2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專業(yè)題庫——數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)的實(shí)踐操作技巧指導(dǎo)考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、計(jì)算題1.設(shè)函數(shù)$f(x)=\begin{cases}x^2\sin(1/x),&x\neq0\\0,&x=0\end{cases}$。求$f(x)$在$x=0$處的導(dǎo)數(shù)，并判斷$f'(x)$在$x=0$處是否連續(xù)。2.計(jì)算二重積分$\iint_D\frac{x^2}{y^2}\,dx\,dy$，其中區(qū)域$D$由曲線$x=y^2$和$x=2y$圍成。3.求解微分方程$y''-4y'+3y=e^{2x}$。4.計(jì)算$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{n}{n^2+k^2}$。5.將函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x^2-3x+2}$展開成$x-2$的冪級(jí)數(shù)，并指出收斂域。二、編程/算法題1.編寫一個(gè)Python函數(shù)，實(shí)現(xiàn)如下功能：輸入一個(gè)正整數(shù)$n$，輸出$1$到$n$的所有偶數(shù)的平方列表。要求使用列表推導(dǎo)式完成。2.使用Python語言，編寫代碼實(shí)現(xiàn)求解方程$x^3-x-2=0$在區(qū)間$[1,2]$內(nèi)的根，要求精度達(dá)到$10^{-4}$?？梢允褂枚址ɑ蚺ｎD迭代法，請(qǐng)簡(jiǎn)要說明所選方法的基本思想（文字說明不超過50字）。三、數(shù)據(jù)分析題1.假設(shè)有一組樣本數(shù)據(jù)$X=\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}$，其中$n=10$，樣本均值$\bar{x}=5$，樣本方差$s^2=4$。請(qǐng)推導(dǎo)出樣本標(biāo)準(zhǔn)差$s$的計(jì)算公式，并說明樣本方差和樣本標(biāo)準(zhǔn)差在數(shù)據(jù)分析中的作用。2.設(shè)一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下：$(y_1,x_1)=(3,1),(y_2,x_2)=(4,2),(y_3,x_3)=(5,3),(y_4,x_4)=(6,4)$。請(qǐng)計(jì)算該組數(shù)據(jù)的最小二乘法線性回歸方程$y=a+bx$的系數(shù)$a$和$b$。四、綜合應(yīng)用題1.在一個(gè)簡(jiǎn)單的電路模型中，包含一個(gè)電阻$R$（單位：歐姆），一個(gè)電感$L$（單位：亨利），和一個(gè)電壓源$V(t)$（單位：伏特），其中$V(t)=V_0\sin(\omegat)$。根據(jù)基爾霍夫電壓定律，電路中的電壓關(guān)系為$V(t)=V_R(t)+V_L(t)$，其中$V_R(t)=IR(t)$是電阻上的電壓，$V_L(t)=L\frac{dI(t)}{dt}$是電感上的電壓，$I(t)$是電路中的電流。假設(shè)初始電流$I(0)=0$。請(qǐng)建立描述電流$I(t)$變化的微分方程，并簡(jiǎn)述求解該微分方程的思路（無需給出具體解）。2.已知某城市人口數(shù)量$P(t)$隨時(shí)間$t$（單位：年）的變化符合邏輯斯蒂增長(zhǎng)模型：$\frac{dP}{dt}=rP\left(1-\frac{P}{K}\right)$，其中$r$是內(nèi)稟增長(zhǎng)率，$K$是環(huán)境容量。假設(shè)初始時(shí)刻$t=0$人口為$P(0)=P_0$，$r=0.05$，$K=1000000$。請(qǐng)簡(jiǎn)述如何利用數(shù)值方法（如歐拉法）近似計(jì)算$t=10$年時(shí)的人口數(shù)量$P(10)$？需要確定哪些參數(shù)，并寫出計(jì)算步驟的框架（不需要完成具體計(jì)算）。---試卷答案一、計(jì)算題1.解：$f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to0}\frac{x^2\sin(1/x)}{x}=\lim_{x\to0}x\sin(1/x)=0$（因$|\sin(1/x)|\le1$）。$f'(x)=\begin{cases}2x\sin(1/x)-\cos(1/x),&x\neq0\\0,&x=0\end{cases}$。$\lim_{x\to0}f'(x)=\lim_{x\to0}(2x\sin(1/x)-\cos(1/x))$不存在（因$\cos(1/x)$在$x\to0$時(shí)無極限）。故$f'(x)$在$x=0$處不連續(xù)。2.解：兩曲線交點(diǎn)為$(1,1)$。積分區(qū)域$D$可表示為$\{(x,y)|y^2\lex\le2y,0\ley\le1\}$。原式$=\int_0^1\int_{y^2}^{2y}\frac{x^2}{y^2}\,dx\,dy=\int_0^1\frac{1}{y^2}\left[\frac{x^3}{3}\right]_{y^2}^{2y}\,dy$$=\int_0^1\frac{1}{y^2}\left(\frac{(2y)^3}{3}-\frac{(y^2)^3}{3}\right)\,dy=\frac{8}{3}\int_0^1y\,dy-\frac{1}{3}\int_0^1y^5\,dy$$=\frac{8}{3}\cdot\frac{1}{2}y^2\Big|_0^1-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{6}y^6\Big|_0^1=\frac{4}{3}-\frac{1}{18}=\frac{24}{18}-\frac{1}{18}=\frac{23}{18}$。3.解：對(duì)應(yīng)齊次方程$y''-4y'+3y=0$的特征方程為$\lambda^2-4\lambda+3=0$，解得$\lambda_1=1,\lambda_2=3$。齊次解為$y_h=C_1e^x+C_2e^{3x}$。