tǒng)計量C.歐氏距離D.決策樹7.K-均值聚類方法中，聚類中心的確定方式是：A.樣本點到聚類中心的距離之和最小B.樣本點到聚類中心的距離之和最大C.聚類內(nèi)部方差最小D.聚類外部方差最小8.費希爾判別分析的核心思想是：A.尋找最優(yōu)的線性組合，最大化類間差異，最小化類內(nèi)差異B.基于貝葉斯理論，計算樣本屬于各個類別的概率C.將樣本劃分為多個互不相交的子集D.尋找數(shù)據(jù)中的異常值9.多元線性回歸模型中，檢驗?zāi)Ｐ驼w擬合優(yōu)度的統(tǒng)計量是：A.回歸系數(shù)B.標(biāo)準(zhǔn)誤差C.F統(tǒng)計量D.R平方10.下列關(guān)于多元線性回歸模型假設(shè)的描述，錯誤的是：A.解釋變量之間不存在多重共線性B.誤差項服從正態(tài)分布C.解釋變量與誤差項相關(guān)D.各個觀測值相互獨立11.典型相關(guān)分析主要用于研究：A.兩個變量之間的線性關(guān)系B.多個變量與多個變量之間的線性關(guān)系C.兩個變量之間的非線性關(guān)系D.一個變量與多個變量之間的線性關(guān)系12.下列關(guān)于距離度量的描述，正確的是：A.曼哈頓距離總是大于歐氏距離B.切比雪夫距離不考慮變量的量綱C.馬氏距離考慮了變量的相關(guān)性D.距離度量沒有方向性13.下列聚類方法中，屬于層次聚類方法的是：A.K-均值聚類B.DBSCAN聚類C.系統(tǒng)聚類D.譜聚類14.下列統(tǒng)計方法中，屬于非參數(shù)統(tǒng)計方法的是：A.多元線性回歸分析B.費希爾判別分析C.系統(tǒng)聚類D.獨立樣本t檢驗15.在進(jìn)行多元統(tǒng)計分析之前，通常需要對數(shù)據(jù)進(jìn)行：A.標(biāo)準(zhǔn)化B.回歸C.聚類D.判別二、填空題1.多維數(shù)據(jù)圖示法中，常用的圖形有______、______和______。2.樣本協(xié)方差矩陣的主對角線元素表示______，非主對角線元素表示______。3.主成分分析中，每個主成分的方差由其對應(yīng)的______決定，且主成分之間存在______關(guān)系。4.因子分析中，因子載荷矩陣的元素表示______與______之間的相關(guān)系數(shù)。5.聚類分析的目標(biāo)是將樣本劃分為若干個互不相交的子集，使得______，______。6.判別分析中，費希爾判別法的核心思想是尋找一個線性組合，使得______，______。7.多元線性回歸模型中，解釋變量的個數(shù)用______表示，誤差項的期望值用______表示。8.典型相關(guān)分析中，每個典型相關(guān)系數(shù)都是一個______，反映了兩個典型變量之間的______。9.距離度量的基本性質(zhì)包括______、______、______和______。10.常用的距離度量包括______、______、______和______。三、簡答題1.簡述主成分分析的基本思想和步驟。2.簡述因子分析的基本思想和步驟。3.簡述聚類分析的基本思想和步驟。4.簡述判別分析的基本思想和步驟。四、計算題1.已知某數(shù)據(jù)集包含3個變量，樣本量為100，經(jīng)計算得到樣本相關(guān)系數(shù)矩陣為：$R=\begin{pmatrix}1&0.6&-0.3\\0.6&1&0.2\\-0.3&0.2&1\end{pmatrix}$試計算該數(shù)據(jù)集的前兩個主成分的方差貢獻(xiàn)率和特征值。2.已知某數(shù)據(jù)集包含2個因子，因子載荷矩陣為：$\Phi=\begin{pmatrix}0.8&0.2\\0.3&0.9\end{pmatrix}$試解釋因子載荷矩陣中元素的經(jīng)濟(jì)含義。3.已知某數(shù)據(jù)集包含4個樣本，分別屬于兩個類別，樣本的歐氏距離矩陣為：$D=\begin{pmatrix}0&5&7&8\\5&0&6&7\\7&6&0&9\\8&7&9&0\end{pmatrix}$采用最短距離法進(jìn)行聚類，請寫出聚類過程。五、綜合應(yīng)用題某研究希望探究影響消費者購買意愿的因素，收集了100名消費者的數(shù)據(jù)，包括年齡、收入、教育程度、產(chǎn)品價格、品牌知名度五個變量。研究者希望運用多元統(tǒng)計分析方法對消費者購買意愿進(jìn)行建模和分析。請簡述可以采用哪些多元統(tǒng)計分析方法，并說明每種方法的應(yīng)用目的。試卷答案一、選擇題1.C2.D3.B4.A5.A6.C7.C8.A9.D10.C11.B12.C13.C14.C15.A二、填空題1.散點圖，平行坐標(biāo)圖，星形圖2.各個變量的方差，變量之間的協(xié)方差3.特征值，正交4.原始變量，因子5.類內(nèi)距離最小，類間距離最大6.類間差異最大化，類內(nèi)差異最小化7.k，E(εi)8.相關(guān)系數(shù)，相關(guān)程度9.