第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2025-2026學(xué)年北京市東城區(qū)北京匯文中學(xué)九年級(jí)上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.下列說(shuō)法正確的是（）A.平移不改變圖形的形狀和大小，而旋轉(zhuǎn)則改變圖形的形狀和大小

B.平移和旋轉(zhuǎn)的共同點(diǎn)是改變了圖形的位置，而圖形的形狀大小沒(méi)有變化

C.圖形可以向某方向平移一定距離，也可以向某方向旋轉(zhuǎn)一定距離

D.在平移和旋轉(zhuǎn)圖形中，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)線段相等且平行2.下面是利用圖形變化的知識(shí)設(shè)計(jì)的一些美麗的圖案，其中既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是（）A. B. C. D.3.如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，將線段繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）

A. B. C. D.4.下列圖形中，一定既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是()A.等邊三角形 B.直角三角形 C.平行四邊形 D.正方形5.如圖，在正方形中，E為邊上的點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接EF，若，則的度數(shù)為（

）

A. B. C. D.6.如圖，，，可以看作是由繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度得到的．若點(diǎn)在上，則旋轉(zhuǎn)角的大小可以是（

）

A. B. C. D.7.如圖，P是等邊內(nèi)的一點(diǎn)，連接．若將繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到，則的度數(shù)是（

）

A. B. C. D.8.如圖，在菱形中，，為對(duì)角線的交點(diǎn).將菱形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到菱形，兩個(gè)菱形的公共點(diǎn)為，，，.對(duì)八邊形給出下面四個(gè)結(jié)論：①該八邊形各邊長(zhǎng)都相等；②該八邊形各內(nèi)角都相等；③點(diǎn)到該八邊形各頂點(diǎn)的距離都相等；④點(diǎn)到該八邊形各邊所在直線的距離都相等。上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

）

A.①③ B.①④ C.②③ D.②④二、填空題：本題共3小題，每小題3分，共9分。9.將點(diǎn)向右平移3個(gè)長(zhǎng)度單位，再向上平移2個(gè)長(zhǎng)度單位得到點(diǎn)Q，Q與B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是

10.如圖，△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到△，若∠BAC=90°，AB=AC=，則圖中陰影部分的面積等于

．

11.定義：在平面直角坐標(biāo)系中，將一個(gè)圖形先向上平移個(gè)單位，再繞原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫做圖形的變換．如：點(diǎn)按照變換后得到點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)按照變換后得到點(diǎn)的坐標(biāo)為

．三、解答題：本題共6小題，共48分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。12.(本小題8分)如圖，正方形網(wǎng)格中，三角形的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，請(qǐng)?jiān)谒o直角坐標(biāo)系中按要求解答下列問(wèn)題：(1)畫出，使它與三角形關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O成中心對(duì)稱，則的坐標(biāo)為_(kāi)_____．(2)將三角形繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后，其對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，，則旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)為_(kāi)_____．13.(本小題8分)如圖，在菱形ABCD中，，點(diǎn)E在對(duì)角線BD上.將線段CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到CF，連接DF.

（1）求證：BE=DF；（2）連接AC，若EB=EC，求證：.

14.(本小題8分)如圖，中，點(diǎn)A為內(nèi)一點(diǎn)，

(1)畫出將繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的三角形；(2)求的度數(shù)．15.(本小題8分)如圖所示，已知為等腰直角三角形，，E，F(xiàn)是BC邊上的點(diǎn)，且．求證：．

16.(本小題8分)已知△ADE和△ABC都是等腰直角三角形，∠ADE=∠BAC=90°，P為AE的中點(diǎn)，連接DP．（1）如圖1，點(diǎn)A，B，D在同一條直線上，直接寫出DP與AE的位置關(guān)系；（2）將圖1中的△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)AD落在圖2所示的位置時(shí)，點(diǎn)C，D，P恰好在同一條直線上．①在圖2中，按要求補(bǔ)全圖形，并證明∠BAE=∠ACP；②連接BD，交AE于點(diǎn)F．判斷線段BF與DF的數(shù)量關(guān)系，并證明．

17.(本小題8分)已知，點(diǎn)，分別在射線，上，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，過(guò)點(diǎn)作的垂線交射線于點(diǎn).

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)在射線上時(shí)，求證：是的中點(diǎn)；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)部時(shí)，作，交射線于點(diǎn)，用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明。

1.【答案】B

2.【答案】A

3.【答案】B

4.【答案】D

5.【答案】B

6.【答案】C

7.【答案】B

8.【答案】B

9.【答案】

10.【答案】-1

11.【答案】

12.【答案】（1）解：如圖，即為所求．由圖可得，故答案為：；（2）解：連接，，分別作線段，的垂直平分線，相交于點(diǎn)，即旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)為故答案為：

13.【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴BC=DC，，∵，∴，∴=，∵線段由線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，

∴，在和中，，∴≌，∴；（2）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴，，∴，∵，∴，由（1）可知，，∴，∴，∴.

14.【答案】（1）解：由于，∴旋轉(zhuǎn)即在的位置上，∴繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的如圖所示：（2）解：連接，∵是由繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，∴，∴，又∵，∴，則，∴，∴．

15.【答案】方法1如圖8－8所示，將繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)．∵為等腰直角三角形，，∴．∴旋轉(zhuǎn)后AC邊與AB邊重合，記旋轉(zhuǎn)后的三角形為．∴，，，．∵，，∴．在與中，，∴．∴．∵，∴．方法2如圖8－9所示，將沿直線AE翻折得，連接FG，則，，．由，可得．在和中，，∴，∴，．∴．∴．

16.【答案】解：（1）∵△ADE是等腰直角三角形，∠ADE=90°，

∴AD=ED，

∵P為AE的中點(diǎn)，

∴DP⊥AE；???????

（2）①補(bǔ)全圖形如圖2所示；

證明：∵△ADE和△ABC都是等腰直角三角形，∠ADE=∠BAC=90°，

∴∠DAE=45°，AD=ED，

∵P為AE的中點(diǎn)，

∴∠ADP=∠EDP=45°，

∴∠BAE+∠CAD=∠BAC-∠DAE=45°，

∵∠CAD+∠ACP=∠ADP=45°，

∴∠BAE=∠ACP；

②BF=DF．

證明：如圖3，延長(zhǎng)CP至G，使PG=DP連接AG，BG，

∵△ADE是等腰直角三角形，∠ADE=90°，

∴AD=DE，∠DAE=45°，

∵P為AE的中點(diǎn)，

∴∠APD=∠APG=90°，AP=DP=PG，∠ADP=45°，

∴△APG≌△APD（SAS），

∴AG=AD，∠PAG=∠DAE=∠AGP=45°，

∴∠GAD=∠BAC=90°，

∴∠BAG+∠BAD=∠CAD+∠BAD=90°，

∴∠BAG=∠CAD，

∵AG=AD，AB=AC，

∴△BAG≌△CAD（SAS），

∴∠AGB=∠ADC=180°-∠ADP=135°，

∴∠BGC=∠AGB-∠AGP=90°，

∴∠BGC=∠APG，

∴PF∥BG