設(shè)非齊次方程特解為$y_p=Ae^{2x}$，代入原方程得$(4A-8A+3A)e^{2x}=e^{2x}$，即$-Ae^{2x}=e^{2x}$，解得$A=-1$。特解為$y_p=-e^{2x}$。通解為$y=y_h+y_p=C_1e^x+C_2e^{3x}-e^{2x}$。4.解：$\sum_{k=1}^n\frac{n}{n^2+k^2}=n\sum_{k=1}^n\frac{1}{n^2+k^2}$。令$I_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{n^2+k^2}$，則$\lim_{n\to\infty}I_n=\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{n^2+k^2}$。$\frac{1}{n^2+k^2}\le\frac{1}{n^2+1^2}=\frac{1}{n^2+1}$，且$\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{n^2+1}=\frac{n}{n^2+1}$發(fā)散，故$\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{n^2+k^2}$發(fā)散。因此$\lim_{n\to\infty}I_n$不存在，故$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{n}{n^2+k^2}$不存在。*（注：此題按標(biāo)準(zhǔn)極限計(jì)算可能結(jié)果為0，但此處求和項(xiàng)發(fā)散導(dǎo)致整體極限不存在。若考察方法，應(yīng)關(guān)注求和表達(dá)式與黎曼和/積分的關(guān)系，但題目未明確，按直接求和處理。）*5.解：$f(x)=\frac{1}{(x-1)(x-2)}=\frac{1}{x-2-(x-1)}=\frac{1}{-1+(x-1)}=-\frac{1}{1-(x-1)}$。令$u=x-1$，則$f(x)=-\frac{1}{1-u}$。當(dāng)$|u|<1$，即$|x-1|<1$，或$0<x<2$時(shí)，$f(x)$可展開為冪級(jí)數(shù)：$f(x)=-\sum_{n=0}^\inftyu^n=-\sum_{n=0}^\infty(x-1)^n$。收斂域?yàn)?0<x<2$。二、編程/算法題1.解：```pythondefeven_squares(n):return[x2forxinrange(2,n+1,2)]#或#defeven_squares(n):#squares=[]#forxinrange(2,n+1,2):#squares.append(x2)#returnsquares```2.解：使用二分法。思想：在給定區(qū)間內(nèi)，若函數(shù)在區(qū)間兩端點(diǎn)處值異號(hào)，則在區(qū)間內(nèi)必有根。不斷將區(qū)間一分為二，縮小區(qū)間范圍，直至區(qū)間長(zhǎng)度小于預(yù)設(shè)精度。```pythondeffind_root_bisection(f,a,b,tol):iff(a)*f(b)>=0:print("Functionhassamesignatendpoints.Norootfound.")returnNonewhile(b-a)/2.0>tol:midpoint=(a+b)/2.0iff(midpoint)==0:returnmidpointeliff(a)*f(midpoint)<0:b=midpointelse:a=midpointreturn(a+b)/2.0importmathdefcubic_minus_x_minus_2(x):returnx3-x-2root=find_root_bisection(cubic_minus_x_minus_2,1.0,2.0,1e-4)#root的值將接近1.324717957244746```三、數(shù)據(jù)分析題1.解：樣本方差$s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2$。樣本標(biāo)準(zhǔn)差$s=\sqrt{s^2}=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2}$。作用：樣本方差反映數(shù)據(jù)點(diǎn)偏離樣本均值的平均程度，是總體方差的無偏估計(jì)量。樣本標(biāo)準(zhǔn)差是方差的平方根，具有與數(shù)據(jù)相同的量綱，更直觀地反映數(shù)據(jù)的離散程度。在正態(tài)分布中，約68%的數(shù)據(jù)落在$(\bar{x}\pms)$范圍內(nèi)。2.解：設(shè)回歸方程為$y=a+bx$。樣本中心點(diǎn)$(\bar{x},\bar{y})=(\frac{1+2+3+4}{4},\frac{3+4+5+6}{4})=(2.5,4.5)$。$b=\frac{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2}=\frac{(1-2.5)(3-4.5)+(2-2.5)(4-4.5)+(3-2.5)(5-4.5)+(4-2.5)(6-4.5)}{(1-2.5)^2+(2-2.5)^2+(3-2.5)^2+(4-2.5)^2}$$=\frac{(-1.5)(-1.5)+(-0.5)(-0.5)+(0.5)(0.5)+(1.5)(1.5)}{(-1.5)^2+(-0.5)^2+(0.5)^2+(1.5)^2}$$=\frac{2.25+0.25+0.25+2.25}{2.25+0.25+0.25+2.25}=\frac{5}{5}=1$。$a=\bar{y}-b\bar{x}=4.5-1\cdot2.5=2$。回歸方程為$y=2+1x$或$y=2+x$。四、綜合應(yīng)用題1.解：根據(jù)基爾霍夫定律，$V(t)=V_R(t)+V_L(t)=IR(t)+L\frac{dI(t)}{dt}$。即$L\frac{dI(t)}{dt}+IR(t)=V(t)$。將$V(t)=V_0\sin(\omegat)$代入，得到微分方程$L\frac{dI(t)}{dt}+RI(t)=V_0\sin(\omegat)$。初始條件為$I(0)=0$。求解思路：此為一階線性非齊次微分方程?？上惹髮?duì)應(yīng)齊次方程$L\frac{dI_h}{dt}+RI_h=0$的通解$I_h(t)$，再使用待定系數(shù)法或常數(shù)變