非負(fù)性，對稱性，三角不等式，單位性10.歐氏距離，曼哈頓距離，切比雪夫距離，馬氏距離三、簡答題1.主成分分析的基本思想是將多個相關(guān)的變量轉(zhuǎn)化為少數(shù)幾個不相關(guān)的綜合變量（主成分），使得這些主成分能夠保留原始數(shù)據(jù)的大部分信息。步驟包括：計算樣本相關(guān)系數(shù)矩陣或協(xié)方差矩陣；計算相關(guān)系數(shù)矩陣或協(xié)方差矩陣的特征值和特征向量；將特征向量按照對應(yīng)特征值的大小進(jìn)行排序；選擇前k個特征向量，構(gòu)造相應(yīng)的線性組合得到前k個主成分。2.因子分析的基本思想是認(rèn)為多個觀測變量受到少數(shù)幾個不可觀測的公共因子的線性影響，通過因子分析可以揭示觀測變量之間的內(nèi)在聯(lián)系，簡化數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。步驟包括：計算樣本相關(guān)系數(shù)矩陣；進(jìn)行因子分解（如主成分法、最大似然法等）；進(jìn)行因子旋轉(zhuǎn)（如方差最大化旋轉(zhuǎn)、旋轉(zhuǎn)變換等）；計算因子得分。3.聚類分析的基本思想是將數(shù)據(jù)集中的樣本根據(jù)其相似性劃分為若干個類別，使得同一個類別內(nèi)的樣本盡可能相似，不同類別之間的樣本盡可能不同。步驟包括：選擇距離度量和聚類方法；計算樣本之間的距離矩陣；根據(jù)距離矩陣和聚類方法進(jìn)行聚類；評估聚類結(jié)果。4.判別分析的基本思想是找到一個線性或非線性函數(shù)，將不同類別的樣本區(qū)分開來，并使得同類樣本的判別函數(shù)值盡可能接近，不同類樣本的判別函數(shù)值盡可能遠(yuǎn)離。步驟包括：收集不同類別的樣本數(shù)據(jù)；選擇判別分析方法（如費希爾判別、貝葉斯判別等）；建立判別函數(shù)；對新的樣本進(jìn)行判別。四、計算題1.計算樣本相關(guān)系數(shù)矩陣的特征值和特征向量：$R=\begin{pmatrix}1&0.6&-0.3\\0.6&1&0.2\\-0.3&0.2&1\end{pmatrix}$計算得到特征值分別為：$1.833,0.833,-0.166$選擇前兩個特征值，計算方差貢獻(xiàn)率：$\frac{1.833}{1.833+0.833-0.166}\approx0.818,\frac{0.833}{1.833+0.833-0.166}\approx0.382$解析思路：首先計算樣本相關(guān)系數(shù)矩陣的特征值和特征向量，然后選擇前k個特征值，計算每個特征值對應(yīng)的方差貢獻(xiàn)率，方差貢獻(xiàn)率表示該主成分解釋的原始數(shù)據(jù)的方差比例。2.解釋因子載荷矩陣中元素的經(jīng)濟(jì)含義：$\Phi=\begin{pmatrix}0.8&0.2\\0.3&0.9\end{pmatrix}$解析思路：因子載荷矩陣中元素表示原始變量與因子之間的相關(guān)程度。例如，第一個因子與第一個變量的相關(guān)系數(shù)為0.8，說明第一個因子在較大程度上解釋了第一個變量的變異；第二個因子與第二個變量的相關(guān)系數(shù)為0.9，說明第二個因子在較大程度上解釋了第二個變量的變異。3.采用最短距離法進(jìn)行聚類：$D=\begin{pmatrix}0&5&7&8\\5&0&6&7\\7&6&0&9\\8&7&9&0\end{pmatrix}$聚類過程：(1)初始時，每個樣本自成一類，D即為類間距離矩陣。(2)找到距離最小的兩個類，即第一類和第二類，合并為一個新類，更新類間距離矩陣：$D=\begin{pmatrix}0&7&7.5&7.5\\7&0&6&7\\7.5&6&0&8.5\\7.5&7&8.5&0\end{pmatrix}$(3)重復(fù)步驟(2)，找到距離最小的兩個類，即第一類和第三類，合并為一個新類，更新類間距離矩陣：$D=\begin{pmatrix}0&7&7&7.5\\7&0&6&7\\7&6&0&7.5\\7.5&7&7.5&0\end{pmatrix}$(4)重復(fù)步驟(2)，找到距離最小的兩個類，即第一類和第四類，合并為一個新類，此時所有樣本都合并為一個類，聚類結(jié)束。解析思路：最短距離法的基本思想是兩個類之間的距離等于這兩個類中任意兩個樣本之間距離的最小值。每次將距離最小的兩個類合并，直到所有樣本都合并為一個類。五、綜合應(yīng)用題可以采用以下多元統(tǒng)計分析方法：1.多元線性回歸分析：用于建立消費者購買意愿與年齡、收入、教育程度、產(chǎn)品價格、品牌知名度之間的線性關(guān)系模型，預(yù)測消費者購買意愿。2.主成分分析：用于降低數(shù)據(jù)的維度，提取主要影響因素，簡化模型。3.因子分析：用于發(fā)現(xiàn)影響消費者購買意愿的潛在因子，揭示變量之間的內(nèi)在聯(lián)系。4.聚類分析：用于將消費者劃分為